Determinazione della curvatura nello stato fessurato Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 LEZIONE N° 6 – STATI LIMITE DI ESERCIZIO IN STRUTTURE IN C.A. (stato limite di deformazione) Posizione del problema Il calcolo delle deformazioni nelle strutture isostatiche Determinazione della curvatura nello stato fessurato Calcolo analitico delle deformazioni Riferimenti normativi (D.M. 14.09.05, Eurocodice 2) Esempio: calcolo dell’abbassamento di una trave appoggiata in c.a in condizioni di stato limite di deformazione Il calcolo delle deformazioni nelle strutture iperstatiche L’effetto dell’iperstaticità sulla deformazione La trave continua fessurata

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Posizione del Problema) Le deformazioni massime nelle strutture in c.a. devono essere limitate essenzialmente per evitare problemi di natura funzionale: evitare ad esempio danni agli elementi non strutturali sorretti (tramezzi, tamponature, pavimenti etc..), evitare che grandi deformazioni compromettano il razionale smaltimento delle acque, evitare indesiderati effetti antiestetici. La valutazione analitica delle deformazioni e degli abbassamenti conseguenti non è cosa facile in strutture in c.a. per i problemi già messi sufficientemente in evidenza nel caso di stato limite di fessurazione. La difficoltà maggiore consiste essenzialmente nel valutare la rigidezza degli elementi strutturali in presenza di fessurazione. Come già visto nel caso di sole tensioni normali la rigidezza media di una trave fessurata può calcolarsi tenendo conto del calcestruzzo ancora reagente che si trova tra due fessure consecutive (tension stiffening effect). Si tenga presente inoltre che le deformazioni nelle strutture in c.a. dipendono anche da altri fenomeni non meno importanti come il ritiro e la viscosità che modificano lo stato deformativo anche in assenza di variazione dello stato di carico.

Per doppia integrazione della curvatura si ottiene lo spostamento v(x) Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente) Come già accennato in precedenza il calcolo analitico delle deformazioni dipende dalla possibilità di modellare in maniera accurata il fenomeno della fessurazione. Le formulazioni approssimate di tale fenomeno conducono a risultati che presentano notevoli differenze rispetto ai risultati dell’esperienza sperimentale. Una prima approssimazione consiste nel presupporre la sezione interamente reagente. Indicando con II il momento d’inerzia della sezione della sezione interamente reagente la curvatura è data dalla relazione Curvatura della sezione Interamente reagente Per doppia integrazione della curvatura si ottiene lo spostamento v(x)

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione interamente reagente) Un metodo alternativo all’integrazione diretta della curvatura è far uso del teorema dei lavori virtuali Sistema reale Sistema virtuale Sistema reale Sistema Virtuale

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Quando nella sezione viene superata la resistenza a trazione nel calcestruzzo, la deformazione nell’acciaio può essere espressa come una frazione della deformazione dello stesso al secondo stadio (D.M. 9.1.96, EC2) I° stadio II° stadio M Fessurazione Tension Stiffening II,stadio < 1 Nel caso di pura flessione yc d s Momento di fessurazione In corrispondenza della condizione Md=Mf sussiste una discontinuità in quanto il valore della sm non corrisponde a quello relativo al I° stadio

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) La normativa europea corregge tale discontinuità definendo la deformazione dell’acciaio nella sezione fessurata come combinazione della deformazione al I° e al II° stadio (deformazione media del concio fessurato)  yc d Deformazione media del concio di trave fessurata secondo l’Eurocodice 2 Deformazione media dell’acciaio nella sezione fessurata secondo Il D.M. 9.1.96

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Volendo quindi calcolare la deformazione di una struttura isostatica tenendo conto delle indicazioni della normativa europea si possono calcolare le caratteristiche geometriche della sezione al I° e II° stadio, per poi calcolare analiticamente l’abbassamento con l’equazione della linea elastica sovrapponendo gli effetti così come indicato dall’Eurocodice 2 I° stadio yc d I II II° stadio yc d

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Metodo Alternativo Un metodo alternativo è quello di separare le zone di trave fessurate da quelle non fessurate e applicare l’integrale per la determinazione dell’abbassamento tenendo conto della diversa distribuzione delle caratteristiche meccaniche v L a b c Mfess (Zona non fessurata) Zona fessurata

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO Gk,Qk 6m 3m Dati b=20 cm h=60 cm As=210=1.57cm2 As’=314=4.62cm2 Cls: Rck 25 Mpa Acciaio: B450C Gk = 14 kN Qk = 7 kN As h As’ b f ? Calcolare lo spostamento verticale della trave di figura utilizzando i dati indicati a lato. Per il calcolo fare riferimento al D.M. 14.09.05 e all’EC2

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO Lo spostamento di può calcolare rapidamente facendo uso del Teorema dei Lavori Virtuali: Sistema Reale Sistema Virtuale Sistema virtuale Sistema reale

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO ANALIITICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) ESEMPIO Calcolo con riferimento al D.M. 14.09.05. La normativa non fornisce alcun criterio di calcolo e rimanda a criteri reperibili in letteratura. Il precedente decreto faceva riferimento alla curvatura al secondo stadio corretta del tension stiffening effect. Caratteristiche della sezione: I° Stadio – Trascurando la presenza dell’armatura si ha yI=29 cm JI = byI 3/3+b(h-yI)3/3 +nAs(d-yI)2+nAs’(yI-d’)2 = 426507 cm4 II° Stadio - calcolo asse neutro - calcolo momento d’inerzia

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Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture isostatiche) IL CALCOLO NUMERICO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata)

Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A 2006-07 SLE di deformazione nel c.a. (Strutture Iperstatiche) IL CALCOLO DELLE DEFORMAZIONI (sezione fessurata) Nel caso di strutture iperstatiche il diagramma dei momenti non è noto a priori e dunque il calcolo della deformazione non risulta essere immediato. Ad esempio, l’applicazione del teorema dei lavori virtuali comporterebbe la risoluzione di due sistemi iperstatici (sistema cinematicamente compatibile e staticamente equilibrato). L’ulteriore complicazione è che il problema è non lineare in quanto il momento d’inerzia della struttura cambia lungo l’asse della struttura stessa. L’approccio classico al problema è di tipo numerico iterativo. Per maggiori approfondimenti consultare gli appunti del Prof. Giannini – Cap. 7