Il Teorema del Limite Centrale Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Facoltà di Scienze MM FF e NN, Università Sannio Il Teorema del Limite Centrale Giovanni Filatrella (filatrella@unisannio.it) G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

Somma di variabili casuali La somma di variabili casuali uniformemente distribuite tende ad essere fortemente piccata: + + +… G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

Somma di variabili casuali normali: La somma di variabili casuali normali sembra non cambiare forma funzionale: + + +… G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

Teorema del limite centrale (Gauss) Date n variabili casuali X1,X2,…,Xn, ognuna con valore aspettato m1, m2,…,mn, e varianza s21, s22,…,s2n, se i valori aspettati e le varianze sono finite, la somma delle variabili casuali X=Si Xi tende ad essere Gaussiana per N , qualunque sia la distribuzione delle Xi, con valore medio: E[X]=Si E[ Xi] e varianza Var[X]=Si Var[ Xi] G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

Alcune importanti precisazioni sul teorema del limite centrale Il teorema è vero nel limite di infinite variabili, quindi si può applicare anche alle distribuzioni discrete; Per distribuzioni gaussiane la somma di variabili gaussiane è esattamente gaussiana, con valore aspettato la somma dei valori aspettati e varianza la somma delle varianze; Il teorema non dice (in questa forma) quale sia la “velocità” della convergenza, cioè per quale valore finito del numero di variabili si ottiene l’approssimazione gaussiana entro una tolleranza predeterminata. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

Limite gaussiano della distribuzione binomiale La distribuzione normale può essere concepita come il limite a cui tende la distribuzione binomiale per un valore fisso di p e N  . Bisogna però stare attenti a come trasformare una variabile discreta in una variabile continua G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Gaussiana e Binomiale Mera sostituzione dei valori Formula corretta di trasformazione G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Formula per l’approssimazione di una distribuzione binomiale in una distribuzione gaussiana: Si può immaginare che la somma Sn di n variabili gaussiane sia approssimabile ad una funzione gaussiana per il teorema del limite centrale, quindi:  a e b, - < a < b< +, G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

La distribuzione di Gauss si applica a molti sistemi Esempio: il numero di galassie in un determinato volume dell’universo. Se si considerano zone sufficientemente ampie dell’universo, ogni volume contiene un numero di galassie che è distribuito gaussianamente attorno ad un valore medio. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

La distribuzione gaussiana e la genetica Se si misura l’altezza degli individui di un determinato sesso si trova che l’istogramma è ben approssimato da una curva gaussiana: Distribuzione (in pollici) delle altezze di 9593 donne di età fra i 21 ed i 75 anni Data come from the Health and Nutrition Examination Survey I (HANES I). On U.S. civilian population between 1971 and 1974. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Il dilemma di Galton Domanda: Come mai succede? Francis Galton, medico e scienziato inglese (1822-1911) che studiò sperimentalmente la questione della distribuzione delle altezze, si chiedeva: “se da un lato la distribuzione normale deve essere causata dalla somma di molte e piccole variabili indipendenti, dall’altro sappiamo che i fattori ereditari sembrano essere determinanti nell’altezza di un individuo, e questi sono solo due, come può essere che si osserva un andamento gaussiano?” G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Il dilemma “risolto” Se assumessimo che l’altezza degli individui sia controllato in larga misura da un solo gene, l’obiezione di Galton sarebbe corretta. Infatti se assumessimo che uno specifico gene controllasse l’altezza degli esseri umani, poiché ogni genitore contribuisce con un allele, avremmo solo quattro possibili risultati. La moderna formulazione è che molti geni contribuiscono alla determinazione di un carattere quale l’altezza. Questi geni possono causare effetti la cui ampiezza è diversa. Così se rappresentiamo ogni gene con una variabile casuale Xi, che può assumere 4 valori, l’altezza sarà la somma di tutte queste variabili casuali: H = X1 + X2 + …+ XN e H sarà quindi distribuita gaussianamente G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali

Legame fra statistica e probabilità Statistics: Given the information in your hand, what is the box? Probability: Given the information in the box, what is in your hand? da: Statistics, Norma Gilbert, W.B. Saunders Co., 1976 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali