Le macchine Matematiche Classe 3D a.s. 2011-12 Insegnante : Claudia Caroli

ANAMORFISMI L'anamorfismo è un effetto di illusione ottica per cui una immagine viene proiettata sul piano in modo distorto, rendendo il soggetto originale riconoscibile solamente guardando l'immagine da una posizione precisa Il soggetto originale può essere una figura piana oppure un oggetto tridimensionale. Nel secondo caso, l'osservatore dell'anamorfismo percepirà la figura come tridimensionale. In altri casi la visione è possibile utilizzando uno specchio curvo (ad esempio cilindrico o conico).

Anamorfismo prospettico La proiezione risulta molto deformata, e chi osserva da una posizione frontale può non riconoscere l’oggetto proiettato.

Anamorfismi per riflessione La superficie riflettente del cilindro retto genera una corrispondenza fra i punti (P e Q) rispettivamente dei piani y e p, mediante la quale è possibile determinare quale figura f deve essere disegnata sul piano p affinché un osservatore posto in S ne raccolga una immagine g prefissata su y.

Anamorfismi per riflessione Cono circolare retto e superficie riflettente.

TRASFORMAZIONI Meccanismi per trasformazioni. Fra le numerose tecniche per produrre trasformazioni prenderemo in esame quella che si avvale di sistemi articolati o biellismi. Il meccanismo stabilisce una corrispondenza locale tra i punti di due regioni piane limitate sovrapposte collegandole fisicamente, e incorpora le medesime proprietà che caratterizzano la trasformazione. Lo studio dello strumento permetterà quindi di riconoscere il tipo di trasformazione che esso realizza: mentre il puntatore percorre una figura geometrica disegnata su una delle due regioni sovrapposte, il tracciatore disegna sull’altra la figura corrispondente (trasformata). Puntatore e tracciatore possono essere scambiati fra loro (biunivocità della corrispondenza). Oppure, il sistema articolato possiede due puntatori dotati ognuno di due gradi di libertà: non è nota alcuna figura iniziale, le figure che i puntatori disegnano contemporaneamente (le regioni che essi “ricoprono” durante il movimento) si corrispondono in una trasformazione.

Traslatore del Kempe Il sistema è costituito da due parallelogrammi articolati aventi il lato CD in comune e giacenti sul medesimo piano. Uno dei lati opposti a CD (per es. BA) è fissato a p, l’altro è libero di muoversi (ha due gradi di libertà). Il sistema articolato pilota l’asta PQ (PQ ha lunghezza arbitraria ), scegliendo un punto sul piano e portando su di esso il vertice P (o Q) del sistema articolato, automaticamente il vertice Q (o P) individua il suo corrispondente nella traslazione caratterizzata in modulo, direzione e verso dal vettore PQ (o QB).

Simmetria Assiale Un rombo articolato ha due vertici opposti vincolati a cursori che scorrono entro una scanalatura rettilinea s. Il biellismo ha due gradi di libertà: i vertici liberi del rombo (P e Q) descrivono perciò due regioni piane (limitate) che si trovano in semipiani opposti aventi s come origine comune. La posizione di P determina univocamente quella di Q (e viceversa). Dalla semplice geometria del sistema meccanico si ricava subito che: la retta PQ è perpendicolare ad s; i punti P e Q sono equidistanti da s. Perciò P e Q si corrispondono nella simmetria assiale ortogonale di asse s. Se (per es.) P è vincolato a una traiettoria assegnata, Q descrive la traiettoria simmetrica rispetto ad s  

Simmetria Centrale Il meccanismo è costituito da un rombo articolato ABCP con il lato BC imperniato al piano del modello nel suo punto medio O. L'asta AB è prolungata di un tratto BQ=AB. La macchina realizza una corrispondenza tra due regioni limitate del medesimo piano in cui P e Q sono sempre allineati con O; inoltre PO=OQ. La trasformazione generata è la simmetria centrale con centro in O.

Coniche In matematica, e in particolare in geometria analitica e in geometria proiettiva, con sezione conica, o semplicemente conica, si intende genericamente una curva piana che sia luogo dei punti ottenibili intersecando la superficie di un cono circolare retto con un piano. Le sezioni coniche sono state studiate accuratamente in epoca ellenistica intorno al 200 a.C.; i nomi tuttora in uso per i tre tipi fondamentali di sezioni coniche sono: ellisse (la circonferenza ne è un caso degenere), parabola e iperbole. Tipi di sezioni coniche: i piani, intersecando il cono, descrivono una circonferenza (in giallo), un'ellisse (in rosso), una parabola (in blu) e un'iperbole (in verde)

Ellissografo a filo Un filo di lunghezza l>AB è vincolato nei suoi estremi ai perni A e B. Mantenendo il filo teso mediante la punta P di una matita si disegna l'ellisse di fuochi A e B e semiasse maggiore uguale a l/2: infatti in ogni posizione si ha : PA+PB=l (cost.).

Ellissografo di Leonardo Il meccanismo è costituito da un rombo articolato OABC di lato l il cui vertice O è imperniato al piano del modello e il vertice opposto B, dotato di cursore, è vincolato a scorrere nella scanalatura s, passante per O. Quando B scorre lungo la scanalatura i vertici A e C descrivono insieme la semicirconferenza di centro O e raggio l, mentre ogni altro punto P delle aste dei lati AB e BC descrive la quarta parte di una ellisse di centro O e assi di simmetria coincidenti con la scanalatura s e con la retta r perpendicolare ad s per O. Durante il movimento i punti E ed F, distanti l rispettivamente da A e da C descrivono ciascuno un segmento della retta r con un estremo in O e lunghezza 2l.

La mostra è stata molto interessante e ci ha consentito di fare poi approfondimenti in classe