Strati antiriflesso Un’importante applicazione delle proprietà di interferenza delle lamine è la deposizione di strati antiriflesso sulle superfici ottiche. Ricordiamo la formula della riflettività data da Fresnel: R = R┴ = Si hanno i due casi a seconda che n2>o < n1 In entrambi il coefficiente di riflessione per l’intensità è: Uno strato antiriflesso è costituito da uno strato di spessore d di materiale di indice di rifrazione n2 interposto tra il primo mezzo n1 (es aria) ed il secondo n3 (es vetro). n1 < n2 < n3. Si ha la situazione di sinistra della figura. Strato antiriflesso: n2 d = λ0/4 per si ha completa elisione. λ0 = lunghezza d’onda nel vuoto. Siccome n () l’elisione si ha perfettamente per una  ed approssimativamente per le  vicine

Strati riflettenti Se si ha la situazione di destra di figura e cioè sia depositato uno strato intermedio con n2 > n3 e di spessore: n2 d = λ0/4: λ0 = lunghezza d’onda nel vuoto, si ha un rafforzamento dell’intensità riflessa. Su questo principio si costruiscono specchi a riflettività variabile (a seconda del numero degli strati) e specchi dicroici che cioè sono riflettenti per una determinata λ e trasparenti per altre. Specchi dicroici sono utilizzati ad es. per miscelare e/o dividere diverse componenti spettrali ad es per la ricostruzione del colore (componenti RGB) nei proiettori.

Specchi ad alta riflettività per laser Nel funzionamento dei laser sono necessari specchi ad alta riflettività su bande spettrali relativamente strette. Si utilizzano diversi strati dielettrici del tipo visto alternativamente con basso ed alto indice di rifrazione e ciascuno di spessore λn/4. Si ha la situazione di figura. Sommando coerentemente il contributo di n doppi strati si ottengono elevate riflettività su bande spettrali strette: specchi selettivi in λ. Siccome l’effetto di interferenza costruttiva delle varie riflessioni dipende dalla differenza di cammino tali specchi presentano riflettività variabile anche con l’angolo di incidenza della radiazione:

L’interferometro di Michelson Esso è costituito come in figura. Un fascio di luce proveniente dalla sorgente monocromatica S incide su una lastra M che ha una faccia a specchio semitrasparente posta a 45o; una parte è riflessa verso lo specchio M1, una parte eguale è trasmessa verso lo specchio M2 passando attraverso la lastra G. I fasci riflessi da M1 e M2 tornano verso la faccia semiriflettente di M: quello proveniente da M1 parzialmente trasmesso e quello proveniente da M2 parzialmente riflesso arrivano dopo un telescopio sulla retina dell’osservatore dove interferiscono: essi sono coerenti perché ottenuti da una stessa sorgente per divisione di ampiezza. La lastra G detta di compensazione assicura che in entrambi i percorsi vi sia lo stesso spessore di vetro attraversato; in questo modo i cammini ottici sono indipendenti dalla dispersione e quindi non vi sono effetti di dipendenza da  attraverso n; G è essenziale

se si usa luce bianca, mentre è utile per radiazione monocromatica ed assicura che la differenza di cammino ottico dipenda per ogni  solo da d1 – d2 cioè dalla differenza di percorso tra i due bracci. Se i due specchi sono esattamente perpendicolari tra loro l’effetto è equivalente a quello prodotto da una lamina d’aria di spessore d = d1 – d2 : la luce proveniente da M1 gioca il ruolo di luce proveniente dalla faccia inferiore della lamina, quella proveniente da M2 di luce riflessa dalla faccia superiore della lamina. La lamina d’aria equivalente è quella sotto lo specchio M1 e la linea tratteggiata, bordo superiore della lamina è l’immagine M2’ di M2 prodotta da M. Se l’interferometro è illuminato con un fascio parallelo tutto il fascio verso l’osservatore è chiaro o scuro a seconda che l’interferenza è costruttiva o distruttiva; se la sorgente è estesa la figura di interferenza consiste in anelli chiari e scuri con il centro chiaro o scuro a seconda che l’interf. sia costr. o distr. In ogni caso se si mantiene fisso M2 e si sposta finemente con continuità M1, si varia lo spessore d1 – d2 della lamina: per ogni spostamento di /4 si osserva il cambiamento da frangia chiara a frangia scura. Spostando lo specchio di una quantità L si può confrontarlo con /4 contando quante frange chiare e scure si sono

alternate. L’interferometro di Michelson costituisce quindi un sensibilissimo misuratore di spostamento. Le applicazioni sono numerose: confronto del metro campione con la  della riga emessa da atomi di Cd:  = 643.8 nm; se ne trovano 1.5531635 106 in 1 m. Base per la definizione ottica dell’unità di lunghezza. Invarianza della velocità della luce dal sistema di riferimento: Supponiamo che la direzione MM2 sia parallela alla velocità della terra (e MM1 perpendicolare). Se la velocità della luce c si compone con quella della terra v nel tratto MM2 è c – v e nel tratto M2M è c + v. Ciò fa variare la condizione di interferenza perché lo sfasamento viene a dipendere per fissi d1 e d2 anche da v. L’effetto benché entro la sensibiltà dello strumento non si vede confermando l’ipotesi di Einstein della costanza di c in ogni sistema inerziale, Si noti che invece c varia se il sistema in cui si propaga la luce non è inerziale cioè ad es. subisce un’accelerazione; è questa la base su cui si fonda il funzionamento dei giroscopi laser. Infine l’interferometro di Michelson può essere utilizzato per misurare

il grado di coerenza temporale di un’onda luminosa il grado di coerenza temporale di un’onda luminosa. L’interferenza tra le due onde avviene tra due fasci che hanno percorso distanze diverse e quindi tempi di percorrenza diversi. Se la differenza dei tempi è superiore alla durata dell’emissione imperturbata del treno d’onde ad es. di un atomo, l’interferenza non è più possibile perché vi è sovrapposizione di onde incoerenti provenienti da emissioni diverse degli atomi.

Onde elettromagnetiche stazionarie L’esperimento di Hertz mise in evidenza la natura delle onde e.m. e la loro velocità di propagazione che risultò essere circa c = a quella delle onde luminose. Tale fatto (assieme a molti altri) fornì la conferma della natura e.m. della luce come prevista da Maxwell. Il dispositivo di Hertz è mostrato in fig. S1 ed S2 sono caricate dal secondario di un trasformatore fino alla tensione di innesco delle due sferette piccole che costituiscono uno spinterometro. Durante la scarica il sistema è equivalente ad un dipolo elettrico oscillante: infatti con la scintilla ha origine una scarica oscillante di frequenza = 1/2π√LC e pulsazione  = 2 data dalle caratteristiche elettriche LC del circuito ( R piccola) ( es.  = 4 107 Hz). Dal dipolo vengono emessi un campo Ei ed un campo Bi che si propagano con le caratteristiche delle o.e.m.. Lungo la direzione di propagazione x è posta una lastra conduttrice ( a circa 13 m). Il campo Ei sul conduttore crea un

campo Er tale che la somma Ei +Er = 0 perché su esso non vi può essere un campo elettrico parallelo. Il campo riflesso Er si propaga in senso op-posto di Ei. Indichiamo con Ei = E0 sin( kx - t) Er = E0 sin( kx + t) le onde incidente e riflessa: E (x, t) = E0 [sin( kx - t) + sin( kx + t)] = 2E0 sin kx • cos t ; sulla superficie del conduttore si invertono sia il verso del campo che del vettore di Poynting: Si = (1/μ0)EixBi ; il campo magnetico Bi = (Ei/c) uz non si inverte: la superficie è un massimo del campo magnetico per cui: B = Bi + Br =2 (E0/c) cos kx cost uz. Un’onda e.m. di questo tipo è un’onda stazionaria: essa non si propaga: manca la dipendenza da kx  t. Fissato x i campi E e B oscillano con pulsazione . L’ampiezza dell’oscillazione varia da 0 al valore max. 2E0 (per E) e 2E0/c (per B). Per il campo magnetico le posizioni dei nodi (min) e dei ventri (max) sono dati da: kx = (2m + 1) (/2) x = (2m + 1) (/4) m = 0, 1,2 kx = m  x = m (/2) m = 0, 1,2

La distanza tra due nodi o ventri consecutivi è /2; la distanza tra un nodo ed un ventre è /4. Per trovare le posizioni dei nodi e dei ventri Hertz utilizzò una spira R di area  con un’apertura. La spira è posta perpendicolare all’asse z: la si sposta lungo x: Il flusso attraverso la spira è: e nella spira si origina la f.e.m. indotta: il modulo di E varia da un max 2E0/c nei ventri a 0 nei nodi: si può regolare la spaziatura dell’apertura della spira in modo che vi sia scintilla quando E è al valore max.. In questo modo si può misurare la distanza tra ventri; in particolare un ventre dista di /2 dalla lastra. Dalla distanza dei ventri si misura ; nota la frequenza del generatore di o.e.m. si ricava la velocità c = . La formazione di onde stazionarie è caratteristica di altri sistemi ad es. meccanici (corde oscillanti). Nel- l’elettromagnetismo un’importante applicazione delle onde stazionarie si ha nella trattazione delle cavità risonanti.

Consideriamo una cavità parallelopipeda chiusa con pareti conduttrici e riempita uniformemente di dielettrico isolante e trasparente con dimensioni date dalla fig. Il campo obbedisce all’equazione: con ora alle pareti: Si effettua una separazione di variabili: sostituendo si ha: equaz. di Helmotz e quest’ultima ha soluzione: con e costanti: Si definisce modo (soluzione dell’eq. di Helmotz) una configurazione stazionaria di campo e.m. I modi sono dati da: con: e le condizioni al contorno:

l,m,n: interi positivi→ numero di ventri lungo x,y,z Per ogni terna (l,m,n): Le frequenze dei modi sono determinate dai numeri interi l,m,n: le frequenze dei modi sono discrete. Pur essendo il formarsi di onde stazionarie caratteristico di tutti i fenomeni ondulatori con la luce visibile la separazione tra nodi e ventri è /4 circa eguale a 0.15 m e quindi difficile da “vedersi”. Le cavità risonanti ottiche hanno grande importanza per i laser. In alcuni casi, es. laser a semiconduttore le cavità possono avere dimensioni confrontabili con la  della luce visibile.