Sedicesima Lezione Potenze; Vettore e teorema di Poynting nel dominio dei fasori; Linee ed Onde piane

Riassunto della lezione precedente Mezzi con perdite: dielettrici reali Introduzione alle onde TEM Linea di trasmissione ed Equazioni del telegrafista Coefficiente di riflessione ed onde stazionarie Trasformazione delle impedenze

Coefficiente di trasmissione RL Zo, b z=0 z Avevamo definito il coefficiente di riflessione E trovato che, alla sezione z=0 vale Definiamo coefficiente di trasmissione

Digressione sulle potenze A questo punto è opportuno richiamare qualche considerazione sulle potenze in un circuito in regime sinusoidale In un circuito RLC in serie in cui fluisce una corrente sinusoidale, parte delle potenza è immagazzinata (e scambiata) in L e in C, e si definisce potenza reattiva, mentre parte è effettivamente dissipata da R e si definisce potenza attiva Se la corrente è i = I sin (wt - f), la potenza dissipata da R istantaneamente nel tempo è E’ però di solito interessante valutare la potenza media in uno o più periodi: integrando nel tempo tra 0 e T=1/f e dividendo per T

Digressione sulle potenze Se invece di R avessimo avuto un bipolo generico (per esempio R in parallelo con L e/o C o altro), avremmo dovuto calcolare la tensione istantanea ai capi v, e calcolare la potenza P= vi. Indicando con Il valore medio di potenza dissipato da R risulterà Fattore di potenza In termini di fasori conviene quindi definire la potenza complessa Con tale definizione verificate che

Vettore di Poynting in campo complesso Analogamente, quando E ed H sono fasori, conviene ridefinire il vettore di Poynting come Il teorema di Poynting (visto nella lezione 13) diventa Potenza reattiva Potenza totale fornita dal generatore Potenza attiva

Tornando alle linee (fasori) La potenza attiva condotta dall’onda progressiva e da quella regressiva sono quindi (Z0 reale: mezzo senza perdite) Per cui la potenza attiva netta viaggiante è Se la linea è chiusa su un carico, sul carico avremo di conseguenza

Il rapporto d’onda stazionaria Quando ci sono onde progressive e regressive, in alcuni punti interferiranno in modo costruttivo, ed in altri in modo distruttivo Daranno quindi origine a massimi in caso di interferenza costruttiva, cioè quando per v+ e-jbz e v-ejbz sono in fase; in tal caso avremo un massimo di tensione Viceversa avremo un minimo quando sono in controfase

Il rapporto d’onda stazionaria Il rapporto tra la massima e la minima tensione si definisce Rapporto d’Onda Stazionaria (ROS, o SWR, standing wave ratio) Ora, dove le onde di tensione sono in fase, quelle di corrente sono in controfase e viceversa (c’è un segno meno nella sovrapposizione delle correnti, ricordate?) In pratica in ogni punto in cui la tensione totale vale Vmax, la corrente è Imin e viceversa

Il rapporto d’onda stazionaria Se la tensione è massima e la corrente è minima, il loro rapporto è massimo: in quel punto l’impedenza di ingresso calcolata è massima e reale Viceversa, nei punti di minimo di tensione l’impedenza è minima

Ampiezza della tensione lungo una linea per diversi valori di ROS

Calcoli con le linee Se una linea è semi-infinita, non ci sono onde regressive, e quindi onde stazionarie: al suo ingresso vediamo impedenza pari all’impedenza caratteristica Se abbiamo una cascata di linee, possiamo iterare il calcolo dell’impedenza di ingresso, ed utilizzarla come carico della sezione successiva Rl Zo1 Zo2 Zo3 Zo4 Zin?

Calcoli con le linee Rl Zo1 Zo2 Zo3 Zo4 Zin1 Zin1 Zo2 Zo3 Zo4 Zin2 Questa è la Zin cercata!

Calcoli con le linee: esempio Se volessimo determinare l’andamento delle tensioni e correnti punto per punto? Occorre applicare le condizioni al contorno esplicitamente Un esempio: generatore di tensione, due linee in cascata ed un carico ig Rl Zo2 Zo1 Vg z L1 Se ci siamo calcolati zin in zero, come descritto in precedenza, da vg sappiamo calcolare la corrente ig, essendo vg =Zin ig . Allora: condizioni al contorno in 0

Calcoli con le linee: esempio Da cui Quindi sappiamo l’andamento di v e i nella linea 1, visto che Cosa succede nella linea 2? In L1 la tensione deve essere continua: c’è la stessa tensione leggermente a sinistra (linea1) e leggermente a destra

Calcoli con le linee: esempio Anche la corrente che esce dalla linea 1 è la stessa che entra nella linea 2 Allora sappiamo che in L1 ci saranno tensione e corrente Quindi il problema diventa E ripetiamo nella sezione la procedura di prima (oppure usiamo il coefficiente di riflessione spostando il sistema di riferimento in L2...) Rl Zo2 v(L1 ) z i(L1 ) L2

Onde piane e linee E® V, H® I, h ® Zo, k ® b Per un’onda piana che si propaga lungo un asse z abbiamo visto che l’equazione d’onda (fasori) produce le soluzioni Mentre le equazioni del telegrafista (linee) producono Quindi, possiamo analizzare il comportamento delle onde piane per mezzo di “linee equivalenti” E® V, H® I, h ® Zo, k ® b

Onde piane e linee Cosa succede quando un’onda piana passa da un materiale ad un altro, incidendo ortogonalmente alla superficie di separazione? Per risolvere il problema dovremmo scrivere E ed H in ciascun mezzo, ed imporre le condizioni al contorno, ovvero continuità di Et ed Ht all’interfaccia (in realtà vista la direzione di propagazione, E=Et ed H=Ht ) Ma nel risolvere il problema con le linee abbiamo imposto proprio che v ed i fossero continue tra le due linee h1 h2 Quindi il metodo ci consente anche di vedere cosa avviene in mezzi stratificati Hy Ex k h1 ® Zo1, h2 ® Zo2…. Zo1 Zo2

Onde piane e linee Se per esempio l’onda viaggia in un mezzo con impedenza d’onda h1 ed incide su un mezzo (semi-infinito) con impedenza d’onda h2, parte dell’onda verrà riflessa e parte passerà, essendo Hy1 Ex1 k h2 h1

Onde piane in mezzi stratificati e linee Nel caso di un’onda che viene da un mezzo ed incontra mezzi stratificati, possiamo usare tutto quanto visto per le linee! Sono vere anche le conclusioni Immaginiamo per esempio che il materiale in mezzo sia un multiplo di l/2 Questo sarebbe per esempio il caso se avessi un segnale a 1 GHz, e con il mezzo 2 aria, la lunghezza fosse d=c/(2f), cioè 15 cm In tal caso tutta la regione 2 sarebbe “trasparente” all’onda; e se i mezzi 1 e 3 fossero uguali, l’onda sarebbe completamente trasmessa