L’accelerazione riferita alla traiettoria Partendo dalla velocità riferita alla traiettoria Ci calcoliamo l’accelerazione Accelerazione tangenziale fa cambiare il modulo della velocità ? Per valutare la seconda componente studiamo un moto in cui varia la direzione della velocità ma non il suo modulo: il moto circolare uniforme G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Il moto circolare Ds r q O Il punto P percorre una traiettoria circolare Il modulo di r è costante. Asse y y Ds r q O x Asse x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Moto circolare uniforme La traiettoria è una circonferenza ed il modulo della velocità è costante. Come appare dal disegno la velocità (come vettore) non è costante. Dv v(t) Asse y v(t+Dt) v(t+Dt) v(t) DQ r(t+ Dt) Sono uguali DQ r(t) O Asse x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Accelerazione nel moto circolare uniforme L’accelerazione media nell’intervallo Dt è: L’accelerazione all’istante di tempo t si ottiene facendo il limite dell’accelerazione media per Dt che tende a zero. Dv Vettore che ha la direzione ed il verso di Dv. (Dt >0) v(t) v(t+Dt) DQ G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Accelerazione nel moto circolare uniforme Dv v(t) v(t+Dt) DQ Direzione e verso Quando Dt tende a zero anche DQ tende a zero Poiché la somma degli angoli interni in un triangolo è sempre 180, se DQ tende a zero, gli angoli alla base tendono a 90°. (Il triangolo è isoscele) L’accelerazione è perpendicolare a v(t) Poiché v(t) è tangente alla circonferenza, l’accelerazione è radiale diretta verso il centro (accelerazione centripeta) G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Accelerazione nel moto circolare uniforme modulo Dv Asse y v(t) v(t+Dt) Ds Dr DQ r(t+ Dt) DQ r(t) O Asse x Poiché i due triangoli isoscele della figura sono simili (hanno lo stesso angolo al vertice) G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Accelerazione nel moto su traiettoria non rettilinea Abbiamo trovato che nel moto circolare uniforme (velocità costante in modulo) c’è solo l’accelerazione centripeta. Se il modulo della velocità non è costante ci sarà: L’accelerazione normale (centripeta) an responsabile del cambiamento della direzione della velocità L’accelerazione tangenziale at responsabile del cambiamento del modulo Ogni volta che un punto materiale si muove su una traiettoria curva (la velocità cambia direzione) c’è un’accelerazione centripeta, G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Problema Un’automobile di 1000 Kg affronta una curva avente un raggio di 40 m alla velocità di 36 km/h. Determinare il valore dell’accelerazione centripeta. G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Il moto circolare uniforme ed il moto armonico Asse y a y Ds r q O x Asse x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La lancetta dei minuti di un orologio misura 12 La lancetta dei minuti di un orologio misura 12.0 cm dal suo perno all’estremità libera. Qual è lo spostamento della sua estremità A) da 15 a 30 minuti B) nella successiva mezzora C) nella successiva ora D) calcolare la velocità angolare media ed istantanea E) calcolare la velocità media nel caso A F) il modulo della velocità istantanea e dell’accelerazione. Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Il treno veloce francese, TGV, compie viaggi ad una velocità media di 216 Km/h. Se abborda una curva a questa velocità e la massima accelerazione centripeta accettabile dai passeggeri è 0.050g, qual è il minimo raggio ammissibile per le curve dei binari. Se una curva ha un raggio di 1.00 km, a quale valore deve essere ridotta la velocità per rispettare il limite di accelerazione consentito? Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Una ruota panoramica di un luna park ha un raggio di 15 m e compie ogni minuto cinque giri attorno al proprio asse orizzontale Qual è il periodo di rotazione? A quale accelerazione centripeta è sottoposto un passeggero nel punto più alto? E nel punto più basso? Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Possiamo ricavare la velocità angolare: Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0. Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo. Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa. Applicazione Considerando le condizioni iniziali, la legge oraria diventa: y v Ma la coordinata y è anche data da: La velocità a sua voltà sarà data da: r q x a Possiamo ricavare la velocità angolare: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Applicazione Esprimendo il cosq in funzione di a e di y si ottiene: Un punto materiale si muove con una velocità costante v=5m/s lungo una traiettoria rettilinea parallela all’asse y posta a distanza di 50 cm da esso. Si supponga che all’istante iniziale il punto materiale si trovi sull’asse x, ossia con y =0. Man mano che il punto materiale si muove sulla traiettoria rettilinea cambia anche l’angolo formato dal vettore posizione r(t) con l’asse delle x : determinare la velocità angolare in funzione del tempo. Determinare in funzione del tempo la componente radiale della velocità e quella trasversa. Applicazione Esprimendo il cosq in funzione di a e di y si ottiene: y v r q x a Il vettore posizione si può esprimere: Il suo versore vale: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Cambiamento del Sistema di Riferimento Il moto dipende dal sistema di riferimento dal quale viene osservato: Un viaggiatore seduto sul sedile di una carrozza ferroviaria non si muove rispetto al vagone Se osservato dal marciapiede della stazione, egli invece percorre diversi metri al secondo. Il viaggiatore, se lascia cadere un oggetto nel vagone, descriverà il moto come un moto rettilineo (uniformemente accelerato) Lo stesso moto apparirà parabolico (moto del proiettile) ad un osservatore sul marciapiede della stazione. Come si fa a trasformare le grandezze cinematiche, posizione , velocità, accelerazione da un sistema di riferimento ad un altro? G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Sistemi di riferimento in moto traslatorio trasformazioni della posizione Studieremo il caso molto particolare in cui gli assi del sistema O’x’y’z’ sono costantemente paralleli a quelli corrispondenti nel sistema Oxyz e l’origine O’ del secondo sistema si muove sull’asse delle x. G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Sistemi di riferimento in moto traslatorio trasformazioni della velocità G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Sistemi di riferimento in moto traslatorio trasformazioni dell’accelerazione Solo se ao=0 l’accelerazione nei due sistemi di riferimento è la stessa! G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Trasformazioni di Galilei Se O’ si muove lungo l’asse x con velocità costante e O’ coincide con O a t=0: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s La neve sta cadendo verticalmente ad una velocità costante di 8 m/s. A quale angolo rispetto alla verticale sembrano cadere i fiocchi di neve per il guidatore di un auto che viaggia a 50 km/h? Applicazione Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz fermo rispetto al suolo co n l’asse x diretto lungo la strada e il sistema O’x’y’z’ fermo rispetto al guidatore. il sistema O’x’y’z’ si muove con velocità costante rispetto al sistema Oxyz Possiamo applicare le trasformazioni di Galilei: y y’ La velocità dei ficchi di neve rispetto alla macchina (sistema O’x’y’z’ ) sarà: x’ x O O’ G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Quanto dura questa traversata? Un fiume largo 200 m ha una corrente che scende a velocità uniforme di 1.1 m/s verso est attraverso al giungla. Un esploratore vuole lasciare la sua radura posta sulla sponda sud per raggiungere la riva nord con la sua barca a motore capace di navigare a velocità costante di 4.0 m/s rispetto all’acqua. Sulla riva nord c’è un’altra radura situata a 82 m più a monte rispetto al punto posto di fronte alla posizione iniziale dell’esploratore. In quale direzione occorre puntare la barca per raggiungere la radura sulla sponda opposta con una traversata in linea retta? Quanto dura questa traversata? Applicazione y x O G.M. - Edile-Architettura 2004/05