EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUSSI GEOFISICI Università degli Studi Roma Tre Laurea Magistrale in Ingegneria Civile per la Protezione del Territorio dai Rischi Naturali EQUAZIONI PER IL MOTO DEI FLUSSI GEOFISICI Corso: Idrodinamica delle Grandi Masse Docente: Ing Claudia Adduce http://host.uniroma3.it/docenti/adduce

EQUAZIONI SEMPLIFICATE PER L’ACQUA - 5 incognite: u,v,w,, p. - Poiché nelle equazioni semplificate mediante l’ipotesi di Boussinesq le variabili originarie  e p non compaiono più, si sono eliminati gli indici ‘ e si sono indicate rispettivamente come  e p, le deviazioni di densità e pressione. EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES EQUAZIONE DI CONTINUITA’ EQUAZIONE DELLA VARIAZIONE DI DENSITA’

EQUAZIONI DI REYNOLDS PER FLUSSI GEOFISICI Nei flussi turbolenti si usa effettuare la decomposizione di Reynolds, ovvero ciascuna grandezza viene decomposta in una parte media (denotata con ) ed una parte fluttuante (indicata con l’apice ). Ad esempio la componente di velocità u si decompone come: La media d’ora in poi si intenderà come una media temporale, su un intervallo di tempo lungo abbastanza per ottenere una media significativa dal punto di vista statistico, e corto abbastanza in modo da tener conto delle lente variazioni del flusso considerato. Bisogna ricordare che la media di prodotti fra grandezze ha la seguente proprietà: e lo stesso si avrà per Ovvero la media di un prodotto non è uguale al prodotto delle medie.

EQUAZIONI DI REYNOLDS PER FLUSSI GEOFISICI - L’obiettivo è definire le equazioni per le grandezze - L’equazione di bilancio della quantità di moto lungo x mediata fornisce: Si può osservare che l’equazione per il moto medio è molto simile a quella del moto originario, con l’aggiunta di tre nuovi termini, che rappresentano l’effetto della turbolenza sul campo medio e che si possono combinare con i termini di attrito (dovuti alla viscosità del fluido)

EQUAZIONI DI REYNOLDS PER FLUSSI GEOFISICI - La turbolenza ha un effetto analogo alla viscosità, ovvero tende a rallentare il flusso e può essere interpretata come uno sforzo dovuto alla turbolenza. I termini sono chiamati sforzi di Reynolds. - Le equazioni di Reynolds lungo le tre direzioni x, y, z sono: x: y: z:

COEFFICIENTI DI VISCOSITÀ TURBOLENTA - Normalmente si usa parametrizzare l’effetto di dissipazione prodotto sia dalla turbolenza, che dai moti di sottogriglia nei modelli numerici, attraverso coefficienti di viscosità turbolenta molto maggiori del coefficiente di viscosità molecolare, A,e >>. - l campo di velocità è anisotropo, di conseguenza si assegnano un coefficiente di viscosità turbolenta orizzontale A e un coefficiente di viscosità turbolenta verticale e. - Poiché i moti turbolenti coprono distanze orizzontali molto maggiori di quelle verticali, segue che A>>e. Inoltre poiché sia il flusso che le dimensioni di una griglia potrebbero variare nello spazio, i coefficienti di viscosità turbolenta potrebbero avere anch’essi una variazione spaziale. - D’ora in poi poiché compariranno le sole quantità medie, si ometterà il simbolo di media .

EQUAZIONI DI REYNOLDS - Per la soleinodalità del campo medio di velocità, i termini convettivi dell’equazione di bilancio della quantità di moto lungo x si posso scrivere come: Una simile trattazione si può effettuare anche per i termini convettivi che compaiono nelle equazioni lungo y e z. Le equazioni di Reynolds lungo x, y, z sono: x: y: z:

EQUAZIONE DELL’ENERGIA E DI CONTINUITA’ - Anche nell’equazione dell’energia (in termini di densità) ai coefficienti di diffusione molecolare si sovrappone l’effetto della turbolenza. Per le scale orizzontali è possibile sostituire i coefficienti di diffusione molecolare con il coefficiente di viscosità turbolenta A, poiché la turbolenza disperde il calore e la salinità come la quantità di moto. Per le scale verticali si usa invece una diffusività turbolenta ee diversa dal coefficiente di viscosità turbolenta. L’equazione dell’energia diventa: L’equazione di continuità non cambia:

SCALE DEL MOTO - E’ possibile effettuare delle semplificazioni nelle equazioni precedenti mediante un’analisi di scala. Per variabile di scala o semplicemente scala si intende una grandezza dimensionale con le stesse dimensioni della variabile considerata e avente un valore numerico rappresentativo della variabile stessa. - E’ necessario ricordare i due criteri che devono essere soddisfatti dai flussi geofisici: dove T è la scala dei tempi, U la scala della velocità, L la scala della lunghezza e  la velocità di rotazione dell’ambiente. - Solitamente si usa una scala per le lunghezze nel piano orizzontale, L, ed una scala differente per le lunghezze verticali, H, con H<<L. Infatti i flussi geofisici sono confinati entro domini che sono molto più estesi di quanto non siano spessi. Ad esempio lo strato limite atmosferico è spesso 10 Km, mentre i moti si estendono per migliaia di Km. Quindi si ha che

ESEMPI DI SCALE DEL MOTO Variabile Scale Unità Atmosfera Oceano x, y L m 100 km = 105 m 10 km = 104 m z H m 1 km = 103 m 100 m = 102 m t T s ≥ 1/2 giorno ≃ 4 × 104 s ≥ 1 giorno ≃ 9 × 104s u, v U m/s 10 m/s 0.1 m/s w W m/s p P kg/(m·s2) variabile   kg/m3

ANALISI DI SCALA PER L’EQUAZIONE DI CONTINUITA’ L’analisi di scala applicata all’equazione di continuità fornisce: si possono esaminare tre casi: 1) Se l’equazione di continuità si ridurrebbe a , che comporta w costante lungo la verticale. In seguito si mostrerà che questa condizione non può verificarsi, in quanto in presenza di un fondo fisso un flusso del genere deve essere supportato da una convergenza laterale, quindi i termini non possono essere contemporaneamente eliminati.

ANALISI DI SCALA PER L’EQUAZIONE DI CONTINUITA’ 2) Se l’equazione di continuità si riduce a comportando che una convergenza in una direzione orizzontale è compensata da una divergenza nell’altra direzione orizzontale e ciò è possibile. 3) Se si avrebbe un bilancio nelle tre direzioni, che è possibile. - La w deve quindi rispettare la relazione e ricordandosi che H<<L si ha - I flussi geofisici di grande scala hanno uno spessore piccolo (H<<L) e sono quasi bidimensionali (W<<U).

ANALISI DI SCALA PER LE EQUAZIONI DI REYNOLDS Consideriamo l’equazione di Reynolds lungo la direzione x: Nei flussi geofisici la rotazione riveste un’importanza notevole, nel seguito dell’analisi si effettuerà un confronto di tutti i termini delle equazioni di Reynolds con il termine di Coriolis U. 1) Dalla U>>W si ha che U>>W, quindi W può essere trascurato rispetto a U. Ciò non è valido all’equatore. 2) Si anticipa che il termine gradiente di pressione ha lo stesso ordine di grandezza del termine di Coriolis, quindi

ANALISI DI SCALA PER LE EQUAZIONI DI REYNOLDS - Equazione di Reynolds lungo la direzione x: 3) I termini di dissipazione turbolenta orizzontale e verticale non predominano sul termine di Coriolis, quindi - Equazione di Reynolds lungo la direzione y: Si possono fare le stesse considerazioni dell’equazione di Reynolds proiettata lungo x

ANALISI DI SCALA PER LE EQUAZIONI DI REYNOLDS Consideriamo l’equazione di Reynolds lungo la direzione z: 1) Si dimostra che 2) Si dimostra che

ANALISI DI SCALA PER LE EQUAZIONI DI REYNOLDS Equazione di Reynolds lungo la direzione z: 3) Si dimostra che 4) Facendo il rapporto fra il termine di Coriolis e quello del gradiente di pressione e ricordando l’espressione P=0LU, si dimostra che il termine di Coriolis e di conseguenza tutti i termini a primo membro sono trascurabili rispetto al gradiente di pressione.

ANALISI DI SCALA PER LE EQUAZIONI DI REYNOLDS Equazione di Reynolds lungo la direzione z: 3) I termini di dissipazione turbolenta orizzontale e verticale non predominano sul termine di Coriolis, quindi i termini di dissipazione turbolenta sono trascurabili rispetto al termine di Coriolis U e di conseguenza lo sono trascurabili rispetto al gradiente di pressione. In conclusione nell’equazione di Reynolds proiettata lungo z restano solo due termini, tale equazione si riduce all’equazione dell’idrostatica.

DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IDROSTATICA - Dall’analisi di scala sull’equazione di Reynolds proiettata lungo la direzione z si è dimostrato che la pressione ha una distribuzione idrostatica. - In assenza di stratificazione la perturbazione di densità 0 quindi Poiché la pressione p rappresenta una piccola perturbazione rispetto ad una pressione (quella del fluido anch’essa in equilibro idrostatico) molto più elevata, si può dire che i flussi geofisici tendono ad avere una distribuzione idrostatica della pressione pur essendo in movimento. - Questo comportamento è conseguenza della disparità geometrica fra la scala orizzontale e quella verticale (H<<L), laddove tale disparita non sussista l’approssimazione idrostatica non è più valida.

SOMMARIO EQUAZIONI PER FLUSSI GEOFISICI Si riporta il sistema di equazioni semplificate mediante l’ipotesi di Boussinesq e l’analisi di scala. La densità di riferimento 0 e l’accelerazione di gravità, g, sono costanti, il coefficiente di Coriolis f = 2 sin dipende dalla latitudine, le viscosità turbolente, A e e, ed il coefficiente di diffusività, e, sono costanti o funzioni del flusso, o di parametri di griglia. Si ha un sistema di cinque equazioni, chiamate equazioni primitive, nelle cinque incognite u, v, w, p, . x: y: z: EQUAZIONI DI REYNOLDS EQUAZIONE DI CONTINUITA’ EQUAZIONE DELL’ENERGIA

NUMERI ADIMENSIONALI - L’analisi di scala effettuata è servita ad eliminare i termini molto piccoli dal sistema di equazioni, ma ciò non significa che i termini rimanenti abbiano lo stesso ordine di grandezza. Bisogna quindi valutare l’importanza relativa fra i termini presenti nel sistema di equazioni. I termini nelle equazioni di Reynolds proiettate sulle direzioni orizzontali sono scalate da - Poiché nei flussi geofisici la rotazione dell’ambiente modifica il flusso, dividiamo per U, tutti i termini in modo da valutare la loro importanza relativa rispetto al termine di Coriolis.

NUMERI ADIMENSIONALI - Il numero di Rossby temporale, RoT, dato dal rapporto fra la variazione locale della velocità e la forza di Coriolis è dell’orine dell’unità o poco meno (dalla relazione T1/). - Il numero di Rossby, Ro, dato dal rapporto fra i termini convettivi e la forza di Coriolis è dell’ordine dell’unità o poco meno (dalla relazione U/L). Il numero di Rossby è fondamentale per i flussi geofisici, infatti una sua piccola variazione produce sostanziali cambiamenti nel flusso. - Il numero successivo è dato dal prodotto del numero di Rossby per WL/UH, è anch’esso dell’ordine dell’unità o poco meno (dalla relazione WHU/L). Il rapporto successivo, P/(0LU) è dell’ordine dell’unità poiché la pressione si scala come P= 0 LU.

NUMERI ADIMENSIONALI - Gli ultimi tre termini rappresentano il rapporto fra l’attrito lungo la direzione orizzontale o verticale e la forza di Coriolis. In particolare l’ultimo termine si chiama numero di Ekman, Ek. - Ek per i flussi geofisici è un numero piccolo. Per esempio data una viscosità turbolenta In laboratorio il numero di Ekman è ancora più piccolo sia perché la viscosità è pari a quella molecolare, sia a causa delle inferiori scale delle lunghezze, H. - Sebbene il numero di Ekman sia così piccolo, ovvero i termini viscosi siano trascurabili, essi non possono essere eliminati in quanto producono un importante strato limite (lo strato di Ekman).

NUMERI ADIMENSIONALI - Nella meccanica dei fluidi non rotanti si usa confrontare tutte le forze con quelle inerziali, per i fluidi rotanti questo confronto viene fatto invece con la forza di Coriolis. - Se si confrontano le forze viscose con quelle inerziali si ottiene il numero di Reynolds. Esiste una relazione che lega a questo numero adimensionale (Re) sia il numero di Ekman (Ek), che quello di Rossby (Ro), che il rapporto H/L: - Poiché Ro è dell’ordine dell’unità o poco meno, ma Ek e H/L sono numeri molto piccoli (anche se al posto della viscosità turbolenta ci fosse quella molecolare), Re per i flussi geofisici è molto elevato.

NUMERI ADIMENSIONALI - Se si effettua l’analisi di scala per l’equazione di Reynolds proiettata lungo z si ha Ricordando che la pressione si scala come P=0LU e facendo il rapporto fra il secondo termine (gradiente di pressione) ed il primo (gravità), si ottiene Dove Ri è il numero di Richardson definito come: Questo numero può essere: 1) Ri<1 se gli effetti della stratificazione sono trascurabili. 2) Ri=1 se gli effetti della stratificazione sono importanti. 3) R1>1 se gli effetti della stratificazione sono dominanti.

RIEPILOGO NUMERI ADIMENSIONALI Numero di Rossby temporale rapporto fra la variazione locale della velocità e la forza di Coriolis Numero di Rossby rapporto fra i termini convettivi e la forza di Coriolis Numero di Ekman rapporto fra la forza d’attrito lungo la direzione verticale e la forza di Coriolis Numero di Richardson rapporto fra il gradiente di pressione e la forza di gravità

CONDIZIONI INIZIALI E CONDIZIONI AL CONTORNO - Il sistema di equazioni per lo studio dell’IGM, in cui il numero di incognite è pari al numero delle equazioni indipendenti, può essere risolto in maniera univoca solo se vengono fornite ulteriori condizioni, riguardanti lo stato iniziale e i contorni del sistema. - Poiché le equazioni che compongono il sistema contengono delle derivate prime nel tempo per le variabili u, v, e , sarà necessario imporre delle condizioni iniziali. - Si definiscono variabili di stato le variabili che hanno una dipendenza dal tempo come u, v, e . Vengono chiamate variabili diagnostiche quelle che non hanno derivate temporali ma solo spaziali, come w e p, tali variabili possono essere determinate in ogni istante dalla conoscenza delle altre variabili nel medesimo istante. - Il numero ed il tipo di condizioni al contorno da imporre dipende dalla natura delle equazioni differenziali (iperboliche, paraboliche o ellittiche), tale classificazione è basata sul concetto di linee caratteristiche.

CONDIZIONE CINEMATICA AL FONDO L’aria e l’acqua non possono attraversare un confine impermeabile, in termini matematici si ha che la velocità deve essere tangente ad un confine impermeabile, ovvero il versore diretto come la normale alla superficie è ortogonale alla velocità. Consideriamo l’equazione del fondo z-b(x,y)=0 il versore normale ha le tre componenti date da: Calcolando il prodotto scalare fra il versore n e la velocità v (di componenti u, v, w) ed imponendo che siano ortogonali (il prodotto scalare è nullo) si ha La stessa condizione si ottiene considerando il fondo come una superficie materiale del fluido, non attraversata dal flusso ed immobile, ricordando che Dz/Dt=0 e b/t=0.

CONDIZIONE CINEMATICA ALLA SUPERFICIE LIBERA Per la superficie libera si può imporre una condizione analoga a quella del fondo, con la differenza che il confine si muove assieme al fluido. Definito (x,y,t) il sopraelevamento della superficie libera rispetto ad una superficie di riferimento, la superficie libera si può esprimere attraverso l’equazione z-(x,y,t)=0. Se la si esprime come una derivata materiale: Sono casi particolari il fondo piatto ed una superficie libera il cui spostamento sia trascurabile, definito approssimazione di copertura rigida (rigid lid approximation), in questi casi la velocità verticale è nulla in corrispondenza del confine.

CONDIZIONE DINAMICA - Le condizioni dinamiche, a differenza delle condizioni cinematiche contenenti solo velocità, conterranno anche le forze. - Un esempio è dato dalla continuità della pressione all’interfaccia aria-acqua sulla superficie dell’oceano, ovvero la pressione esercitata dall’aria sull’oceano, patm, deve uguagliare la pressione esercitata dall’oceano sull’atmosfera, poce. - Se si considera una sopraelevazione  della superficie dell’oceano ed una distribuzione di pressione idrostatica, dalla continuità della pressione sulla superficie z=, scelto z=0 come livello di riferimento, segue che - Un’altra condizione dinamica è legata alla viscosità del fluido. Tutti i fluidi sono soggetti alla viscosità, questo comporta la condizione di aderenza del fluido alle pareti (velocità nulla alla parete). La regione in cui la velocità tende a zero è normalmente molto sottile (se la viscosità è piccola) e viene chiamata strato limite.

CONDIZIONE DINAMICA - Se tale strato limite è piccolo in confronto alle scale d’interesse, è possibile eliminare l’attrito dalle equazioni di bilancio della quantità di moto ed imporre la condizione di scorrimento alla parete. In questo caso l’unica condizione al contorno che si può imporre è quella di impermeabilità. - Se si deve tener conto della viscosità, si deve imporre una velocità nulla ad un confine fisso o per confini mobili fra due fluidi, si deve imporre la continuità sia della velocità che degli sforzi tangenziali fra i due fluidi. Ad esempio per l’oceano si può imporre: - Dove  x e  y sono le componenti dello sforzo del vento esercitato dall’atmosfera sull’oceano, che si parametrizzano attarverso delle relazioni quadratiche in funzione della velocità a 10 m sul mare u10 come con u10 e v10 le componenti di u10 lungo x ed y, Cd=0.0015 per il vento sul mare e

CONDIZIONI AL CONTORNO PER IL CALORE, LA SALINITA’ E I TRACCIANTI Per quanto riguarda le equazioni per la temperatura, la salinità o la densità, che contengono dei termini diffusivi, si possono imporre differenti condizioni. 1) Condizione di Dirichelet: consiste nell’imporre il valore della variabile e si applica alle condizioni in cui si hanno delle osservazioni (temperatura della superficie del mare da dati da satellite). 2) Condizione di Neumann: consiste nell’imporre il flusso di una quantità (è una condizione su una derivata spaziale) e si applica quando si conoscono dei flussi di scambio turbolento aria-acqua (flusso di calore). 3) Condizione di Cauchy o di Robin: è una condizione di tipo misto che consiste nell’imporre sia il valore della variabile, che il flusso della stessa.