Raggio classico dell’elettrone Addendum Raggio classico dell’elettrone

Detto anche raggio di Compton, viene fuori dall’imporre che l’energia potenziale di un elettrone, considerato o come un guscio o come una sfera uniformemente carica, sia pari all’energia relativistica dovuta alla massa dell’elettrone E=mc2. In pratica equivale ad ipotizzare che la sua massa sia dovuta all’energia elettrostatica Vale E’ ancora usato in teorie che trattano l’elettrone classicamente, sebbene il modello standard consideri attualmente l’elettrone puntiforme

Per calcolarlo consideriamo che l’energia potenziale per assemblare un guscio sferico uniformemente carico è Mentre per assemblare una sfera uniformemente carica occorre un’energia Se si ignora il fattore 1/2 ovvero il fattore 3/5 nelle formule di sopra e si uguaglia ad mc2 troviamo il raggio classico

Ma come vengono fuori quelle energie potenziali? Per il guscio sferico la cosa è immediata: abbiamo già detto che un guscio sferico uniformemente carico è indistinguibile da un conduttore sferico con densità superficiale di carica uniforme: la simmetria delle cariche è tale da produrre campo zero all’interno, come in un conduttore Quindi l’energia potenziale è quella che occorre per caricare un condensatore sferico, dove avevamo visto (lezione 5) Ed ecco ottenuta la prima relazione (Q è chiaramente e, carica dell’elettrone)

Per la sfera uniformemente carica, ripetiamo il procedimento di “assemblaggio” per ogni carica infinitesima Ogni volta che aggiungiamo un dq dobbiamo immaginare di lavorare contro il campo prodotto dalla carica precedente, e di spalmare la nuova carica su un guscio sferico da r ad r+dr, costruendo la sfera per “pellicole” successive Se definiamo q(r) la carica della sfera quando questa ha raggio r, il lavoro per aggiungere un dq sarà, ricordando che il potenziale di una distribuzione di carica sferica di raggio r FUORI DALLA SFERA è indistinguibile da quello che si avrebbe se tutta la carica fosse al centro della sfera

Se la sfera è uniformemente carica nel volume, avrà una densità volumetrica di carica r tale che Così l’elemento dq calcolato in funzione di dr (valutando dq/dr) Che sostituito nell’espressione di dW (eliminiamo anche q(r)) ci restituisce Volendo costruire una sfera di raggio R non resta che integrare tra 0 ed R

Considerando che la carica totale Q è a questo punto Ricaviamo r e sostituiamo ottenendo Cioè la relazione cercata

Tuttavia nella lezione, abbiamo anche ricavato, sfruttando un procedimento di “costruzione” analogo ma generale, che Verifichiamo che usando questa avremmo ottenuto lo stesso risultato Nella lezione 3 (intorno alla slide 11) avevamo di fatto calcolato il campo di una distribuzione sferica di carica uniforme, ottenendo che

Allora: eleviamo tali campi al quadrato, sostituiamo nella nostra relazione ed integriamo in tutto lo spazio Per effettuare tale integrazione consideriamo un guscio sferico di superficie 4pr2 e di raggio dr, cioè quindi