Grandezze scalari e vettoriali Massa Tempo Temperatura Pressione Posizione lungo un asse (linea) Volume Lavoro Energia Spostamento Posizione Velocità Accelerazione Forza Quantità di moto Impulso Momento della quantità di moto Mentre per rappresentare una grandezza scalare è sufficiente un numero ( con le relative unità di misura), per rappresentare una grandezza vettoriale sono necessari tre parametri: il modulo la direzione ed il verso G.M. - Edile-Architettura 2004/05

I vettori Quando si ha a che fare con un problema in fisica conviene sempre fare un disegno, uno schizzo. Un vettore si rappresenta con una freccia per indicare la direzione ed il verso del vettore. La lunghezza della freccia rappresenta invece il modulo del vettore. Vettori paralleli (stesso verso e stessa direzione) e con lo stesso modulo sono uguali. G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Il vettore spostamento Lo spostamento è l’esempio più immediato di grandezza vettoriale Consideriamo un punto materiale in moto su un piano All’istante iniziale to il punto di trova in Po. all’istante t1 nel punto P1 Lo spostamento subito dal punto materiale nell’intervallo tra to e t1 è rappresentato dal segmento orientato PoP1( ) Come appare dalla figura: lo spostamento è caratterizzato da un modulo : la distanza tra Po e P1 una direzione: quella della reta passante per Po e P1 un verso: quello da Po a P1 Tutti i vettori, non solo lo spostamento possono essere rappresentati con un segmento orientato. P1 Po G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Il vettore spostamento Due vettori saranno uguali se e solo se hanno lo stesso modulo la stessa direzione lo stesso verso Tutti i segmenti orientati paralleli al segmento PoP1 di pari lunghezza rappresentano lo stesso vettore In alcuni casi si parla di punto di applicazione del vettore: è il punto da cui inizia il segmento orientato. Nel caso dello spostamento il punto di applicazione può essere fatto coincidere con il punto di partenza Po P1 Po G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Il vettore spostamento Supponiamo ora che all’istante di tempo tempo t2. successivo a t1, il punto materiale abbia raggiunto P2. Lo spostamento nell’intervallo tra t1 e t2 sarà rappresentato dal segmento orientato P1P2 ( ) Lo spostamento complessivo nell’intervallo tra to e t2 sarà rappresentato dal segmento orientato PoP2 ( ) Il vettore è la somma di due vettori e P1 P2 Po G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Somma di due vettori Regola del parallelogramma Si riporta a partire da un punto Po il primo vettore ( ), dalla punta del primo vettore si riporta il secondo vettore ( ), il vettore somma si ottiene collegando il punto iniziale del primo vettore con il punto finale del secondo vettore Ma posso fare anche il contrario: a partire da Po riporto il secondo vettore ( )e poi dal suo estremo riporto il primo vettore ( ). Il vettore somma si ottiene collegando il punto iniziale con il punto finale. La somma dei due vettori coincide con la diagonale del parallelogramma costruito coni due vettori. P1 P1 P2 P2 Po Po G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Somma di due vettori y x La somma è commutativa, posso Regola del parallelogramma Si riporta il primo vettore, a partire dalla fine del primo vettore si riporta il secondo. Il vettore somma si ottiene congiungendo il punto iniziale del primo vettore con quello finale del secondo vettore y x La somma è commutativa, posso invertire il ruolo del primo vettore con il secondo G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La somma di più vettori Po Se si devono sommare più di due vettori…. a partire da un punto scelto arbitrariamente Po si riporta il primo vettore, dall’estremo del primo vettore si riporta il secondo, dall’estremo del secondo si riporta il terzo, e così di seguito. Il vettore somma sarà rappresentato dal segmento orientato che parte dal punto iniziale del primo vettore, Po ,e finisce nel punto finale dell’ultimo vettore. La somma di vettori gode della proprietà associativa e distributiva G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Prodotto di un vettore per uno scalare Il risultato del prodotto di un vettore, , per uno scalare k è Un vettore , di Modulo pari a valore assoluto di k volte il modulo del vettore Direzione quella del vettore Verso: quello di se k è positivo, quello opposto se k è negativo G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Differenza tra vettori La differenza tra vettori Si definisce come la somma tra La differenza tra due vettori è la seconda delle due diagonali del parallelogramma costriuto con i due vettori. P1 P2 Po G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Versori Sono vettori di modulo unitario I versori non hanno dimensioni G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Vettori componenti di un vettore y Qualunque vettore può essere pensato come somma di due vettori e , il primo parallelo all’asse x, il secondo all’asse y e sono i vettori componenti di . x N.B. Nello spazio i vettori componenti sono tre: , e G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Le componenti cartesiane Definizione delle componenti cartesiane attraverso i vettori componenti y x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Somma di vettori usando le componenti Ax Bx G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Significato di una relazione vettoriale Due vettori sono uguali se sono uguali le componenti Un’equazione vettoriale corrisponde a due (nel piano), tre (nello spazio) equazioni scalari G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Un’automobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km. Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale dell’auto dal punto di partenza. Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

- dal quarto d’ora alla mezz’ora - durante la mezz’ora successiva La lancetta dei minuti di un orologio a parete misura 10 cm dall’asse alla punta. Qual è il vettore spostamento della punta - dal quarto d’ora alla mezz’ora - durante la mezz’ora successiva - durante l’ora successiva Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Il vettore B sommato al vettore A da per risultato 6. 0i+1. 0j Il vettore B sommato al vettore A da per risultato 6.0i+1.0j. Se si sottrae B da A il risultato è -4.0i+7.0j. Quant’è il modulo il modulo di A. Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno di essi l’angolo formato con l’asse delle x: 1) ax=3 ay=3 2) bx=-3 by=-3 3) cx=-3 cy=3 4) dx=3 dy=-3 Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Equaz. parametriche della traiettoria Moto in tre dimensioni Traiettoria: luogo di punti via via occupati dal punto materiale La posizione del punto materiale viene individuato dal vettore posizione Il vettore posizione rappresenta lo spostamento a partire dall’origine per raggiungere la posizione del punto materiale Legge oraria: posizione in funzione del tempo. Le componenti cartesiane del vettore posizione sono le coordinate del punto materiale Il moto nello spazio è la composizione di tre moti rettilinei dei punti proiezione sugli assi coordinati Equaz. parametriche della traiettoria G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La velocità vettoriale istantanea Si fissa l’istante t Si fissa un intervallo Dt maggiore di zero Si calcola la velocità media nell’intervallo Dt La velocità media è un vettore perché prodotto di uno scalare per un vettore Si definisce la velocità istantanea come La velocità vettoriale tende ad assumere la direzione tangente alla traiettoria nel punto P(t). Il verso è quello del moto. La velocità vettoriale è la derivata del vettore posizione valutata all’istante t. Attenzione è la derivata di un vettore G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La velocità riferita alla traiettoria Indichiamo con Ds il percorso effettuato sulla traiettoria dal punto materiale. Osserviamo che per La velocità media può essere scritta: Il limite per Dt che tende a zero ci darà la velocità scalare istantanea. Supponiamo di poter calcolare il limite del rapporto incrementale nel seguente modo: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La velocità riferita alla traiettoria Osserviamo che La lunghezza dell’arco, per Dt, o Ds che tende a zero diventa uguale alla lunghezza della corda Abbiamo già osservato che lo spostamento, per Dt che tende a zero, si dispone lungo la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato nel verso del moto. Quindi possiamo porre La velocità istantanea può essere scritta: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Le componenti cartesiane della velocità Abbiamo definito la velocità come Come tutti i vettori la velocità può essere scritta utilizzando le sue componenti cartesiane come Ricordiamo che Calcoliamo la derivata prima di G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Componenti cartesiane della velocita Confrontando l’ultima espressione con quella della velocità espressa in termini delle sue componenti cartesiane si ottiene La componente x della velocità dipende solo dalla coordinata x della posizione, la componente y dalla coordinata y e la componente z dalla coordinata z. Le componenti non si mischiano G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Le componenti della velocità nella rappresentazione polare La rappresentazione polare viene usata per individuare la posizione di un punto in un piano, quindi si applica ai moti piani y x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La velocità angolare Sia q(t) l’angolo formato dal vettore posizione con l’asse x all’istante t e q(t+Dt) lo stesso angolo all’istante t+Dt Nell’intervallo Dt l’angolo è variato di Dq=q(t+Dt)-q(t) Si definisce velocità angolare media nell’intervallo Dt La velocità angolare istantanea si ottiene passando al limite per Dt che tende a zero y x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

L’accelerazione angolare Sia w(t) la velocità angolare all’istante t e w(t+Dt) quella all’istante t+Dt Nell’intervallo Dt la velocità angolare è variata di Dw=w(t+Dt)-w(t) Si definisce accelerazione angolare media nell’intervallo Dt L’accelerazione angolare istantanea si ottiene passando al limite per Dt che tende a zero y x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La velocità angolare e l’accelerazione angolare Le definizioni della velocità angolare e dell’accelerazione angolare sono del tutto simili a quelle della velocità ed accelerazione in moto rettilineo uniforme Anche le soluzioni saranno simili: G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Calcolo della derivata del versore y x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Le componenti della velocità nella rappresentazione polare Tornando al calcolo delle componenti della velocità nella rappresentazione polare y x G.M. - Edile-Architettura 2004/05

L’accelerazione y x Nell’intervallo Dt la velocità è cambiata sicuramente in direzione ma anche in intensità L’accelerazione media nell’intervallo Dt è data da L’accelerazione media è un vettore Notare che l’accelerazione è diretta verso la concavità della curva L’accelerazione istantanea all’istante t si ottiene con il passaggio al limite per Dt che tende a zero Ripetendo il limite per tutti gli istanti di tempo G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Le componenti cartesiane della accelerazione Abbiamo definito la velocità come Come tutti i vettori la velocità può essere scritta utilizzando le sue componenti cartesiane come Ricordiamo che Calcoliamo la derivata prima di G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Componenti cartesiane della accelerazione Confrontando le due espressioni La componente x della accelerazione dipende solo dalla componente x della velocità, la componente y della accelerazione dalla componente y della velocità e analogamente per la componente z. Le componenti non si mischiano G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Velocità ed accelerazione Abbiamo definito la velocità come G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Applicazione y vo x 60° Condizioni iniziali Un cannone lancia un proiettile con una velocità iniziale vo=60m/s ad un angolo di 60° rispetto all’orizzontale. Determinare, trascurando la resistenza dell’aria, la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). la velocità di impatto al suolo la durata del moto l’altezza massima raggiunta dal proiettile. il tempo impiegato per raggiungerla. il valore dell’angolo per il quale la gittata è massima ed il valore della gittata. la gittata quando l’angolo è di 30°. Applicazione 60° x y vo Introdurre il sistema di riferimento Asse x orizzontale Asse y verticale vo contenuta nel piano xy Origine nel punto di lancio Il corpo sarà soggetto all’accelerazione di gravità Condizioni iniziali G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Applicazione 60° x y vo Il moto avviene nel piano xy Le equazioni parametriche della traiettoria: Per ottenere l’equazione della traiettoria y(x) bisogna eliminare il tempo G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Applicazione G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Applicazione G è massima quando sen2qo è massimo: 2qo=90° qo=45° la distanza dal punto di partenza del punto di atterraggio del proiettile (gittata). G è massima quando sen2qo è massimo: 2qo=90° qo=45° G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Applicazione La durata del moto Troviamo gli istanti di tempo in cui il proiettile è al suolo y=0 La velocità all’impatto t=t2 La componente y della velocità ha cambiato di segno Il modulo della velocità di impatto è vo G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Applicazione l’altezza massima raggiunta dal proiettile ed il tempo necessario per raggiungerla. Quando il punto si trova nel punto più alto della traiettoria vy=0 La gittata massima La gittata per qo=30° G.M. - Edile-Architettura 2004/05

Applicazione Moto del proiettile G.M. - Edile-Architettura 2004/05

La velocità angolare x y q vo Dq media a istantanea media istantanea Supponiamo che il punto materiale si muova con velocità costante sulla retta x=a L’angolo q formato dal vettore posizione con l’asse delle x varia nel tempo ci possiamo calcolare la velocità angolare vo Dq media a istantanea Se w varia nel tempo ci possiamo calcolare l’accelerazione angolare media istantanea G.M. - Edile-Architettura 2004/05