APPENDICE. Sintassi e semantica FOL (Firts Order Logic) Comp(P) e’ una formula del primo ordine pieno. Richiamiamo sintassi e semantica per chi non avesse seguito logica. Ci limitiamo alle interpretazioni di Herbrandt. Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi LA SINTASSI di FOL: Termine ::= Variabile | Costante | SimboloF(Termine,…,Termine) Atomica ::= SimboloP(Termine,…,Termine) Formula ::= Atomica | (not Formula) | (Formula  Formula) | (Formula  Formula) | (Formula  Formula) | (Formula  Formula) | (Formula  Formula) | (x Formula) | (x Formula). Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi Esempio Nei cortili ci sono solo cani e gatti, cioè se X è in un cortile è un cane o un gatto. Nel cortile corte3 ci sono un gatto e un cane. x,c (incortile(x,c)  cane(x)  gatto(x))  a,b (cane(a)  gatto(b)  incortile(a,corte3)  incortile(b,corte3)) Solite precedenze; i quantificatori hanno la precedenza di not Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

In prolog: le segnature % Segnatura corrente definita da una base dati con: % aconst(X) : X è una costante % avar(X) : X è una variabile % afunc(F,N) : F simbolo funzione N-ario % apred(P,N) : P simbolo predicato N-ario avar(X) :- member(X,[a,b,c,x]). aconst(X) :- member(X,[felix,pluto,corte3]). apred(cane,1). apred(gatto,1). apred(incortile,2). Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

In prolog: le atomiche in una segnatura aterm(X) :- aconst(X); avar(X); ( X =.. [F|Terms], afunc(F,N), terms(Terms,N) ). anAtom(X) :- X =.. [P|Terms], apred(P,N), terms(Terms,N). terms([],0). terms([T|TT],N) :- N > 0, M is N-1, aterm(T), terms(TT,M). Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi In prolog: le formule % uso operatori infissi :- op(200,xfy,&). :- op(220,xfy,v). :- op(150,fy,non). :- op(250,xfx,imp). :- op(250,xfx, se). :- op(250,xfx,sse). aformula(X) :- anAtom(X); X = non A, aformula(A); X = A & B, aformula(A), aformula(B); X = A v B, aformula(A), aformula(B); X = A imp B, ….. X = exi(V,A), avar(V), aformula(A); X = for(V,A), avar(V), aformula(A). Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi Variabili libere  è detto quantificatore universale ed  è detto quantificatore esistenziale In (Qx A), dove Q è un quantificatore, A è detta scopo di Qx Una variabile x occorre vincolata in una formula se occorre nello scopo di un quantificatore Qx; occorre libera se non occorre vincolata; può occorrere sia libera, sia vincolata. Una formula è chiusa se nessuna variabile occorre libera Le sostituzioni sostituiscono SOLO le occorrenze libere Le istanze chiuse o ground si ottengono sostituendo con termini ground tutte le occorrenze libere di variabili Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi ESEMPIO X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(X,Y) X quantificata X libera (X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(X,Y)){X/fido} = (X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(fido,Y) Le istanze ground nell’universo {fido,felix} sono 4: (X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(fido,fido) (X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(fido,felix) (X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(felix,fido) (X,C (incortile(X,C)  cane(X)  gatto(X))  vede(felix,felix) Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Sostituzione in Prolog % La sostituzione distingue fra quantificatori e qualsiasi altro operatore; % conviene introdurre due decomposizioni in sottoespressioni: quantified(QF,Q,V,Sub) :- F = [Q,V|Sub], member(Q,[for,exi]). compound(F,Op,Sub) :- F ..= [Op|Sub], ( afunc(Op,_); apred(Op,_); aPropositrionalOp(Op) ) aPropositionalOp(X) :- member(X,[non, &, v, imp, se, sse]) Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Sostituzione in Prolog subst(X,S,T,Bounded) :- avar(X), % Bounded -> non sostituita member(X,Bounded) -> T=X; ( member(X/T1,S) -> T = T1; T = X ). subst(C,_,C,_) :- aconst(C). subst(F,S,F1,BoundV) :- compound(F,Op,Sub), substlist(Sub,S,Sub1,BoundV), compound(F,Op,Sub1). subst(QF,S,QF1,BoundV) :- quantified(QF,Q,V,Subf), substlist(Subf,S1,Subf1,[V|BoundV]), quantified(QF1,Q,V,Subf1). substlist([X|L],S,[X1|L1],B) :- subst(X,S,X1,B), substlist(L,S,L1,B). substlist([],_S,[],_B). Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Modelli di Herbrandt in Prolog Ci limitiamo al caso privo di funzioni; ci sono solo costanti, come in datalog. Usiamo: intp(Interp, [C1,…,Cn], [A1,..,An]) : C1,..,Cn è l’universo di Herbrandt dominio di Interp e A1,…,An sono tutti e soli i fatti veri in Interp Esempio: intp(caniegatti, [felix,fido], [vede(felix,fido), scappa(felix)]). Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Verità in un modello di Herbrandt Base. A atomica chiusa: H |= A sse A  H Passo. H |= A sse non H |= A H |= A  B sse H |= A e H |= B H |= A  B sse H |= A o H |= B H |= x A sse H |= A per ogni istanza chiusa A H |= x A sse H |= A per almeno un’istanza chiusa A Nota. A  B equivale a  A  B A  B equivale a B  A A  B equivale a (A  B)  (A  B) Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi Esercizio Prolog Usando le rappresentazione e i predicati prolog definiti nei lucidi precedenti e messi nel file prolog allegato alla lezione, definire i seguenti predicati, dove V e’ una variabile, A,A1 sono formule chiuse e H e’ un’interpretazione di Herbrandt: istanza(V/C,A,A1,H) : significa “A1 = A{V/C} per un C nel dominio di H” H /= A : significa “A è vera in H” Per la quantificazione universale si puo’ usare il predicato predefinito prolog forall come segue: forall(istanza(V/_,A,A1,H), vera(A1,H)). Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi Esempio xy ( cane(x)  incortile(x,y))  x (cane(x)  abbaia(x)) È vera nella seguente interpretazione? cane(pluto). Universo = {pluto,felix,c1} abbaia(pluto). gatto(felix). incortile(pluto,c1). Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi cane(pluto). Universo = {pluto,felix,c1} abbaia(pluto). gatto(felix). incortile(pluto,c1). 1. xy ( cane(x)  incortile(x,y)) vero? x (cane(x)  abbaia(x)) vero? Risolviamo 1. Scegliamo l’istanza x=pluto y ( cane(pluto)  incortile(pluto,y)) vero? Scegliamo l’istanza y = c1 cane(pluto)  incortile(pluto,c1) vero? ora come nel proposizionale Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi

Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi cane(pluto). Universo = {pluto,felix,c1} abbaia(pluto). gatto(felix). incortile(pluto,c1). 1. xy ( cane(x)  incortile(x,y)) vero? x (cane(x)  abbaia(x)) vero? Risolviamo 2. Le istanze sono x=pluto, x=felix, x=c1 cane(pluto)  abbaia(pluto) vero? cane(felix)  abbaia(felix) vero? cane(c1)  abbaia(c1) vero? ora come nel proposizionale Intelligenza Artificiale – M. Ornaghi