x pL p1x+p2/x I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 1 1. Dato il modello di figura, in cui pL è un ingresso incognito, se ne verifichi l’identificabilità con il metodo dello sviluppo in serie dell’uscita. x(0)=x0 2. Si illustrino i modelli del ciclo cellulare di pura crescita, indicando i principali limiti. pL p1x+p2/x x y

I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 2 Si illustri il modello epidemiologico base e le ipotesi su cui è fondato. Si ricavi e si illustri il significato dell’integrale di Kendall. Si consideri il modello epidemiologico base in cui si assuma nota la dimensione della popolazione e siano le condizioni iniziali: x(0)=N-b, y(0)=b, z(0)=0. L’uscita misurata sia la w=dz/dt. Si dimostri l’identificabilità del modello base con il metodo dello sviluppo in serie dell’uscita rispetto ai parametri a,b e b

I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 3 Si illustri ilmodello SIR e le ipotesi che ne sono alla base. Si analizzi per tale modello la stabilità rispetto al punto di equilibrio non banale Si analizzi l’identificabilità del modello SIR rispetto ai parametri b, g e m usando il metodo delle trasformazioni di similitudine.

I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 4 Si illustrino i modelli epidemiologici a due popolazioni Si illustri il modello epidemiologico SIRS e se ne analizzi la stabilità rispetto al punto di equilibrio banale.

I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 5 Si illustri il modello epidemiologico base e le ipotesi su cui è fondato. Si ricavino per tale modello i parametri i: intensità dell’epidemia e altezza della curva epidemica h. Si consideri il modello epidemiologico base in cui si assuma nota la dimensione della popolazione e siano le condizioni iniziali: x(0)=N-b, y(0)=b, z(0)=0. L’uscita misurata sia la w=dz/dt. Si dimostri l’identificabilità del modello base con il metodo delle trasformazioni di similitudine per i parametri b, g e b

I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 6 Si consideri il modello compartimentale di figura: In cui l’ingresso al compartimento 2 viene modificato secondo la U2*= U2/ (k21+x1) e le condizioni iniziali siano x1(0)=x2(0)=0. Dimostrare l’identificabilità del modello con il metodo delle trasformazioni di similitudine. 2. Ricavare i principali parametri del modello base di diffusione di un’epidemia quando si consideri la presenza di individui immuni. x1 x2 k01 k02 U1 U2 k21 y

u(t) k ax2/(b+x2) x1 x2 k y1(t) S y2(t) I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 7 Si illustrino i modelli di crescita cellulare in cui si tiene conto della fase G0 Si consideri il modello di figura con condizioni iniziali x1(0)=x2(0)=0 e in cui l’uscita misurata sia y1(t)=x2, y2(t)=x1+x2 Si analizzi l’identificabilità con il metodo dello sviluppo in serie dell’uscita. u(t) k ax2/(b+x2) x1 x2 k y1(t) S y2(t)

I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 8 Si consideri il modello compartimentale di figura: In cui l’ingresso al compartimento 2 viene modificato secondo la U2*= U2/ (k21+x1), quello all’ingresso 1 secondo la U1*=U1+k12x2 e le condizioni iniziali siano x1(0)=x2(0)=0. Dimostrare l’identificabilità del modello con il metodo delle trasformazioni di similitudine. 2. Analisi del modello epidemiologico SIR k01 U1 x1 k21 k12 x2 k02 U2 y

u(t) k ax2/(b+x2) x1 x2 k y1(t) S y2(t) I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 9 Si illustrino i modelli di crescita cellulare in cui si tiene conto dell’interazione età-volume Si consideri il modello di figura con condizioni iniziali x1(0)=x2(0)=0 e in cui l’uscita misurata sia y1(t)=x2, y2(t)=x1+x2 Si analizzi l’identificabilità con il metodo delle trasformazioni di similitudine. u(t) k ax2/(b+x2) x1 x2 k y1(t) S y2(t)

I ESONERO MODELLI DI SISTEMI BIOLOGICI II 9/6/2006 TEMA 10 Si consideri il modello compartimentale di figura: In cui l’ingresso al compartimento 2 viene modificato secondo la U2*= U2/ (k21+x1) e le condizioni iniziali siano x1(0)=x2(0)=0. Dimostrare l’identificabilità del modello con il metodo dello sviluppo in serie dell’uscita. 2. Modello della diffusione dell’AIDS x1 x2 k01 k02 U1 U2 k21 y