Lezione 8 Dinamica del corpo rigido Argomenti della lezione: Corpo rigido Centro di massa del corpo rigido Punto di applicazione della forza peso Momento della forza peso Energia potenziale Rotazione nel piano Momento di interzia Energia cinetica di rotazione Teorema di Huyghens-Steiner

Corpo rigido Definizione Un corpo rigido è un oggetto o meglio un sistema di punti materiali in cui le distanze relative NON cambiano Un corpo rigido diventa quindi la definizione di un oggetto reale esteso. Le forze interne (forze di coesione che mantengono invariate le distnze fra i punti) hanno le seguenti caratteristiche: NON hanno risultante NON fanno momento NON fanno lavoro

Corpo rigido Tale sistema è quindi descritto dalle seguenti equazioni dinamiche Le forze esterne sono responsabili del moto del Centro di Massa I momenti delle forze esterne sono responsabili delle rotazioni intorno ad O (punto fisso o centro di massa del sistema) Il lavoro delle forze esterne varia l’energia cinetica del sistema

Corpo rigido Come è fatto un corpo rigido?? Esso è formato da un insieme continuo di punti materiali. Estendendo quindi ciò che si è visto per un insieme discreto di punti materiali le singole masse saranno infinitesime, ossia Quindi tutte le somme diventano degli integrali!

Centro di massa di un corpo rigido Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la seguente grandezza: con dV elemento di volume occupato da dm Se definiamo la densità come:

Punto di applicazione della forza peso Centro di massa Consideriamo un corpo continuo sottoposto alla forza peso: La risultante di tutte queste forze parallele fra di loro è: E tale forza è applicata nel centro di massa del sistema.

Momento della forza peso Centro di massa Il momento della forza peso rispetto a un polo fisso (ad esempio l’origine dell’asse delle coordinate) è dato da: ma:

Energia potenziale Centro di massa Analogamente a quanto visto in precedenza per il calcolo dell’energia potenziale: ma: Se il corpo è libero ed agisce solo la forza peso la traiettoria del CM è verticale rettilinea o parabolica a seconda delle cond. iniz.

Rotazione nel piano Consideriamo un corpo di due dimensioni, che possa ruotare intorno ad un asse fisso Le equazioni del moto del sistema sono Asse di riferimento Poichè

Rotazione nel piano Asse di riferimento Notiamo che il momento angolare e il momento della risultante delle forze esterne sono perpendicolari al piano e paralleli al versore uz Inoltre si ha che: E quindi La quantità prende il nome di momento di inerzia

Momento di inerzia Si è appena introdotta una nuova quantità che prende il nome di momento di inerzia Nel caso continuo Nel caso discreto Il momento di inerzia è legato a come è distribuita la massa attorno all’asse di rotazione

Esempio

Equazioni del moto del corpo rigido Per la traslazione Per la rotazione

Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso Sia m la massa totale del corpo rappresentato in figura Asse di riferimento Dal teorema di Konig si ha che Con velocità relative rispetto al CM

Calcolo dell’energia cinetica per la rotazione intorno ad un asse fisso Asse di riferimento Dall’analisi del moto di rotazione intorno ad O di tutte le masse infinitesime Ma e in definitiva

Teorema di Huyghens-Steiner Prendiamo un corpo piano qualsiasi che ruota intorno al punto O Calcoliamo ora il momento d’inerzia rispetto al punto O Ossia

Pendolo composto Si chiama pendolo composto o pendolo fisico ogni corpo rigido che possa oscillare per azione del suo peso in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale non passante per il suo centro di massa. Il momento della forza peso è Il segno negativo è dovuto al fatto che si ha una forza di richiamo

Pendolo composto Studiamone il moto E per piccole oscillazioni

Pendolo composto che ha soluzione lunghezza ridotta del pendolo

Pendolo composto Se poniamo Se facciamo oscillare attorno ad O’ Il periodo di oscillazione intorno ai due assi è lo stesso Cioè

Rotolamento puro Se Il moto del centro di massa è regolato dalle seguenti equazioni

Rotolamento puro sfera Per la traslazione Per la rotazione Considerando tutte le equazioni Per il rotolamento puro occorre che