Reti di Petri Musicali Adriano Baratè adriano.barate@unimi.it http://www.lim.dico.unimi.it/didatt/materiali/pns.ppt

Scopi Definire uno strumento di rappresentazione delle strutture musicali, ad un livello più astratto della notazione Utilizzare la definizione di generico Oggetto Musicale (Music Object - MO)

Scopi Utilizzare un formalismo che presenti le seguenti caratteristiche: Affinità con il modo di ragionare del compositore Supporto di diversi livelli di rappresentazione dell’informazione musicale Meccanismi di morfismo tra i vari livelli di rappresentazione Strutture di elaborazione concorrente Operatori per elaborare e trasformare le entità musicali Alta flessibilità

Reti di Petri: Introduzione Una Rete di Petri (Petri Net – PN) è un modello astratto e formale atto a rappresentare la dinamica di un sistema che esibisce attività asincrone e concorrenti Utilizzando questo modello è possibile: rappresentare la struttura musicale di un brano esistente (strumento per l’analisi) creare brani lavorando ad un livello di astrazione più alto della notazione o del segnale (strumento per la sintesi)

Caratteristiche Le Reti di Petri Musicali introdotte di seguito presentano le seguenti caratteristiche: Uso di pochi simboli Rappresentazione grafica Descrizione di gerarchie Descrizione di algoritmi applicabili a MOs Gestione della temporizzazione Possibilità di strutture deterministiche / non-deterministiche Gestione di macro per strutture comuni Sintesi della musica descritta

Oggetti Musicali (Music Objects – MOs) Un oggetto musicale è una qualsiasi entità con una valenza musicale; ad esempio: Un frammento di partitura Un frammento audio Un comando di controllo di un’apparecchiatura di sintesi Una specifica di parametri musicali (tempo, volume…)

Oggetti Musicali (Music Objects – MOs) Nei primi anni ’80 i MOs erano descritti attraverso lo standard MIDI Dal 2004 si è esteso il modello attraverso l’utilizzo dell’MX

Reti di Petri (Petri Nets – PNs) – Definizione formale Una PN è una tripla: PN = (P, T, A) dove P è detto insieme dei posti, T è detto insieme delle transizioni ed A è detto insieme degli archi. Inoltre devono valere le proprietà: 1. P  T =  2. P  T   3. A  (P  T)  (T  P) 4. dom(A)  ran(A) = P  T, dove dom(A) = {x P  T : (x,y)  A per qualche y P  T} ran(A) = {y P  T : (x,y)  A per qualche x P  T}

Reti di Petri: concetti fondamentali Transizioni Posti Archi Marche (Tokens) Pesi degli archi

Regole formali 1. P  T =  2. P  T   Un nodo non può essere contemporaneamente di tipo posto e di tipo transizione 2. P  T   In una PN ci deve essere almeno un posto o una transizione

Regole formali 3. A  (P  T)  (T  P) Possono essere collegati fra loro solo nodi di tipo diverso

Regole formali 4. dom(A)  ran(A) = P  T, dove dom(A) = {x P  T : (x,y)  A per qualche y P  T} ran(A) = {y P  T : (x,y)  A per qualche x P  T} dom(A): dominio degli archi ran(A): codominio (range) degli archi In una PN non possono esistere nodi isolati

Esecuzione di una PN Una PN non è statica, ma può mutare le sue caratteristiche quando viene eseguita Partenza dell’esecuzione: stato iniziale Esecuzione: sequenza di scatti che mutano lo stato della rete Termine dell’esecuzione: assenza di possibilità di scatto

Regole di scatto Se tutti i posti di ingresso di una transizione hanno un numero di marche maggiore o uguale al peso dei rispettivi archi in ingresso, la transizione si dice abilitata allo scatto. Se una transizione è abilitata allo scatto, l’esecuzione dello scatto toglierà dai posti in ingresso un numero di marche pari al peso dell’arco in ingresso ed aggiungerà ad ogni posto in uscita tante marche quanto è il peso dell’arco in uscita.

Situazione non deterministica 1: alternativa Sia T1 che T2 sono abilitate allo scatto perché possono ricevere la marca in ingresso, disponibile in P1; lo scatto di una transizione toglierà però da P1 la marca, inibendo lo scatto dell’altra. In questo caso si verifica una situazione non deterministica: non è possibile predire quale transizione scatterà e ad ogni esecuzione questa scelta potrà essere diversa. Le transizioni si dicono in alternativa.

Esempi a) e) b) c) f) d) 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 3

Esempi g) i) h) 1 2 1 2 2 1

Estensione: capacità Il numero in basso all’interno di un posto indica il numero massimo di marche che possono essere ospitate ed è detto capacità del posto Questa caratteristica modifica anche la regola di scatto delle transizioni, che sono abilitate solo quando il loro scatto non trasferirebbe nei posti di uscita un numero di marche maggiore delle rispettive capacità 1 5 Esempio di transizione non abilitata a causa della capacità del posto in uscita: 1 2 2 4 3

Situazione non deterministica 2: conflitto L’aggiunta della capacità nei posti crea un nuovo tipo di situazione non deterministica: più transizioni si dicono in conflitto quando lo scatto di tutte porterebbe in un posto un numero di marche maggiore della sua capacità

Esempi a) c) b) 2 2 1 2 2 3 1 2 2 2 2

Estensione: raffinamenti Il raffinamento è un tipo elementare di morfismo usato per scomporre reti complesse in più reti semplificate Una sottorete descrive un nodo padre Nella sottorete devono sempre essere presenti i nodi di input e di output

Estensione: peso probabilistico In situazioni di alternativa e/o conflitto, la scelta tra le transizioni può essere condizionata dal peso probabilistico associato agli archi, un numero ≥ 0 (di default = 1) indicato fra parentesi quadre Probabilità caso 1: T1, T2, T3 abilitate T1: 5 / 315 = 1.6 % T2: 10 / 315 = 3.2 % T3: 300 / 315 = 95.2 % Probabilità caso 2: T1, T2 abilitate T1: 5 / 15 = 33.3 % T2: 10 / 15 = 66.7 % T1 [5] 2 5 [10] T2 [300] T3

Peso probabilistico: caso particolare Una transizione connessa ad un arco con peso probabilistico = 0 è abilitata solo quando non esistono altre transizioni abilitabili connesse ad archi con pesi probabilistici > 0 2 5 [5] [10] [0] T3 T1 T2

Esempio: Selettore

Reti di Petri Musicali Nel caso musicale Ai posti possono venire associati oggetti musicali, eseguiti quando arrivano delle marche in ingresso Alle transizioni possono venire associati algoritmi di modifica, eseguiti allo scatto Il materiale musicale trattato è codificato in MX

Temporizzazione Nel nostro formalismo l’esecuzione delle transizioni è istantanea La temporizzazione deriva dall’esecuzione degli oggetti musicali associati ai posti: le marche presenti sono disponibili in uscita solo quando l’eventuale esecuzione del materiale si è conclusa

Algoritmi associati alle transizioni In una PN musicale possono essere associati alle transizioni degli algoritmi che modificano il materiale musicale in ingresso, ponendo in uscita il frammento modificato Vengono definiti degli operatori usabili negli algoritmi: gli operatori qui trattati sono stati introdotti negli anni ‘80, quando ai posti venivano associati frammenti MIDI

Algoritmi: metacaratteri Vengono usati all’interno degli algoritmi con un significato speciale Sia X l’oggetto musicale da trasformare: $ contiene il numero totale di note di X % contiene il numero di note della sottosequenza di X su cui abbiamo definito l’applicazione dell’algoritmo ? contiene il valore del parametro, riferito alla nota corrente, che vogliamo cambiare ! Contiene la posizione della nota su cui viene applicato l’operatore

Algoritmi: operatori (estratto) Oltre alle operazioni aritmetiche vengono definiti i seguenti operatori (fra altri) per la modifica dei parametri musicali D (Duration): modifica durata L (Loudness): modifica volume M (Multiply): moltiplica note R (Rotate): ruota note P (Pitch): modifica altezza I (Inversion): inverte note K (Kill): cancella note S (Save): preserva note

Algoritmi: esempi P: 1, $, ?+1 (trasposizione) MO alg Oggetto musicale associato a MO 1 1 P: 1, $, ?+1 (trasposizione) P: $-2, $, 2*G3-? (inversione speculare) D : 1, $, ? * 2 (raddoppio delle durate)

Algoritmi: esempi L: 1, $, ! * (127 / %) (crescendo) MO alg Oggetto musicale associato a MO 1 1 L: 1, $, ! * (127 / %) (crescendo) L: 1,$, (%-!+1) * (127/%) (diminuendo) I : 2, 5 (retrogradazione)

Algoritmi: esempi M: 2, 5, 2 K: 2,6 S: 5,7 1 1 MO alg Oggetto musicale associato a MO 1 1 M: 2, 5, 2 K: 2,6 S: 5,7

Strutture elementari Alimentazione alternativa Sequenza Congiunzione MO1 MO2 Sequenza Congiunzione Alimentazione congiunta Fusione

Loop

Reti di Petri e MX Esecuzione di una PN musicale: Mixaggio dei frammenti MX associati ai posti Produzione di un file MX in output Struttura del file MX in output: Copia dei frammenti MX della PN Mixaggio degli spine

Mixaggio dell’MX Quando viene processato un file MX in un posto: La parte esterna allo spine viene copiata nell’MX globale Ad ogni id viene aggiunto un prefisso che lo renda univoco (mx#_) Se non ci sono sovrapposizioni lo spine viene accodato Se esistono sovrapposizioni gli spine vengono mixati

Mixaggio degli spine: giustapposizione Esempio: istante di tempo relativo 25 Spine di output finale ID evento timing mx0_ev1 mx0_ev2 10 mx0_ev3 3 mx0_ev4 mx1_ev1 2 mx1_ev2 5 mx1_ev3 6 mx1_ev4 Spine di output iniziale ID evento timing mx0_ev1 mx0_ev2 10 mx0_ev3 3 mx0_ev4 Frammento MX ID evento timing mx1_ev1 mx1_ev2 5 mx1_ev3 6 mx1_ev4 2

Mixaggio degli spine: sovrapposizione Esempio: istante di tempo relativo 12 Spine di output finale ID evento timing mx0_ev1 mx0_ev2 10 mx1_ev1 2 mx0_ev3 1 mx1_ev2 4 mx1_ev3 6 mx0_ev4 mx1_ev4 Spine di output iniziale ID evento timing mx0_ev1 mx0_ev2 10 mx0_ev3 3 mx0_ev4 Frammento MX ID evento timing mx1_ev1 mx1_ev2 5 mx1_ev3 6 mx1_ev4 2

Problemi di mixaggio Nel mixaggio di file MX si deve far attenzione: i vtu sono misure di tempo relativo Es.: si mixano due frammenti identici compilati da soggetti distinti: Nel frammento 1 ogni battuta “dura” 4 vtu Nel frammento 2 ogni battuta “dura” 256 vtu

Problemi di mixaggio Soluzione: nel file MX esiste un elemento XML chiamato vtu_amount che indica in quanti vtu è divisa una battuta Anche con la soluzione proposta rimane il problema del mixaggio di frammenti con indicazioni metriche diverse

Terminologia Multimetria: andamento orizzontale della musica sottoposto a cambiamenti successivi nell’ambito dell’organizzazione metrica

Terminologia Polimetria: sovrapposizione simultanea di diversi flussi metrici

Polimetria: soluzione Per consentire mixaggi polimetrici è possibile assegnare un parametro di scala In realtà sono possibili 3 modalità: Automatica1: allineamento per battute Automatica2: allineamento per valori Manuale: specifica manuale dei parametri

ScoreSynth

Esempio: Canone

Canone: struttura Tema: n. misure Pause: n. misure Voce1 16 16 12 4 16 16 8 Voce3 8 16 16 4 Voce4 12 16 16

Canone (soluzione 1) Supponiamo di aver codificato in 2 file MX: il tema e la pausa di 4 misure

Canone: soluzione 2 Supponiamo di aver codificato in 4 file MX le 4 parti che costituiscono il tema complessivo, chiamando le singole parti Tema1...Tema4 Questo è il tema eseguito dalla prima voce; per eseguire le altre voci occorre che il tragitto Tema1->Tema4 sia riproposto sfasandolo ogni volta del tempo corrispondente a Tema1

Canone: soluzione 2

Canone: soluzione 2

Canone: soluzione 2

Canone: modifica non-deterministica Vogliamo ottenere una versione non-deterministica, in cui in ogni voce ci sia una sequenza casuale delle 4 parti del tema ad ogni sua proposizione

Canone: modifica non-deterministica

Canone: modifica non-deterministica

Canone: modifica non-deterministica

Es.: Sonata KV332 di Mozart (1° movim.) 93 misure 39 misure 93 misure Esposizione Sviluppo Ripresa

Sonata: struttura generale Esposizione e ripresa presentano parti in comune e parti simili ma non identiche FG: First Group – 1° frammento SG: Second Group – 2° frammento T: Transition – Transizione CG: Close Group – Frammento finale Esposizione: FG T SG CG Controllare di quanto sono trasposti SG e CG Ripresa: FG T’ SGT CGT T e T’ sono abbastanza diversi SG e CG nella ripresa sono trasposti

Sonata: struttura generale 93 misure 39 misure

Sonata: struttura esposizione/ripresa Struttura FG: 1FG (12 mis) 2FG (10 mis)

Sonata: struttura SG/CG 15 misure 15 misure 11 misure 5 misure 7 misure

Sonata: struttura T 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T

Sonata: struttura T

Sonata: Struttura T’ Sottoreti:

Sonata: struttura T’ 4T’rh 5T’rh 6T’rh 4T’lh 5T’lh 6T’lh