MECCANICA QUANTISTICA

1o POSTULATO Una particella è descritta mediante una funzione d’onda  (posizione, tempo) Se abbiamo la funzione d’onda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò che è possibile conoscere di quel sistema. Esempi: Per una singola particella che si muove in una dimensione: Per una singola particella che si muove in tre dimensioni: Per due particelle che si muovono in tre dimensioni:

(x,y,z,t) è soluzione dell’equazione di SCHRÖDINGER  non è un’onda fisica.  è un’entità matematica astratta che contiene le informazioni sullo stato del sistema.

Newton Schrödinger Soluzione: x=x(t) (x) p=p(t)

Particella libera in moto lungo l’asse x Meccanica Classica Sia una particella di massa m che si muove in assenza di potenziale. La sua posizione è data da x. L’espressione dell’energia totale, cioè dell’energia cinetica in funzione del momento lineare: V = 0

Particella libera in moto lungo l’asse x Meccanica Quantistica V = 0

Ψ(x) = eikx è una soluzione ma anche Ψ(x) = e-ikx è soluzione. La soluzione generale è Ψ(x) = A eikx + B e-ikx

Energia NON quantizzata Qualunque valore di k è accettabile Qualunque valore di E è accettabile Energia NON quantizzata Energia è solo Ecin p = ± k ħ

E’ comunque un POSTULATO Ψ(x) = eikx = cos kx + i sin kx cos kx : onda di lunghezza d’onda λ = 2π/k  k=2π/ λ p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ λ = h/p ipotesi di de Broglie Per una particella libera l’equazione di Schrödinger implica la relazione di de Broglie. PLAUSIBILITA’ dell’equazione di Schrödinger E’ comunque un POSTULATO

funzione d’onda Ψ

 HA UNA INTERPRETAZIONE HA DEI VINCOLI CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

INTERPRETAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA 1 Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato dell’ampiezza di un’onda elettromagnetica è proporzionale all’intensità della luce Poiché la luce si comporta come una particella (fotone), l’intensità deve essere una misura della probabilità di trovare un fotone in un volume dello spazio Se applichiamo questa idea alle particelle, il valore di ||2 in un punto è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in quel punto La quantità fisicamente significativa è ||2 INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA 

INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA  Max Born Se la funzione d’onda ha valore (x) nel punto x, la probabilità di trovare una particella tra x e x+dx è proporzionale a |(x)|2dx

Interpretazione della funzione d’onda in 1-D Ψ(x)  ampiezza di probabilità: positiva, negativa, complessa Probabilità sempre positiva e reale densità di probabilità Probabilità

Ψ Ψ = Ψr + i Ψi Ψ* = Ψr - i Ψi |Ψ|2 = Ψr2 + Ψi2 Ψ(x) positiva e negativa |Ψ(x)|2 = Ψ(x)Ψ(x)*  sempre positiva e reale Densità di probabilità Funzione d’onda Ψ Ψ = Ψr + i Ψi Ψ* = Ψr - i Ψi |Ψ|2 = Ψr2 + Ψi2

Interpretazione della funzione d’onda in 3-D Se la funzione d’onda di una particella vale Ψ(x,y,z) nel punto (x,y,z), allora la probabilità di trovare particella tra x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz, cioè nel volume infinitesimo d = dx dy dz è proporzionale a |(x,y,z)|2d P(x,y,z)=Ψ(x,y,z)Ψ(x,y,z)*dx dy dz Densità di probabilità = probabilità per unità di volume Elemento di volume Probabilità

Meccanica classica : deterministica Meccanica quantistica: probabilistica Voi siete probabilmente qui

PARTICELLA LIBERA

Tutte le energie sono permesse posizione x Re(Ψ)

NORMALIZZAZIONE Proprietà matematica dell’equazione di Schrödinger Se Ψ è una soluzione allora N Ψ è pure una soluzione Prova:

Interpretazione di Born e normalizzazione della  La probabilità che la particella sia da qualche parte deve essere 1 Deve valere la condizione: Se la  soddisfa questa condizione viene detta normalizzata. Se la  non soddisfa questa condizione, viene moltiplicata per un fattore costante N per normalizzarla

 HA UNA INTERPRETAZIONE HA DEI VINCOLI CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

L’interpretazione di Born introduce dei vincoli sulla  In corrispondenza al punto X ci sia una variazione di potenziale. V X X  Se la  avesse una discontinuità in X, la probabilità di trovare la particella in X avrebbe due diversi valori se tendiamo ad X da differenti direzioni ||2 La  deve essere continua in tutto lo spazio, inclusi i punti in cui si ha variazione del potenziale

Ψ non è continua dΨ/dx e d2Ψ/dx2 non sono definite L’eq. di Schrödinger non è definita

dΨ/dx non è continua Quindi d2Ψ/dx2 non è definita L’eq. di Schrödinger non è definita

P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli

VINCOLI SULLA FORMA DELLA  LEGATI ALL’INTERPRETAZIONE DI BOHR 2  deve essere continua La derivata seconda della  deve essere definita  deve essere a valore singolo  deve essere ovunque finita; altrimenti non potrebbe essere normalizzata

L’ INTERPRETAZIONE DI BORN E I VINCOLI SULLA  I vincoli impediscono di trovare soluzioni accettabili dell’equazione di Schrödinger per valori arbitrari dell’Energia Una particella può avere solo certi valori dell’Energia, altrimenti la  sarebbe fisicamente inaccettabile ENERGIA QUANTIZZATA

 HA UNA INTERPRETAZIONE HA DEI VINCOLI CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA

(OLTRE ALLA POSIZIONE) COME OTTENIAMO ALTRE INFORMAZIONI (OLTRE ALLA POSIZIONE) DALLA Ψ ?

Le proprietà misurabili di un sistema fisico sono dette “osservabili” Un’osservabile può essere una proprietà statica: massa, durezza, colore, … Un’osservabile può essere una variabile dinamica: posizione, momento lineare, … che caratterizza i cambiamenti di stato di un sistema

2o POSTULATO Ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica Definizione generale di operatore Un operatore è una regola che trasforma una funzione in un’altra funzione

Se la nuova funzione è un multiplo della funzione originale: La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla funzione originale f(x). Se la nuova funzione è un multiplo della funzione originale:  f(x) = λ f(x) f(x) è detta essere un’autofunzione dell’operatore  con associato autovalore λ Operatore d/dx sin(kx) non è un’autofunzione ekx è un’autofunzione e l’autovalore associato è k

OSSERVABILE OPERATORE POSIZIONE x MOMENTO px ECINETICA EPOTENZIALE V(x) ETOTALE E=T+V x V(x)

COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI (OLTRE LA POSIZIONE) DALLA  ? 3 3o POSTULATO In ogni osservazione dell’osservabile associata all’operatore Ω, i soli valori che si possono misurare sono gli autovalori ωi che soddisfano all’equazione agli autovalori

Autovalori ed autofunzioni (operatore)(funzione) = (costante)(stessa funzione) (operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione)

OPERATORE HAMILTONIANO Se l’operatore è l’operatore Hamiltoniano, l’equazione agli autovalori è l’equazione di Schrödinger Risolvere l’equazione di Schrödinger vuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano per il sistema

OPERATORE MOMENTO LINEARE La componente px del momento lineare della particella è data da: V=0 particella libera. 1) Autofunzione Ψ+(x)=eikx Autovalore px = kħ Particella si muove per x crescenti 2) Autofunzione Ψ-(x)=e-ikx Autovalore px = -kħ Particella si muove per x decrescenti

sin(x) e sin(2x) sono autofunzioni di d2/dx2 con autovalori -1 e -4 ORTOGONALITA’ DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI sin(x) sin(2x) sin(x) e sin(2x) sono autofunzioni di d2/dx2 con autovalori -1 e -4

OPERATORE ENERGIA CINETICA CURVATURA DELLA  ALTA CURVATURA ALTA ENERGIA CINETICA BASSA CURVATURA BASSA ENERGIA CINETICA In matematica la derivata seconda di una funzione è una misura della sua curvatura

 POSIZIONE x REGIONE CON ALTO CONTRIBUTO A T REGIONE CON BASSO CONTRIBUTO A T POSIZIONE x

 ENERGIA ENERGIA CINETICA T

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE 1 FENDITURA A DESCRIZIONE CLASSICA QUANTISTICA PA A PA=|A|2 PB B PB=|B|2 B

2 FENDITURE DESCRIZIONE CLASSICA A PAB = PA + PB B DESCRIZIONE QUANTISTICA AB = A + B PAB = |A + B|2 = |A|2 + |B|2 + A* B+B* A PA PB interferenza

Importante : in nessun modo possiamo predire dove un elettrone colpirà lo schermo. Possiamo solo predire probabilità.

PARTICELLA LIBERA MOTO PER x CRESCENTI + = exp(ikx) DECRESCENTI - = exp(-ikx) Una misura del momento lineare della particella dà +kħ se  = + = exp(ikx) oppure -kħ se  = - = exp(-ikx). Inizialmente non conosciamo se la particella si muove per x crescenti o decrescenti. Poiché entrambe le direzioni sono ugualmente probabili, non possiamo predire in che direzione la particella si muove. La funzione che la descrive non è quindi un’autofunzione. Una funzione d’onda arbitraria può essere espressa come combinazione lineare delle autofunzioni.  = c+ + + c- -

COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma non sappiamo quale. Possiamo soltanto predire che la probabilità che dia +kħ è |c+|2 Non conosciamo in che stato è il sistema finché non lo osserviamo Immediatamente dopo la misura, la funzione d’onda è una delle autofunzioni dell’operatore. La misura cambia la funzione d’onda Ψ del sistema nell’autofunzione Ψ+ (o Ψ-) dell’operatore momento lineare con autovalore +kħ (o -kħ) Ψ+ Ψ misura Ψ- COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA

Gatto di Schrödinger SHUT UP AND CALCULATE R. Feynman Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di stati Solo dopo la misura il sistema assume uno stato definito. Gatto di Schrödinger SHUT UP AND CALCULATE R. Feynman

4o POSTULATO Se il sistema è descritto da un’autofunzione Ψ che non è un’autofunzione dell’operatore Ω, il valore medio o valore atteso dell’osservabile è dato da Il valore atteso è la media pesata di un gran numero di osservazioni della proprietà eseguite su un insieme di sistemi preparati in modo identico.

Se uno fa un gran numero di misure di Ω su un insieme di sistemi preparati in modo identico, ottiene un insieme di valori ω1, ω2, …, ωN. La media di Ω è data dalla regola: Il 4o postulato della meccanica quantistica afferma che l’integrale e la sommatoria danno lo stesso valore, che è il valore atteso.

Ogni osservazione di Ω da come risultato ωi Se  è un’autofunzione di Ω Ogni osservazione di Ω da come risultato ωi <Ω> = ωi

Se  non è un’autofunzione di Ω 1

Quando Ω è misurato su un singolo membro di un insieme, il risultato è uno degli autovalori di Ω, ma non può essere predetto in anticipo. L’autovalore ωi sarà ottenuto in una singola misura con probabilità ci2. Per singole misure ci sono specifici valori di Ω che sono possibili, ω1, ω2, …, ωN, ma su un insieme il valore atteso di < Ω > può essere un valore continuo.

POSTULATI Postulato 1: una particella è descritta mediante una funzione d’onda  (r,t) Postulato 2: ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica Postulato 3: Postulato 4:

` P A M D ( 1 9 2 ) " T h e u n d r l y i g p s c a w f o t m . k , x q v ` P A M D ( 1 9 2 )

ATOMO e FISICA CLASSICA Un elettrone in moto attorno al nucleo Moto circolare : l’elettrone accelera Cariche accelerate emettono radiazione L’elettrone perde energia Cade sul nucleo in circa 10-9 secondi Variando il moto la frequenza emessa varia con continuità Il modello planetario non conduce ad atomi stabili +Ze -e F

ATOMO e MECCANICA QUANTISTICA Alla particella è associata un’onda (a) Solo onde di lunghezza d’onda  opportuna possono generare onde stazionarie (chiudendosi su se stesse danno interferenza positiva) (b) Altrimenti le onde danno interferenza negativa e si annullano = h/mv solo certi valori di energia esistono

Supponiamo di conoscere esattamente il momento della particella Ψ(x) = Aeikx la particella si muove verso destra con momento px = +kħ. Quale è la posizione della particella? Ψ* Ψ = A2 e-ikx eikx = A2 C’è una ugual probabilità di trovare la particella in qualunque punto dell’asse x CONCLUSIONE: Conosciamo il momento della particella esattamente Ma non sappiamo NULLA sulla sua posizione

Supponiamo di conoscere esattamente la posizione della particella

Conosciamo la posizione della particella esattamente Per ottenere una  localizzata occorre fare una combinazione lineare di funzioni sin(kx) o cos(kx) (oppure eikx e e-ikx) con diversi k Ogni funzione eikx corrisponde ad un diverso momento lineare Più localizziamo la particella meno conosciamo il suo momento CONCLUSIONE: Conosciamo la posizione della particella esattamente Ma non sappiamo NULLA del suo momento

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG Fotone Microscopio Elettrone Illuminiamo l’elettrone e riveliamo la luce riflessa con un microscopio L’incertezza minima sulla posizione è determinata dalla lunghezza d’onda della luce Per determinare la posizione accuratamente, è necessario usare luce di lunghezza d’onda corta

E = hν =hc/λ, un fotone con lunghezza d’onda corta ha energia grande Quindi tramette un ‘impulso’ grande all’elettrone Ma per determinare il suo momento accuratamente, l’elettrone deve ricevere un ‘impulso’ debole Questo vuol dire usare luce di lunghezza d’onda lunga Luce di lunghezza d’onda corta: misura accurata della posizione, ma non del momento Luce di lunghezza d’onda lunga: misura accurata del momento, ma non della posizione

Misura della posizione di un elettrone L’azione di misurare influenza l’elettrone, viene trasmesso un impulso e viene disturbata la posizione ed il momento della particella. Essenza del principio di indeterminazione.

Misure della posizione

L’esperimento assume che, mentre prima dell’osservazione abbiamo valori ben definiti, è l’atto di misurare che introduce l’incertezza disturbando la posizione e il momento della particella. Oggigiorno l’opinione prevalente è che l’incertezza quantistica (la mancanza di determinismo) sia intrinseca alla teoria.

Ruolo dell’Osservatore in Meccanica Quantistica L’osservatore non è obiettivo e passivo L’atto di osservare cambia il sistema fisico irrevocabilmente Questo è noto come realtà soggettiva

PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG E’ impossibile specificare SIMULTANEAMENTE sia la posizione che il momento di una particella L’ interpretazione quantitativa del principio di indeterminazione è: posizione momento Indeterminazione nel momento nella posizione Se x oppure px tendono a zero, l’altra osservabile deve tendere ad infinito.

Non possiamo determinare esattamente e simultaneamente variabili ‘coniugate’ come posizione e momento. Tuttavia … Una precisione arbitraria è possibile in linea di principio per la posizione in una direzione e il momento in un’altra

Implicazioni E’ impossibile conoscere simultaneamente ed esattamente sia la posizione che il momento, cioè Δx=0 e Δp=0 Queste incertezze sono inerenti nel mondo fisico e non hanno nulla a che fare con l’abilità dell’osservatore Poiché h è così piccolo, queste incertezze non sono osservabili nelle normali situazioni di ogni giorno

Questa indeterminazione è di importanza fondamentale in spettroscopia Il tempo e l’energia Se un sistema permane in uno stato per un tempo t, l’energia di questo sistema non può essere determinata più accuratamente di un errore E. Questa indeterminazione è di importanza fondamentale in spettroscopia

Le transizioni fra i livelli energetici degli atomi non sono linee perfettamente sottili in frequenza. n = 3 n = 2 n = 1 Un elettrone in n = 3 decade spontaneamente ad un livello inferiore dopo una vita media ½ ~ 10-8 s Intensità Frequenza Esiste una corrispondente ‘dispersione’ nelle frequenza emesse. Larghezza naturale della linea

Se la costante di Planck fosse molto più grande...