Fenomeni di interferenza. Sorgenti luminose coerenti Si abbiano due onde luminose che si sovrappongono in un punto P. Le onde siano sinusoidali e della stessa  (). Siano due onde sferiche emesse da S1 ed S2 che si sovrappongono in P kri - t descrive la propagazione verso il punto P. i è caratteristico di ciascuna sorgente. La differenza di fase in P è:  = (kr2 - t + 2) – (kr1 - t + 1) = k(r2 – r1) + (2 - 1): essa contiene due termini: diff. di fase intrinseca  = 2 - 1 che dipende dalle proprietà delle due sorgenti ed una differenza k(r2 – r1) dovuta alla differenza di percorso r = r2 – r1 dalle sorgenti a P. Quando la differenza di fase di due onde in un qualsiasi punto P è costante nel tempo le sorgenti delle due onde si dicono coerenti. Esse lo sono quando  = costante. Se  = 0 le due sorgenti si dicono sincrone. Quando questo non si verifica (almeno per tempi confrontabili con il tempo di osservazione)

le sorgenti sono incoerenti le sorgenti sono incoerenti. Interferenza sono i fenomeni prodotti dalla sovrapposizione di onde coerenti. L’interferenza è una caratteristica essenziale della natura ondulatoria della propagazione: Young- Maxwell- Hertz. I metodi per ottenere interferenza dipendono dalla  delle o.e.m. Sorgenti coerenti e non di onde luminose L’emissione da parte delle sorgenti ordinarie (sole, lampade, ecc) è dovuta alla diseccitazione degli atomi presenti in numero enorme. Ciascun atomo emette una frequenza di circa 5•1014 Hz (periodo T = 2•10-15 s). L’emissione dura circa t = 10-8 s: viene emesso un pacchetto d’onde che contiene un numero di oscillazioni N = t/T = 5•106. La lunghezza di tale pacchetto è: c•t = 3 m. Scrivendo: E = E0cos(0t + ) durante t la direzione del vettore E e la fase  sono costanti. Tuttavia ogni atomo si diseccita in modo scorrelato dagli altri emettendo un pacchetto d’onde con gli stessi E0 ed 0 ma con il piano di polarizzazione e la fase diverse. Le onde emesse da sorgenti ordinarie consistono di moltissimi pacchetti

d’onda per cui la fase e la polarizzazione variano in modo casuale (e rapido): l’onda non è coerente ( ciò vale sia per due sorgenti diverse che per diversi punti di una stessa sorgente estesa) e non dà luogo a fenomeni di interferenza.. Invece i laser sono sorgenti di onde coerenti perché gli atomi sono forzati a diseccitarsi tutti in modo correlato. Un modo per ottenere sorgenti coerenti utilizzando luce ordinaria è di sfruttare il principio di H-F: se nel cammino di un’onda sferica emessa dalla sorgente S introduciamo uno schermo sferico con ad es. due (o N) piccoli fori le onde emesse da tali fori hanno la stessa fase in quanto appartengono allo stesso fronte d’onda : da un singolo fronte d’onda hanno origine due (o N) pacchetti d’onde: divisione del fronte d’onda. Una variazione di fase o polarizzazione dell’onda primaria si riproduce nelle sorgenti secondarie nello stesso modo: queste sono sorgenti coerenti (tra loro) di luce ordinaria. In generale tali sorgenti emettono poca energia e.m. e quindi sono di difficile utilizzo

L’esperimento di Young Un fascio di luce ordinaria monocromatica illumina una sottile fenditura S0: sorgente primaria. Le onde emesse da S0 arrivano ad uno schermo in cui sono praticate due fenditure S1 ed S2 parallele ad S0 e simmetriche rispetto all’asse. S1 ed S2 agiscono da sorgenti secondarie di onde sferiche coerenti (sincrone). La luce emessa da S1 ed S2 produce su C posto a distanza L >>d (separazione tra S1 ed S2) una figura di interferenza: striscie chiare e scure parallele alle fenditure: frange di interferenza. Le frange chiare: massimi di intensità; frange scure: minimi di intensità. Sull’asse: massimo di intensità. Sia ora:

l’effetto prodotto dalle due onde separatamente nel punto P; la differenza di fase è:  = k(r2 – r1) funzione solo di r2 – r1. Se r: distanza tra P e punto medio tra S1 ed S2 >> d si ha: 1/r1 1/r2  1/r, le due direzioni si possono assumere quasi parallele e: r2 – r1 = d sin e le precedenti diventano: k = 2/ = numero d’onde. Per calcolare il campo risultante in P: utilizziamo il metodo dei vettori rotanti o fasori: l’onda può essere rappresentata da un vettore (fasore) di modulo E0/r che ruota attorno all’ori-

gine con velocità angolare  gine con velocità angolare . La proiezione sull’asse y dà il valore E1(t). Le due onde in P ora sono rappresentate da due fasori di egual modulo E0/r formanti l’angolo  dovuto alla differenza di fase. L’ampiezza del campo in P è: ora l’intensità dell’onda (quadrato dell’ampiez za) è: IP = 2 I1 (1 + cos) = 4 I1cos2 /2 in cui I1 = I2 è l’intensità in P da ciascuna onda separatamente. In funzione di  angolo di osservazione si ha: ; IP (sin) è mostrata in figura utilizzando una luce rossa. Si osserva un massimo di IP = 4I1 e quindi di 2E0/r nei punti P in cui:  = (2/) d sin = 2m ; d sin = m; m = 0,  1, 2… cioè quando la diff. di percorso d sin è un multiplo intero di : le due onde sono in fase e l’interferenza è costruttiva.

Nei punti Q in cui si verifica:  = (2/) d sin = (2m + 1) ; d sin = (2m + 1)(/2); m = 0,  1, 2… l’ampiezza Eq è nulla: IQ = 0; la differenza di percorso è un multiplo semintero di : le due onde sono in opposizione di fase e l’interferenza è distruttiva. Calcoliamo ora l’andamento dell’intensità I in funzione della distanza x dal centro O, con L>>d e  piccolo. Si ha sin  tg  x/L per cui:  = m(/d); x = m (L/d) m = 0, 1,2.  = (2m + 1)(/2d); x = (2m + 1) (L/2d) m = 0, 1,2... E’ mostrata I(x) nell’ipotesi che ciascuna fenditura illumini lo schermo in modo uniforme: I1 = cost. Vedremo poi (diffrazione) che ciò non è vero:

L’intensità è massima nella frangia centrale e decresce nelle frange successive. Frangia centrale: corrisponde a diff. fase = 0. Passo delle frenge: p= L/2d. Si noti che la  è relativa al mezzo in cui si osserva il fenomeno; se il mezzo ha indice di rifrazione n la  è data da:  = 0/n con 0 = lunghezza d’onda nel vuoto. Se anziché 2 vi sono N fenditure nel secondo schermo si ha un reticolo; lo vedremo in seguito. Utilizzo di una lente Una lente convergente di focale f forma di raggi paralleli un’immagine puntiforme F sul suo piano focale; se il fascio è parallelo all’asse l’immagine è sull’asse; se il fascio è inclinato dell’angolo  l’immagine si forma ad una distanza dall’asse di: f tg  f (per angoli piccoli). Inoltre si può vedere che una lente non introduce sfasamenti tra i vari raggi che l’attraversano. Per cui se mettiamo una lente tra le fenditure e lo schermo (vicina alle fenditure) i raggi uscenti con angolo  e sfasamento d sin  sono fatti convergere senza ulteriore sfasamento sul punto P

Per osservare la figura di interferenza lo schermo P coincide con il piano focale. Valgono tutte le espressioni trovate con f al posto di L. Interferenza di sorgenti incoerenti Se le due sorgenti sono incoerenti nella differenza di fase  compare anche la differenza di fase  tra le due sorgenti e si ha: Ora  varia casualmente nel tempo e così anche : il valore medio nel tempo di cos2 /2 è ½ e risulta: I = 2 I1: in pratica lo schermo è illuminato con luce uniforme corrispondente alla somma delle intensità delle due sorgenti. Si vede quindi che la coerenza delle sorgenti è una proprietà fondamentale e nel fenomeno di sovrapposizione vi è una ridistribuzione della potenza complessiva PR = 2P emessa dalle sorgenti con valore medio costante. (conservazione dell’energia) Si può anche vedere con una trattazione più complessa che, definita la visibilità delle frange come dove Imax e Imin indicano

rispettivamente il valore quando vi è sovrapposizione costruttiva e quando distruttiva, questa grandezza risulta proporzionale al grado di coerenza dell’onda. Il grado di coerenza è una grandezza che varia da 0 ad 1 per i casi estremi di luce completamente incoerente e completamente coerente. Tali risultati si estendono al caso di N sorgenti incoerenti; si ha: Nel caso di eguale intensità delle N sorgenti si ha: IR = N Ii E’ questo il caso di N lampade in una stanza. Mentre si può vedere che se N sorgenti di eguale intensità sono tra di loro coerenti si ha: IR = N2 I nei punti di interferenza costruttiva. Interferenza su lamine sottili E’ questo il caso più facilmente osservabile nella vita comune: osservato per la prima volta da Boyle e poi Newton. Si osserva su strati sottili di olio sull’acqua, sulle bolle di sapone, sulla pellicola d’acqua nei vetri di un’automobile ecc.

Si osservi a piccoli angoli rispetto alla normale una sottile lamina di spessore d formata da materiale trasparente di indice n. Una parte della luce incidente viene riflessa in A dalla superficie superiore; l’onda trasmessa nella lamina è parzialmente riflessa dalla superficie inferiore in B: la parte riflessa riattraversa la lamina ed emerge in C nel primo mezzo parallela al primo raggio riflesso. Se d è piccolo le due onde arrivano all’occhio praticamente sovrapposte ma sfasate per la differenza di percorso e per lo sfasamento  subito solo sulla prima riflessione (n > 1). La differenza di percorso per incidenza normale è 2d a cui corrisponde: con n= /n è la lunghez- za d’onda nella lamina. La differenza di fase totale è: L’interferenza, come nell’esp. di Young è costruttiva o distruttiva se:  = 2m d = (2m +1)(/4n) m = 0, 1, 2,…  = (2m + 1) d = (m +1) (/2n) m = 0, 1, 2,…

Le relazioni precedenti sono valide anche se la lamina è immersa in altro mezzo: in ogni caso una delle due riflessioni avviene da un mezzo con n maggiore ad uno con n minore per cui tale riflessione è sfasata di  l’altra avviene in condizioni opposte: solo una sfasa di . Nel caso della lamina le sorgenti coerenti non sono separate lateralmente (come nell’esperimento di Young) ma sono separate in profondità: è come se i raggi provenissero da due sorgenti (virtuali) poste lungo la retta di osservazione (una oltre la lamina) distanti 2nd e con sfasamento intrinseco . Si generano due sorgenti virtuali mediante suddivisione del raggio incidente in due raggi riflessi: interferenza per divisione di ampiezza (invece che divisione del fronte d’onda).

Cuneo sottile Si chiama cuneo una lamina trasparente a facce piane ma non parallele, formanti un piccolo angolo  (< 10-3 rad). In ogni punto del cuneo distante x dall’estremo lo spessore è: d = x, per cui il cuneo è una lamina con spessore variabile da 0 a l. Si illumini il cuneo con una sorgente estesa in incidenza quasi normale e osserviamo la luce riflessa. Data la piccola apertura della pupilla osservando un punto del cuneo possiamo applicare le formule per la lamina: max: d = (2m +1)(/4n); x = (2m +1)(/4n); m = 0, 1, 2,… min: d = m’ (/2n); x = m’ (/2n); m’ = 0, 1, 2,… I punti nei quali d = cost. e l’intensità è cost. sono segmenti paralleli ai bordi del cuneo. Si vede quindi sulla superficie del cuneo una successione di frange chiare e scure dette frange di eguale spessore (lo stesso d). Il bordo dove d = 0 è nero: la prima frangia è scura: vi è sfasamento di  ad una riflessione: se d = 0 questo è l’unico sfasamento

e quindi l’interferenza è distruttiva e quindi l’interferenza è distruttiva. Se si illumina il cuneo con luce bianca si formano frange colorate in quanto in ogni punto (fissato d) esistono lunghezze d’onda per le quali l’interferenza è distruttiva ed altre per cui è costruttiva. Interferenza simile si osserva in lamine di olio su acqua: d irregolare. In ciascun contorno dello stesso colore lo spessore è appros. costante. Anelli di Newton Analogo dispositivo che dà frange circolari è costi-tuito da una lente piano-convessa posata su una la-mina di vetro ed illuminata dall’alto. La regione compresa tra la lente e la lastra è una lamina d’aria (n = 1) a simmetria circolare con spessore varia-bile. A distanza r dal centro lo spessore è: supponendo (r/R)2 << 1 con R = raggio della superficie

sferica. Si osservano alternativamente anelli chiari e anelli scuri per: Siccome il raggio dipende dal numero d’ordine secondo radice quadrata, le frange si addensano verso il bordo della lente. Il centro è un disco nero per la stessa ragione per cui la prima frangia del cuneo è nera. In luce bianca si osservano colori di sottrazione con il centro nero. Anelli di Newton. Anche se Newton non era fautore della luce come fenomeno ondulatorio. Metodo per verificare l’accuratezza di lavorazione di una lente sferica: essi sono regolari solo se R è costante. Una zona chiara diventa scura se lo spessore localmente varia di /4 (140 nm per luce gialla).

Esempio In un dispositivo di Young la distanza tra le due frange di ordine m = 5 e m = -5 è Δx1= 12 mm quando λ1 = 0.6 µm mentre è Δx2= 8 mm con una lunghezza d’onda λ2 ; calcolare λ2 ; si ha: x (m = 5) = 5 λ1 L/d e x (m = -5) = - 5 λ1 L/d si ha: Misura relativa di lunghezza d’onda. (non molto precisa) In un dispositivo di Young si osserva che la distanza tra due frange di ordine m = 5 e m = -5 è Δx = 4 mm quando si è in aria (n = 1) mentre vale Δxn= 3 mm quando l’esperimento viene eseguito nell’acqua. Calcolare l’indice di rifrazione dell’acqua: si ha che le posizioni delle frange dipendono dalla λ del mezzo in cui si propaga la luce. Le posizioni delle frange in aria (λ0 ) e nell’acqua (λ = λ0/n) sono: Aria Acqua m = 0, 1, 2.. Per cui: da cui

L’effetto dell’acqua è di addensare le frange perché la lunghezza d’onda in acqua è ¾ rispetto alla lunghezza d’onda nell’aria (contrazione). Esempio Un dispositivo di Young ( d = 0.2 mm; L = 40 cm, n = 1) è illuminato con luce naturale nella quale sono contenute approssimativamente con la stessa intensità tutte le  da R = 700 nm (rosso) a V = 400 nm (violetto). Sullo schermo in corrispondenza dell’asse si osserva una frangia bianca ai lati della quale vi è una successione di frange colorate: Descrivere la formazione di queste frange: La frangia centrale è bianca perché per m = 0 non vi è dipendenza da . Invece gli altri massimi dipendono da . Precisamente si trova prima il massimo di ordine m = 1 per la  più corta ( violetto ) e via via gli altri fino al rosso. Ad es. V = 400 nm xmax = 0.8, 1.6, 2.4,.. IV/4I1 = cos2(3.93 x) G = 550 nm xmax = 1.1, 2.2, 3.3,.. IG/4I1 = cos2(2.86 x) x in mm R = 700 nm xmax = 1.4, 2.8, 4.2,.. IR/4I1 = cos2(2.24 x)

Nella figura sono mostrate le intensità relative per le lunghezze d’onda R e V che stanno agli estremi della banda visibile. La colorazione dopo la banda centrale è ottenuta per sottrazione: appena fuori dal centro le  più corte sono le prime a passare dall’interferenza costruttiva a quella distruttiva ed il relativo colore diminuisce fino a scomparire per poi ricomparire mentre lo stesso fenomeno si ripete per altre ; quindi in uno stesso punto vengono a mancare dalla luce bianca alcune  che interferiscono in modo più distruttivo che altre. La successione dei colori: successione di Newton è : si passa dal bianco al marrone chiaro, rosso, blu, verde, arancione, rosso, violetto, verde, violetto.

Esempio In un dispositivo per osservare gli anelli di Newton il raggio della lente è R = 5 m, il diametro della lente è D = 20 mm, la λ = 0.689 m. Calcolare il raggio degli anelli chiari e scuri ed il loro numero. Cosa succede se l’intercapedine è riempita di acqua ( n = 1.33)? Anelli chiari: Anelli scuri Per calcolare il numero degli anelli: 29 anelli chiari 28 anelli scuri oltre il centro Quando la lamina è d’acqua nelle formule bisogna sostituire λ con λ/n: i raggi degli anelli diminuiscono ed il loro numero aumenta. Si ha: numero totale 39 numero totale 38

Strati antiriflessi Nelle celle di Silicio adoperate come celle solari si ha n2 = 3.5 e vengono ricoperte con uno strato di SiO avente n3 = 1.45 per rendere minime le perdite per riflessione. Calcolare lo spessore minimo d dell’ossido in grado di minimizzare la perdita per riflessione alla λg = 550 nm cioè al massimo dell’emissione solare. La riflessione della luce alla prima superficie n1<n2 avviene nelle stesse condizioni della seconda n2<n3: entrambe le onde sono sfasate di : Ora si avrà interferenza distruttiva quando Un’analisi quantitativa permette di stabilire che per le lunghezze d’onda della luce solare la percentuale di luce trasmessa passa da 69% in assenza della lamina AR al 94.8% con la lamina. Quindi il trattamento antiriflessi aumenta l’efficienza della cella solare.

Sulle lenti in vetro degli obiettivi per fotografia e cinema viene depositato MgF2, n3 = 1.38. Lo spessore minimo per aumentare la trasmissione della luce è Fissato d l’energia riflessa varia con la lunghezza d’onda, aumentando al diminuire di λ: la colorazione della lente appare bluastra. Per lo stesso motivo gli occhiali da vista quando sono un po’ unti appaiono violacei.

Calcolare lo spessore minimo d di una bolla di sapone per avere interferenza costruttiva quando è illuminata con lunghezza d’onda λ = 0.585 m. Per tale spessore con quale lunghezza d’onda visibile si ha interferenza distruttiva? La bolla ha indice n = 1.33 da d = ( 2m + 1)λ/4n con m = 0 si ha: d = λ/4n = 0.11 m: Dalla d = ( m + 1) λ/2n con m = 0 si ha: λ = 2nd = 0.293 m e quindi non vi è alcuna soluzione nel visibile.