FLUSSI GEOSTROFICI E DINAMICA DELLA VORTICITA’ Università degli Studi Roma Tre Laurea Magistrale in Ingegneria Civile per la Protezione dai Rischi Naturali FLUSSI GEOSTROFICI E DINAMICA DELLA VORTICITA’ Corso: Idraulica Ambientale Docente: Ing Claudia Adduce http://host.uniroma3.it/docenti/adduce

SOMMARIO EQUAZIONI PER FLUSSI GEOFISICI Si riporta il sistema di equazioni semplificate mediante l’ipotesi di Boussinesq e l’analisi di scala. La densità di riferimento 0 e l’accelerazione di gravità, g, sono costanti, il coefficiente di Coriolis f = 2 sin dipende dalla latitudine, le viscosità turbolente, A e e, ed il coefficiente di diffusività, e, sono costanti o funzioni del flusso, o di parametri di griglia. Si ha un sistema di cinque equazioni, chiamate equazioni primitive, nelle cinque incognite u, v, w, p, . x: y: z: EQUAZIONI DI REYNOLDS EQUAZIONE DI CONTINUITA’ EQUAZIONE DELL’ENERGIA

RIEPILOGO NUMERI ADIMENSIONALI Numero di Rossby temporale rapporto fra la variazione locale della velocità e la forza di Coriolis Numero di Rossby rapporto fra i termini convettivi e la forza di Coriolis Numero di Ekman rapporto fra la forza d’attrito lungo la direzione verticale e la forza di Coriolis Numero di Richardson rapporto fra la forza di gravità ridotta e le forze d’inerzia

FLUSSI GEOSTROFICI OMOGENEI Se si considera un fluido sotto le seguenti ipotesi: 1) Omogeneo =0 (non ci sono variazioni di densità) 2) Caratterizzato da una rapida rotazione 3) In cui la forza di Coriolis predomina sui termini convettivi 4) In cui si possono ignorare i termini viscosi Il sistema di equazioni differenziali può semplificarsi x: y: z:

SISTEMA DI EQUAZIONI PER FLUSSI GEOSTROFICI OMOGENEI Il sistema di equazioni differenziali semplificato per un fluido rotante, omogeneo e in assenza di attrito, equazioni geostrofiche, è: x: y: z: Derivando lungo z rispettivamente la prima e la seconda equazione, ricordando che la terza equazione fornisce p/z=0, si ottiene La derivata lungo la verticale, z, delle due componenti orizzontali di velocità è nulla. Tale proprietà va sotto il nome di teorema di Taylor-Proudman ed implica che il campo di velocità orizzontale non ha alcun gradiente verticale e che quindi tutte le particelle si devono muovere rigidamente lungo la verticale (il moto su un piano si ripete identicamente su piani paralleli).

CARATTERISTICHE DEI FLUSSI GEOSTROFICI OMOGENEI - Le equazioni di bilancio della quantità di moto possono essere risolte ottenendo le due componenti di velocità orizzontale, u e v. Si può dimostrare che il vettore velocità u=(u,v) è ortogonale al vettore gradiente di pressione, p=(p/x,p/y) ovvero . - Mentre per un fluido non rotante il moto è parallelo ed in direzione opposta al gradiente di pressione (le particelle si muovono da alte pressioni verso basse pressioni), per un fluido rotante il moto è lungo le isobare (ovvero ortogonale al gradiente di pressione). - Tale moto, detto geostrofico, è isobarico e le isobare sono linee di corrente. Inoltre non viene svolto alcun lavoro di pressione né sul fluido né dal fluido (il gradiente è ortogonale allo spostamento), quindi una volta iniziato tale moto può continuare senza alcuna sorgente di energia.

DIREZIONE DI UN FLUSSO GEOSTROFICO OMOGENEO Dopo aver definito la direzione del moto (lungo le isobare) è necessario valutarne il verso. Dalle soluzioni per le due componenti u, v, si evince che: - Se f>0 (emisfero settentrionale e rotazione antioraria) la corrente (o i venti) si muove tenendo a destra l’alta pressione - Se f<0 (emisfero meridionale e rotazione oraria) la corrente (o i venti) si muove tenendo a sinistra l’alta pressione.

DIREZIONE DI UN FLUSSO GEOSTROFICO OMOGENEO - Se f>0 (emisfero settentrionale e rotazione antioraria) la corrente (o i venti) si muovono tenendo a destra l’alta pressione - Se f<0 (emisfero meridionale e rotazione oraria) la corrente (o i venti) si muovono tenendo a sinistra l’alta pressione.

ESEMPIO DI FLUSSO GEOSTROFICO OMOGENEO La carta meteorologica mostra un parallelismo fra le velocità e le isobare indicativo di un equilibrio geostrofico. I vettori velocità del vento sono indicati mediante delle frecce con bandiere (25 m/s), 4 aste (5 m/s) e 2 aste (2.5 m/s).

FLUSSI GEOSTROFICI OMOGENEI CON F-PLANE L’ipotesi di f-plane si può assumere quando il campo di velocità si estende lungo i paralleli, ma non maniera eccessiva. In questo caso la variazione del parametro di Coriolis con la latitudine è trascurabile e si può porre f =costante. La divergenza del campo orizzontale di velocità si annulla: I flussi geostrofisici sono non divergenti nell’ipotesi di f-plane. Inoltre l’equazione di continuità assieme alla non divergenza del campo orizzontale fornisce: Anche la velocità verticale è indipendente dall’altezza. Se il fluido è delimitato da un fondo piatto (piano orizzontale o il mare per l’atmosfera) o da un confine superiore piatto (la superficie libera per l’oceano), poiché la velocità verticale si deve annullare al contorno, segue che è nulla ovunque, quindi il flusso è 2D.

FLUSSI GEOSTROFICI OMOGENEI SU UNA TOPOGRAFIA IRREGOLARE - Consideriamo un flusso geostrofico su un fondo irregolare, ipotizzando che le variazioni della superficie libera siano trascurabili se confrontate con le irregolarità del fondo. (Esempio: mare poco profondo, tra i 20 e i 50 m, caratterizzato da onde di superficie di pochi centimetri d’altezza). - La condizione cinematica al fondo, mostra che un flusso che sale o scende lungo un piano inclinato ha una velocità verticale proporzionale alla pendenza del fondo (b è l’elevazione del fondo rispetto ad un piano di riferimento con z-b(x,y)=0 equazione del fondo). - In superficie si ha w=0, per un flusso geostrofico si ha che w/z=0 ovvero w=cost lungo z, quindi w=0 anche al fondo e la condizione cinematica comporta che il flusso geostrofico non può risalire o scendere lungo un piano inclinato.

FLUSSI GEOSTROFICI OMOGENEI SU UNA TOPOGRAFIA IRREGOLARE - Se la topografia è costituita da innalzamenti (o cavità) isolate su un fondo piatto, il flusso geostrofico che si muove su tale fondo piatto non può risalire, anche solo parzialmente, un innalzamento, ma può solo girarci intorno. - A causa della proprietà di rigidità verticale di un flusso geostrofico, le particelle fluide a tutti i livelli, anche quelle che si trovano ad una quota superiore all’innalzamento, devono girarci intorno. - Allo stesso modo il flusso geostrofico che si trova sull’innalzamento non può che restare lì. I flussi geostrofici che restano intrappolati sugli innalzamenti o sulle cavità vengono chiamati colonne di Taylor. - Se il fondo è piatto un flusso geostrofico può seguire un percorso qualunque, influenzato dalle condizioni iniziali.

FLUSSI GEOSTROFICI OMOGENEI SU UNA TOPOGRAFIA IRREGOLARE - Se il fondo ha una pendenza diversa da zero il flusso geostrofico non può che seguire le isobate (linee a profondità costante). Le linee a pressione costante sono quindi allineate alle linee a profondità costante, ovvero le isobate e le isobare coincidono. - Isobate aperte che iniziano o terminano su una parete impermeabile non possono essere percorse da alcun flusso, altrimenti tale flusso dovrebbe attraversare la parete impermeabile. - Il flusso è bloccato lungo l’intera lunghezza di tali pareti impermeabili, ovvero un flusso geostrofico può aversi solo lungo isobate chiuse.

EQUAZIONI PER FLUSSI GEOFISICI Si riporta il sistema di equazioni semplificate mediante l’ipotesi di Boussinesq e l’analisi di scala. La densità di riferimento 0 e l’accelerazione di gravità, g, sono costanti, il coefficiente di Coriolis f = 2 sin dipende dalla latitudine, le viscosità turbolente, A e e, ed il coefficiente di diffusività, e, sono costanti o funzioni del flusso, o di parametri di griglia. Si ha un sistema di cinque equazioni, chiamate equazioni primitive, nelle cinque incognite u, v, w, p, . x: y: z: EQUAZIONI DI REYNOLDS EQUAZIONE DI CONTINUITA’ EQUAZIONE DELL’ENERGIA

GENERALIZZAZIONE PER FLUSSI NON GEOSTROFICI: IL FLUSSO BAROTROPICO - Si ipotizza che: 1) il fluido non ruoti molto velocemente, ovvero che l’accelerazione di Coriolis non sia molto maggiore degli altri termini di accelerazione. 2) Il fluido sia omogeneo ed in assenza di attrito. - p è indipendente da z per la terza eq. di Reynolds, se i termini di Coriolis ed u e v sono inizialmente indipendenti da z (u/z= v/z=0 per t=0), segue che anche u/t e v/t sono indipendenti da z, quindi u e v restano indipendenti da z anche per tempi successivi: flusso barotropico. x: y: z: EQUAZIONI DI REYNOLDS EQUAZIONE DI CONTINUITA’

EQUAZIONE DI CONTINUITA’ FLUSSO BAROTROPICO - Proprietà dei flussi barotropici: se il campo di moto orizzontale (u, v) è inizialmente indipendente dalla coordinata verticale, z, resterà tale anche per istanti di tempo successivi. Le equazioni per i flussi barotropici sono - I flussi barotropici come i flussi geostrofici hanno u e v indipendenti da z, ma a differenza di questi non si muovono lungo le isobate ed hanno una velocità verticale, w, diversa da zero, come si evince dall’equazione di continuità. Può esistere una componente di velocità verticale che varia linearmente con z e che assicura una divergenza del campo orizzontale diversa da zero, e quindi permette un flusso attraverso le isobate. x: y: z: EQUAZIONI DI REYNOLDS EQUAZIONE DI CONTINUITA’

GENERALIZZAZIONE PER FLUSSI NON GEOSTROFICI: IL FLUSSO BAROTROPICO Se si integra l’equazione di continuità lungo tutta la profondità in cui b è la distanza del fondo da un piano di riferimento e h è lo spessore locale del flusso. Le condizioni cinematiche applicate alla superficie libera (con +H=b+h) e al fondo sono

GENERALIZZAZIONE PER FLUSSI NON GEOSTROFICI: IL FLUSSO BAROTROPICO Sostituendo le due condizioni cinematiche in e ricordando che +H=b+h che si può scrivere come Poiché il fluido è omogeneo la pressione dinamica non dipende da z e, se la pressione sulla superficie fluida è uniforme, la condizione dinamica sulla pressione è

MODELLO SHALLOW WATER Sostituendo l’espressione di p nelle equazioni il sistema precedente diventa un sistema di 3 equazioni nelle tre incognite u, v, . Se il fondo è piatto (b=0 e quindi +H=h) il modello shallow water diventa MODELLO SHALLOW WATER

DINAMICA DELLA VORTICITA’ x: y: z: EQUAZIONI DI REYNOLDS - Se si sottrae la seconda equazione di Reynolds derivata in x alla prima equazione di Reynolds derivata in y si ha Ricordando la definizione di derivata materiale

DINAMICA DELLA VORTICITA’ Si ottiene - Il parametro di Coriolis, f=2 sin, dipendente dalla latitudine e quindi dalla posizione, si è assunto variabile. I termini sono considerati come la somma della vorticità dell’ambiente f e quella relativa . La vorticità è un vettore, ma per un flusso orizzontale essa ha solo componente verticale. - L’equazione di continuità per le equazioni shallow water può essere riscritta come

DINAMICA DELLA VORTICITA’ - Se si considera una colonna di fluido incomprimibile di sezione ds ed altezza h e di volume hds, per la conservazione del volume si ha ovvero se la particella è schiacciata verticalmente (h diminuisce) segue che la particella subisce uno stiramento orizzontalmente (ds aumenta) e vice versa.

DINAMICA DELLA VORTICITA’ - Sostituendo Dh/Dt si ottiene la relazione che mostra come una divergenza orizzontale (u/x+v/y>0) produce un aumento dell’area trasversale ds, mentre una convergenza (u/x+v/y<0) produce una diminuzione dell’area trasversale ds.

TEOREMA DI KELVIN PER FLUSSI ROTANTI - Sostituendo l’ultima relazione nella seconda - La relazione precedente implica che una particella fluida deve conservare il prodotto (f+)ds. Esso non è altro che il flusso della vorticità attraverso la sezione ds (ovvero la vorticità integrata sulla sezione ds) e viene denominata circuitazione della particella.

TEOREMA DI KELVIN PER FLUSSI ROTANTI - La relazione rappresenta l’estensione ai flussi rotanti bidimensionali del teorema di Kelvin, che garantisce la conservazione della circuitazione nei fluidi non viscosi. Il teorema di Kelvin rappresenta il principio di conservazione del momento angolare. Esempio: una ballerina sulle punte ruota lentamente se le sue braccia sono aperte, mentre ruota più velocemente se ha le braccia aderenti al corpo. Analogamente in un flusso geofisico omogeneo, se una particella subisce una diminuzione della sua sezione ds, la sua vorticità totale (f+) deve aumentare per mantenere costante la circuitazione.

VORTICITA’ POTENZIALE - Si è dimostrato che sia la circuitazione (f+)ds che il volume (hds) si devono conservare, segue che si deve conservare anche il loro rapporto: - Il rapporto q=(f+)/h viene chiamato vorticità potenziale e rappresenta una circuitazione per unità di volume.

VORTICITA’ POTENZIALE - Se si considerano flussi rapidamente rotanti, in cui la forza di Coriolis predomina, si ha che il numero di Rossby Ro è molto inferiore all’unità (Ro=U/L<<1) segue che la vorticità relativa  (=v/x-u/y che ha le dimensioni di U/L) è trascurabile rispetto alla vorticità dell’ambiente f (f=2sin che ha le dimensioni di ). La vorticità potenziale si riduce a - Se f=costante, come accade nelle vasche rotanti sperimentali o per flussi che non variano la propria latitudine, si ha che ogni colonna fluida deve conservare la propria altezza h. In particolare se il confine superiore è orizzontale il flusso deve muoversi lungo le isobate (il che è in accordo con l’esistenza delle colonne di Taylor). - Se f è variabile e la topografia piatta il flusso non può attraversare le circonferenze a latitudine costante, ovvero il flusso deve seguire una traiettoria lungo la quale f/h è costante.

APPROSSIMAZIONE A COPERCHIO RIGIDO - Generalmente i flussi di grande scala in oceano sono relativamente lenti (eccetto le rapide onde superficiali), quindi è possibile introdurre l’approssimazione a coperchio rigido (rigid lid approximation). - I flussi di grande scala con Ro<<1 hanno un equilibrio simile a quello dei flussi geostrofici, quindi la pressione dinamica ha un ordine di grandezza che è dato da P0UL e poiché p=0g la scala degli spostamenti verticali H è data da - Consideriamo l’equazione di continuità integrata sulla verticale e assumendo che la scala dei tempi (T) ha lo stesso ordine di grandezza della scala dei tempi inerziali (T1/)

APPROSSIMAZIONE A COPERCHIO RIGIDO H2UL/g e il rapporto di scala fra il primo termine e gli altri due è pari a 2L2/gH. - Generalmente tale rapporto è molto piccolo, infatti 10-5 rad/s, g10 m/s2 e in atmosfera L105 m e H103 m, mentre in oceano L104 m e H102 m. Quindi il termine di derivata temporale nell’equazione di continuità integrata sulla verticale si può trascurare, tale approssimazione va sotto il nome di approssimazione a coperchio rigido (rigid lid approximation).

APPROSSIMAZIONE A COPERCHIO RIGIDO - Una formulazione a superficie libera (a sinistra) ammette che la superficie libera si muova con il flusso. - La formulazione a coperchio rigido (rigid lid approximation) assume una superficie fissata, al di sotto della quale la pressione non ha distribuzione idrostatica, in quanto il coperchio localmente “resiste” ad ogni forza diretta verso l’alto o verso il basso.

APPROSSIMAZIONE A COPERCHIO RIGIDO - La formulazione a coperchio rigido (rigid lid approximation) avrà un’importante implicazione in fase di soluzione numerica delle equazioni. - Infatti mentre nella formulazione a superficie libera si determinerà  da cui si calcolerà la pressione con una distribuzione idrostatica. - Nell’approssimazione a coperchio rigido si dovrà determinare un campo di pressione che assicuri in ogni istante la non divergenza del campo del trasporto (hu, hv).