Densità di Energia, Equazioni di Poisson e Laplace Sesta Lezione Densità di Energia, Equazioni di Poisson e Laplace

Riassunto della lezione precedente Approssimazione del potenziale di distribuzioni complesse di cariche in momenti polari Metodo delle immagini Capacità e condensatori Legge di Kirchhoff alle maglie Combinazioni di condensatori Lavoro di carica di un condensatore

Densità di energia Ma dove viene immagazzinata tale energia? Analizziamo un caso semplice, il caso del condensatore a piatti piani

Densità di energia L’energia potenziale è Densità di Energia In realtà quest’espressione per la densità di Energia è del tutto generale per un campo elettrostatico L’energia nel condensatore considerato è immagazzinato tra le piastre

Densità di energia: conduttore sferico La capacità è Per cui l’energia immagazzinata è Calcoliamoci l’integrale del quadrato del campo elettrico: Confrontando vediamo che L’energia è immagazzinata in tutto lo spazio circostante E ancora:

Densità di energia: l’elettrone Il campo è Per cui la densità di energia è Prendiamo un elemento di volume sferico, spessore dr e area 4pr2 Energia infinita?? C’è qualcosa che non va

Esercizio Un condensatore piano è costituito da due armature aventi area S=20cmq, distanziate tra loro d=1mm, e collegate ai poli di un generatore di fem V=500V. Una lamina di stagnola di spessore t=0.2mm viene inserita al centro tra le due armature. Calcolare C, la carica q su una delle armature e l’energia immagazzinata dal condensatore t d

Esercizio (continuo) Cosa accadrebbe se il generatore venisse staccato prima di inserire la stagnola? La capacità finale ovviamente resterebbe la stessa Quantità di carica ed energia andrebbero calcolate considerando la struttura priva di stagnola

Esercizio Due sfere concentriche R1 ed R2. La prima ha carica Q1, la seconda Q2. Determinare campo e potenziale ovunque Se r>R2 per il th di Gauss R2 R1 Se R1<r<R2: nuovamente Gauss Costante da determinare richiedendo che il potenziale sia continuo ad r=R2

Esercizio (Cont.) Continuità: Se r<R1, il campo è nullo ma il conduttore è equipotenziale a potenziale costante pari a V(R1)

Interpretazione matrice di capacità Supponiamo di avere n conduttori, e di usarne uno come riferimento C11 C22 C33 C12 C23 C13 V23 Riferimento V1 V2 V3 V12

Equazione di Poisson +Conservatività campo elettrostatico Teorema di Gauss Se il mezzo è omogeneo (costante dielettrica indipendente dalla posizione) In assenza di cariche (eq. Di Laplace)

Esercizio x y q r Data una carica q posta nell’origine, verificare che tutti i punti a distanza r verificano l’equazione di Laplace z

Esercizio (Continuo)

Come risolvere le equazioni di Laplace e Poisson Come risolvere le equazioni di Laplace e Poisson? Digressione sui numeri complessi Una variabile complessa è definita da una coppia di variabili reali Z=x+jy essendo j=(-1)1/2 Le coppie individuano un piano complesso o “piano di Gauss” In coordinate polari Gerolamo Cardano [1501-1576] Possiamo definire una funzione complessa di variabile complessa:

Digressione sui numeri complessi La derivata di una tale funzione è definita dal limite del rapporto incrementale Una funzione complessa è analitica (o regolare) se tale limite esiste ed è unico Condizione necessaria, è che il risultato che si ha derivando lungo dx o lungo jdy sia lo stesso, ovvero Uguagliando parte reale ed immaginaria si ha Condizioni di Cauchy-Riemann In realtà tali condizioni risultano anche sufficienti

Funzioni analitiche e potenziali Derivando la prima delle condizioni di CR rispetto a x, la seconda rispetto ad y e sommando si ha cioè l’equazione di Laplace in 2 dimensioni Analogamente, invertendo l’ordine della derivazione si ottiene Quindi parte reale e parte immaginaria di una funzione analitica possono essere usate come funzioni di potenziale in problemi 2D Non solo: se per esempio u è usato come potenziale ( e quindi u=cost individua superfici -anzi curve- equipotenziali), v=cost individua curve perpendicolari proporzionali al flusso Quindi: fissate delle condizioni al contorno per il potenziale, se troviamo una funzione analitica la cui parte reale (o immag) le soddisfa, abbiamo il potenziale e quindi il campo dappertutto!

Esempio Una funzione analitica Se tracciamo per esempio su mathcad la parte immaginaria, al variare della costante otteniamo Che sono le mappe di campo in prossimità di una lamina di metallo sottile. La parte reale infatti rappresenta le superfici equipotenziali Potenziale nullo

Esempio Se quindi assumiamo che la parte reale è il potenziale per la lamina, possiamo calcolare Ex in particolare è la componente di campo ortogonale allo spigolo della lamina: sappiamo che i campi ortogonali agli spigoli tendono ad infinito Se calcoliamo la prima derivata, vedremo che in x=0, per r →→0 il campo tende ad infinito come r -1/2 Quindi abbiamo anche un’informazione quantitativa della singolarità di campo in prossimità di uno spigolo a lama di coltello: diremo che l’ordine della singolarità è -1/2 In modo analogo (trovando opportune funzioni analitiche che siano in grado di soddisfare le condizioni al contorno) si possono calcolare gli andamenti di campo in prossimità di spigoli diversi. In generale si ottiene che per uno spigolo metallico con angolo F il campo tende ad infinito come rn con n=p/(2p-F)-1

Unicità soluzioni Eq. Poisson I potenziali governati dall’eq. Di Poisson (o da Laplace) in regioni con dati potenziali al contorno sono unici Dimostrazione per assurdo (Laplace): siano F1 e F2 soluzioni Contorno: F1- F2=0 Applichiamo il th.della divergenza a Introduciamo l’identità:

Unicità soluzioni Eq. Poisson Primo integrale nullo per eq Laplace Ultimo integrale nullo per ipotesi F1- F2=0 sul contorno F realeÞ Gradiente reale Þ Quadrato>=0 Integrale nullo Þ argomento nullo Condizione al contornoÞ costante nulla

Sovrapposizione degli Effetti Dividere un problema in più problemi più semplici Combinare le soluzioni per ottenere la risposta:LINEARITA’ EQ. LAPLACE E POISSON

Metodi analitici per risolvere le equazioni di Laplace/Poisson: separazione delle variabili Proviamo a cercare

Osservazioni Quali soluzioni usare? Dipende dalle condizioni al contorno La prima è periodica in y, la seconda in x Contorni all’infinito: sostituire f. iperboliche con esponenziali reali Le costanti di separazione vengono fuori dall’imposizione delle condizioni al contorno Le soluzioni dell’equazione di Laplace si definiscono Armoniche Una sola armonica può non essere sufficiente a soddisfare una o più delle condizioni al contorno: in tal caso si cerca la soluzione per serie di armoniche Nota: per kx=jky=0 la soluzione è

x y a b F=0 F=Vo Esempio Un caso bidimensionale con potenziale 0 su 3 lati, e fissato su un quarto Scegliamo soluzioni sinusoidali in y, perché consentono di avere zero in y=0 ed in y=b Il potenziale per x=0 è nullo:A=0 Il potenziale per y=0 è nullo:C=0 Il potenziale per y=b è nullo:kb=np Un solo termine non può soddisfare la condizione in x=a

Esempio (Cont.) I coefficienti si determinano imponendo la condizione al contorno restante (x=a) E’ un’espansione in serie di Fourier

Esempio (Cont.)

Serie di Fourier: (richiamo) Funzioni periodiche di periodo T: Il th. di Fourier asserisce che è possibile sostituire ad f una serie di seni e coseni di periodo multiplo di T T Coefficienti: usiamo ortogonalità sinusoidi, ovvero L’integrale del prodotto di due sinusoidi qualsiasi a diversa frequenza, nel quale siano commensurabili, è zero

Serie di Fourier: (richiamo) ortogonalità Moltiplicando ciascun termine della sommatoria per cos(nwt) ed integrando tra 0 e 2p, tutti i termini a destra si annullano tranne an a0 media di f nel periodo