Teoria Cinetica dei gas (Un’esposizione elementare)

Le tappe fondamentali dell’interpretazione cinetica del calore Daniel Bernoulli : spiegazione della legge di Boyle col modello cinetico (pressione di un gas come risultato degli urti delle molecole sulle pareti del contenitore) (ignorata per il prevalere del modello ‘statico’ proposto da Newton) 1738 1820 John Herapath: riproposta dei risultati di Bernoulli, calcolo della velocità di una molecola d’idrogeno 1827 Robert Brown : scoperta del moto “Browniano” J.R.Joule : equivalenza tra calore ed energia meccanica abbandono definitivo della teoria del calorico riproposta del lavoro di Herapath 1848 R.Clausius :”sulla natura di quel particolare moto che chiamiamo calore” [fondamenti della moderna teoria cinetica] 1856 J.C.Maxwell - Ludwig Boltzmann : sviluppo dettagliato della teoria matematica [Meccanica statistica] 1861

Le tappe fondamentali dell’interpretazione cinetica del calore J.Perrin : studio del moto browniano e determinazione del numero di Avogadro 1900 Otto Stern - Zartmann - etc. : conferme sperimentali della legge di Maxwell per la distribuzione statistica delle velocità molecolari 1920 nascita e sviluppo della Meccanica Quantistica

possono essere affrontati e spiegati sulla base delle La teoria cinetica ‘classica’ costituisce l’ultimo trionfo della meccanica newtoniana nella descrizione dei fenomeni naturali: anche i fenomeni microscopici possono essere affrontati e spiegati sulla base delle leggi di Newton e dei principi di conservazione Alcune sue previsioni non sono però in accordo con i dati sperimentali: solo lo sviluppo della meccanica quantistica ha potuto fornire una descrizione pienamente soddisfacente dei fenomeni su scala atomica

Il modello meccanico di un gas Al contrario di quel che avviene per i liquidi ed i solidi, il comportamento dei gas appare indipendente dalla specie chimica. La bassissima densità, la capacità di espandersi illimitatamente, il comportamento semplice e regolare al variare di temperatura e pressione portano a concludere che, nello stato gassoso, le molecole siano sostanzialmente indipendenti e libere, che le forze fra di esse agiscano, a breve distanza, solo nell’urto. Ciò conduce a formulare un primo modello meccanico fondato sulle seguenti ipotesi: Le molecole sono assimilabili a sfere rigide Il loro numero è così elevato da essere statisticamente significativo Le loro dimensioni sono trascurabili rispetto alla distanza media fra esse; in altri termini il volume complessivo delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas L’urto delle molecole con le pareti del contenitore è elastico Tutte le molecole sono di ugual massa Il moto delle molecole non ha direzioni privilegiate * Le molecole non si urtano fra loro e infine: L’abbandono di quest’ultima ipotesi porta ad un sostanziale raffinamento del modello, con conseguenze estremamente significative

Applichiamo al modello le leggi di Newton: (la risultante delle forze applicate ad un corpo è uguale alla variazione, nel tempo, della sua quantità di moto) Si pensi ad una sola pallina di massa m in moto con velocità v entro una scatola cubica di lato L v L S Nell’urto contro la parete di destra, perpendicolare all’asse X, essa subisce una variazione della quantità di moto: v vx -vx forza agente sulla particella in un urto: z y x forza agente sulla parete in un urto: ( 3° principio della dinamica)

Per una particella si ha dunque: L’intervallo di tempo tra due urti consecutivi è: L La forza esercitata in media da una particella è dunque: La pressione sulla faccia (di area S=L2) della scatola (di volume V=L3) è: Per una particella si ha dunque:

[Legge di Joule-Clausius] Per N particelle invece: (ove è il valore medio del quadrato delle componenti della velocità lungo l’asse X) Ma, essendo ogni direzione ugualmente probabile, E quindi “il prodotto pressione per volume di un gas è proporzionale all’energia cinetica media delle molecole” [Legge di Joule-Clausius]

Equazione di stato dei gas (risultato sperimentale) Teoria Cinetica (ipotesi teorica) Equazione di stato dei gas (risultato sperimentale)

Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta ! La temperatura assoluta risulta dunque (se la deduzione è corretta !), essere proporzionale alla sola energia cinetica media del moto molecolare: avendo definito con k la costante di Boltzmann (costante universale): Acquista un significato chiaro la nozione di temperatura assoluta !

Calcolo delle velocità molecolari A che velocità si muove, in media, una molecola di Ossigeno ( O2 ) a temperatura ambiente ? (T=27 °C = 300 K) se: Velocità quadratica media (radice quadrata della media dei quadrati delle velocità) massa molecolare per l’Ossigeno :

…e una molecola d’Idrogeno ( H2 ) ? a parità di temperatura l‘energia cinetica media è la stessa, ma la velocità media è inversamente proporzionale alla radice quadrata della massa molecolare (abbiamo abbandonato l’ipotesi di masse uguali) Se le cose stanno così allora …. una molecola 100 volte più pesante di quella di ossigeno avrebbe comunque la velocità di circa 50 m/s e percorrerebbe un locale di 5 metri di lunghezza ben 10 volte in un secondo !!!! che sia proprio così ?

[prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni] L’esperienza ci dice che il profumo del caffè non ci arriva così in fretta !! Fai clic sulla foto [prova tu ad immaginare altre analoghe situazioni] Questo fenomeno di propagazione di un gas in un altro (diffusione) appare in realtà decisamente più lento. Come si possono conciliare queste osservazioni con le previsioni della teoria cinetica ? Rinunciando all’ipotesi che le dimensioni delle molecole siano tanto piccole da rendere trascurabile la probabilità di un urto fra esse

Più grandi sono le molecole, più è probabile l’urto reciproco ! Se si assume che le dimensioni delle molecole siano finite , per esempio sfere di raggio r , allora il percorso di ciascuna molecola sarà una successione casuale di moti rettilinei uniformi, di lunghezza e direzione differenti, tra un urto e l’altro, percorsi ciascuno con velocità diversa, dipendente dalle modalità con cui avviene l’urto con un’altra molecola. Più grandi sono le molecole, più è probabile l’urto reciproco !

n = numero di molecole per unità di volume Si può dimostrare che la frequenza d’urto (numero di collisioni al secondo) è data da: r = raggio molecolare n = numero di molecole per unità di volume = velocità media e che il cammino libero medio (distanza media percorsa tra un urto e il successivo) è : Nel 1856 R.Clausius determinò, proprio in base alle velocità di diffusione dei gas e ad altri dati sperimentali, l’ordine di grandezza delle dimensioni molecolari: Si tratta della prima misura indiretta delle dimensioni di particelle microscopiche, fino ad allora solamente ipotizzate !

Negli urti tra molecole si hanno continui scambi di energia cinetica ma il valore medio per molecola di tale energia e quello complessivo restano costanti. Si deve a J.C.Maxwell il calcolo della distribuzione statistica delle velocità molecolari in un gas (nell’esempio Ossigeno), il cui andamento dipende solo dalla temperatura :

Qualche osservazione sui calori specifici dei gas La temperatura di un gas è direttamente proporzionale all’energia cinetica media delle molecole. Infatti da si ottiene Consideriamo un gas che passa dalla temperatura T1 alla temperatura T2 (superiore) e calcoliamo la variazione di temperatura. Otteniamo:

Consideriamo ora il calore Q fornito, a volume costante, al gas Consideriamo ora il calore Q fornito, a volume costante, al gas. Tale calore è direttamente proporzionale alla massa del gas e alla variazione della temperatura: Notiamo che la temperatura è legata solo all’energia cinetica delle particelle mentre il calore è associato all’energia cinetica e al numero N di particelle. Il calore fornito al gas viene impiegato per aumentare il contenuto energetico complessivo. Questo contenuto energetico complessivo è indicato con il termine Energia Interna

Un rifornimento o una sottrazione di calore di calore a un gas ne aumenta o ne diminuisce l’energia interna, in assenza di lavoro meccanico. La corrispondenza fra energia cinetica delle particelle e temperatura unitamente alla identificazione dell’energia cinetica totale del gas con la sua energia interna conduce alla definizione funzione matematica che dipende solo dalla temperatura Se l’energia interna non è dovuta solo all’energia cinetica ma, come avviene nei gas biatomici o poliatomici, entrano in gioco anche le forze intermolecolari e intramolecolari, il modello non va più bene…

Abbiamo già visto che allora per una mole di gas e per n moli quindi

se consideriamo una mole di gas invece di m grammi otteniamo Una variazione dell’energia interna determina una variazione della temperatura, nell’ipotesi di volume costante, secondo la legge Per la legge della calorimetria nel nostro caso se consideriamo una mole di gas invece di m grammi otteniamo

valore confermato dai risultati delle misure sperimentali Per una mole di gas monoatomico il calore specifico a volume costante è valore confermato dai risultati delle misure sperimentali Per i gas poliatomici in generale il calore fornito va ad incrementare anche l’energia dovuta a moti di rotazione e vibrazione e non solo l’energia cinetica di traslazione quindi ci aspetteremmo di trovare valori molto diversi, invece c’è ancora molta regolarità. Il modello prevede: gas biatomici gas triatomici l’accordo con i valori sperimentali continua a essere abbastanza buono

Per i solidi il modello è molto più complicato ma si arriva comunque a prevedere, per il calore specifico molare, un valore di circa: Questa caratteristica fu messa in evidenza verso il 1820 dai fisici francesi Dulong e Petit e da essi prende il nome di Legge di Dulong e Petit

Bibliografia Questa presentazione è stata ottenuta modificando e integrando “Teoria Cinetica (un’esposizione elementare)” di G.A. Carnaghi docente al Liceo “D. Crespi” di Busto Arsizio (http://www.liceocrespi.it). Ho inoltre utilizzato il testo di Bergamaschini, Marazzini e Mazzoni “L’indagine del mondo fisico” volume C edito da Carlo Signorelli.

I ritratti Nelle pagine successive I ritratti di alcuni degli scienziati che sono stati citati. In questa pagina Boltzmann

Avogadro Bernoulli Brown Clausius

Joule Maxwell Stern Perrin