Cavi coassiali e le onde TEM Lezione Sedici-bis Cavi coassiali e le onde TEM

Qualche considerazione in più sulle onde TEM Abbiamo introdotto le onde TEM nel contesto delle linee Possiamo trarre qualche conclusione in più direttamente dalle equazioni di Maxwell? Sicuramente sì, ed in modo semplice: se esplicitiamo le equazioni del rotore al caso particolare di Ez=Hz=0 (TEM) otteniamo

Qualche considerazione in più sulle onde TEM E da queste, derivando rispetto a z l’equazione in Ex in z e l’espressione con Hy nel tempo, si riottiene l’equazione d’onda monodimensionale in Ex Analoga a quella che incontrammo per le onde piane, come potevamo aspettarci, e che descrive un’onda che si propaga con velocità di fase pari a quella della luce nel mezzo considerato, cioè In termini di costante di propagazione b, quindi, come abbiamo già visto nella lezione 16, essa è la stessa della luce o di un’onda piana: b=k

Equazione d’onda per strutture guidanti Più in generale, avevamo scritto nel dominio dei fasori l’equazione d’onda (o di Helmholtz) [lezione 14] Ci chiediamo a questo punto che caratteristiche possano avere alcune particolari soluzioni, che abbiano dipendenza da una coordinata, diciamo z, del tipo che abbiamo incontrato nell’equazione dei telegrafisti, cioè Che sappiamo descrivere un’onda che si propaga in z con costante di propagazione b. Sostituendo all’equazione d’onda, ci conviene isolare nell’operatore laplaciano la derivata in z, cioè scrivere

Equazione d’onda per strutture guidanti Il primo termine, che opera solo sulle coordinate x,y, trasversali rispetto alla direzione di propagazione z, lo chiamiamo brevemente laplaciano trasverso D’altro canto la doppia derivazione in z, con la dipendenza esponenziale che abbiamo assunto, diventa solo una moltiplicazione per -b2 (meraviglie degli esponenziali!) L’equazione d’onda diventa in tal caso Che definiremo equazione d’onda per onde guidate, dove introducendo il termine “onda guidata” intendiamo ricordare che c’è una direzione privilegiata (in questo caso z) rispetto alla quale avviene la propagazione. Tale direzione privilegiata può esistere proprio per la presenza di una struttura guidante, come una linea, che vincola la propagazione alla forma della linea stessa

Equazione d’onda per strutture guidanti: il caso TEM? Abbiamo del resto appena detto che nel caso particolare TEM Per cui in tale caso specifico l’equazione diventa A tutti gli effetti, una coppia di equazioni di Laplace. Le onde TEM hanno quindi la particolarità di avere distribuzioni di campo nei piani trasversali (sia la componente elettrica che magnetica: analoga equazione di otterrebbe per H), del tutto simili alle distribuzioni di campo elettrostatico e magnetostatico nella stessa struttura, con la differenza fondamentale che si propagano in z con costante k

Il cavo coassiale Il cavo coassiale è un caso particolare in cui tale proprietà è evidente Vedemmo nella lezione 2 che per un cavo coassiale che abbia distribuzione lineare di carica con densità l, il campo elettrico era tutto radiale e pari a Mentre alla fine della 4a lezione calcolammo la differenza di potenziale tra l’elettrodo centrale e la calza nelle stesse condizioni Per cui potremmo scrivere

Il cavo coassiale Nel caso dinamico ma TEM, tutto resta immutato, tranne il fatto che ora la differenza di potenziale ha senso solo in piani trasversali alla direzione di propagazione, cioè V=V(z): In cui sappiamo che la dipendenza da z è del tipo Ovvero che per V(z) vale tutto ciò che sappiamo dalle equazioni del telegrafista Del resto il cavo coassiale è l’esempio più immediato di linea di trasmissione

Il cavo coassiale Per il campo magnetico valgono le stesse considerazioni: il campo magnetostatico è fondamentalmente quello della legge di Biot-Savart, come ribadito nella lezione 10 Nel caso dinamico ma TEM, tutto resta immutato, tranne il fatto che ora I=I(z): Dove sappiamo che E Zo era stato calcolato nella lezione 15

L’adattatore in quarto d’onda Uno dei problemi da affrontare nella progettazione di circuiti a radiofrequenza ed antenne, è quello di ridurre la potenza riflessa al carico, cioè di ottenere un coefficiente di riflessione quanto più piccolo possibile Reti che agiscono in tal senso si dicono adattori Un adattatore deve fondamentalmente trasformare l’impedenza di un carico e renderla uguale all’impedenza della linea che lo precede L’adattatore in quarto d’onda è concettualmente uno dei più semplici: vedemmo che nella lezione 15, che un tratto di linea con impedenza caratteristica Zox, lungo l/4, trasforma un carico RL nell’impedenza

L’adattatore in quarto d’onda Allora si può pensare di usare tale circuito come rete adattatrice, in cui il parametro di progetto è l’impedenza caratteristica dell’adattatore Se vogliamo che al suo ingresso presenti un’impedenza pari a Zo, impedenza caratteristica della linea cui vogliamo adattare, avremo Da cui Cioè, basta scegliere l’impedenza caratteristica della rete pari alla media geometrica tra l’impedenza di carico e quella della linea cui vogliamo adattare il carico

L’adattatore in quarto d’onda RL Zo, b Zox, bx l/4 adattatore RL Zo, b Ci sono ovviamente alcuni inconvenienti: l’adattamento dipende da l, e quindi dalla frequenza: è a “banda stretta” Non in tutti i tipi di linea è possibile scegliere le impedenze caratteristiche a piacere: è possibile solo nelle linee stampate, non nei coassiali L’impedenza caratteristica deve essere reale, quindi RL reale; se non lo è si può ricorrere ad un trucco: aggiungere un pezzetto di linea tra il carico e l’adattatore, che renda il carico reale; del resto sappiamo (e lo vedremo alla lezione 18) che in alcuni punti della linea l’impedenza è massima e reale, e pari al ROSxZo