Sorgenti magnetiche Sebbene non esistano né cariche né correnti magnetiche, possiamo introdurre tali quantità come un espediente per “simmetrizzare” le equazioni di Maxwell; concentriamoci su quelle nel dominio dei fasori

Teorema di dualità Si considerino le equazioni di Maxwell in presenza di sole sorgenti elettriche Effettuando le trasformazioni Si ottengono le equazioni di Maxwell in presenza di sole sorgenti magnetiche Nota una soluzione associata a campi di tipo elettrico, si ottiene attraverso le trasformazioni, il campo relativo alle sorgenti magnetiche (se le condizioni al contorno sono soddisfatte)

Condizioni al contorno Possiamo immaginare che, se alla superficie di un conduttore elettrico Dopo le trasformazioni un conduttore “magnetico” perfetto

Il dipolo magnetico Torniamo per un attimo al dipolo elettrico; applichiamo l’equazione di continuità della carica in forma integrale Moltiplicando per h (lunghezza del dipolo) Essendo p, da definizione, il momento di dipolo incontrato in elettrostatica; quindi i campi del dipolo possono essere riscritti in funzione di p effettuando la sostituzione

Il dipolo magnetico quindi si ottiene

Il dipolo magnetico Ora però nella magnetostatica, calcolandosi il campo magnetico di una spira circolare, esso veniva duale al campo elettrico di dipolo elettrico, quando si fosse definito il momento di dipolo magnetico (A è l’area) Sfruttiamo quindi il teorema di dualità per ricavare immediatamente il capo irradiato da una spira “piccola”, dipolo magnetico elementare Note relative alle notazioni da me usate in Fondamenti: in quel caso si era confrontato B con E, invece che H con E, da cui la necessità ora di includere la permeabilità magnetica m; Inoltre si era indicato anche con m il momento di dipolo magnetico per coerenza con il libro di testo.

Il dipolo magnetico

Teorema di equivalenza Conseguenza del teorema di unicità: assegnato il campo elettrico tangenziale o il campo magnetico tangenziale sul contorno, il campo è univocamente determinato dappertutto possiamo quindi rimpiazzare la situazione dove Es ed Hs sono i valori di E ed H tangenti alla superficie, dove il nuovo campo coincide con quello precedente fuori del volume V, ed è zero dentro; queste correnti “fittizie” tengono conto della discontinuità dei campi tangenziali sulla superficie

Teorema di equivalenza Notate che la condizione di Sommerfield all’infinito è soddisfatta, perché era soddisfatta dai campi originari E’ possibile anche usare solo correnti elettriche o magnetiche (del resto basta fissare E o H tangenti!); per esempio se metallizziamo (conduttore elettrico), solo il campo elettrico tangenziale può essere fissato con una corrente magnetica (pari al “salto” tra il campo E che ci dovrebbe essere fuori e zero che c’è dentro un conduttore ideale)

Principio delle immagini Un’altra conseguenza del teorema di unicità Impiego: In molti casi si vuol derivare il campo irradiato da un’antenna in presenza di oggetti metallici dalla conoscenza del campo irradiato nello spazio libero Soluzione: Sovrapporre alla sorgente originaria un’ulteriore sorgente fittizia (sorgente immagine) tale che il campo elettrico tangente si annulli sul conduttore ideale Per sorgenti “magnetiche”, evidentemente

Ancora potenziali... Cosa succede ai potenziali nel dominio “duale”? nel dominio duale è il campo ELETTRICO ad avere divergenza nulla, visto l’introduzione della “carica magnetica” quindi scriveremo e di conseguenza essendo f un potenziale scalare, F un potenziale vettoriale

Ancora potenziali... Per i potenziali magnetici varranno quindi le espressioni “duali” di quelle dei potenziali elettrici

Ancora potenziali... In presenza di sorgenti sia elettriche che magnetiche, varrà la sovrapposizione degli effetti, ed entrambi i potenziali saranno necessari; basta sommare….

Funzioni dell’antenna Fisicamente: trasformare elettroni in fotoni, ovvero sorgenti in campi Accelerazione di cariche dovuta ad un campo esterno Decelerazione di cariche causata da una discontinuità di impedenza, come una improvvisa interruzione, una curvatura ecc Variazione temporale della corrente Punto di vista alternativo: “adattare” una linea di trasmissione allo spazio libero

Tipi di antenna: filiformi

Tipi di antenna: ad apertura

Tipi di antenna: Planari (o “stampate”)

Tipi di antenna: Schiere

Tipi di antenna: a riflettore E…senza strafare, la parabola di casa

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Descrive la distribuzione angolare di campo o di potenza su una sfera in campo lontano E’ quantità normalizzata al valore max di campo Conseguentemente non dipende da r: grafici in coordinate (angolari) sferiche

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Il diagramma di radiazione viene rappresentato in diversi modi; uno è quello dei solidi di radiazione

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Spesso si usano solo delle sezioni del solido, e graficate in coordinate polari o rettangolari: es piano J=0 polare rettangolare

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Oppure i diversi piani riportati in coordinate rettangolari (es. schiera)

Parametri caratteristici: diagramma di radiazione Esempio: il dipolo Hertziano; in campo lontano il campo elettrico era Il max è per J=p/2 per cui calcolando il rapporto Il solito di rotazione per il campo è In potenza è semplicemente il quadrato

Parametri caratteristici: Direttività Rapporto tra l’intensità di radiazione in una direzione e l’intensità media quindi Densità di potenza in una direzione Densità di potenza isotropa Spesso con “direttività” si indica il valore nella direzione di massimo

Parametri caratteristici: Guadagno Parametro di sistema fondamentale: riassume sia quanto efficientemente l’antenna irradia la potenza, che le caratteristiche direttive È il rapporto tra l’intensità di radiazione in una certa direzione e l’intensità media che si avrebbe se tutta la potenza fornita fosse irradiata Ovvero, confrontando con la direttività Essendo Wr la potenza irradiata e Win quella fornita In assenza di perdite guadagno e direttività coincidono

Parametri caratteristici: Larghezza di banda Intervallo di frequenze in cui uno o più parametri caratteristici rispettano limiti prefissati Questi possono essere impedenza di ingresso, diagramma di radiazione, larghezza del lobo principale ecc.

Parametri caratteristici: Polarizzazione Polarizzazione dell’antenna coincide con la polarizzazione del campo irradiato Il dipolo è per esempio a polarizzazione lineare Una patch quadrata alimentata su uno spigolo è un tipico esempio di antenna a polarizzazione circolare

Parametri caratteristici: Efficienza di radiazione Descrive quanto della potenza fornita si riesce ad irradiare, ovvero: Ricordando la relazione tra guadagno e direttività, essa può essere riscritta

Parametri caratteristici: impedenza di ingresso In ricezione invece equivalente Thevenin V0 ZA ZL ZL A A’

Parametri caratteristici: impedenza di ingresso L’abbiamo già incontrata parlando del dipolo Il sistema generatore+antenna in trasmissione ha quindi il circuito equivalente Vg ZA Zg Vg VA IA E la massima potenza irradiata è quindi

Regioni di campo Campo vicino reattivo: fino a circa R= Nel caso del dipolo è circa l/6 Campo vicino radiativo (o regione di Fresnel): regione intermedia in cui esiste ancora una componente radiale e il campo dipende da r; non esiste in radiatori piccoli Campo lontano (o regione di Fraunhofer): domina 1/r, componenti lungo r trascurabili; limite a circa

Teorema di reciprocità Potentissimo teorema, conseguenza diretta delle equazioni di Maxwell per mezzi isotropi, lineari e passivi nel suo senso più semplice, un teorema di reciprocità stabilisce che la risposta di un sistema ad una sorgente non cambia se si scambiano sorgente e misuratore della risposta In senso più generale, i teoremi di reciprocità pongono in relazione una risposta ad una sorgente -risposta dovuta ad una seconda sorgente- con la risposta alla seconda sorgente, dovuta alla prima… Il teorema di reciprocità per le equazioni di Maxwell è molto fecondo: è alla base del Metodo dei Momenti (Harrington), alle proprietà di ortornormalità dei modi di una guida ecc.

Teorema di reciprocità Quanto detto ovviamente non vale solo per le antenne ( e di fatto si estende senza grosse difficoltà ad ogni tipo di antenna) e dimostra che ogni rete cistruita da materia isotropa e lineare ha matrice di impedenza simmetrica L’implicazione più importante per le antenne è che i diagrammi di radiazione in ricezione o trasmissione sono identici. In pratica il comportamento in trasmissione ed in ricezione sono indistinguibili Per dimostrare quest’ultima affermazione dobbiamo prima riconsiderare il diagramma di radiazione: esso può anche essere definito come la tensione (funzione angolare, ovviamente) ai capi dei terminali dell’antenna dovuta ad un’onda piana che incide su di essa

Altezza efficace In zona lontana sappiamo che il campo decresce come 1/r Se nell’antenna è possibile individuare facilmente dei morsetti ai quali si possa misurare una corrente di riferimento Io (come nelle antenne filiformi), si può porre E la funzione vettoriale h (dimensionalmente una lunghezza) prende il nome di altezza efficace Per il dipolo elementare o Hertziano, essendo L’altezza efficace sarà: La caratteristica o l’altezza efficace descrivono totalmente l’andamento angolare del campo irradiato

Altezza efficace in ricezione Consideriamo un’antenna filiforme su cui incida perpendicolarmente un’onda piana, con il campo elettrico polarizzato lungo l’asse del filo Ei Hi La tensione indotta nel gap dipende dal campo elettrico incidente ed è certamente proporzionale, così si può porre h è l’altezza efficace in ricezione Più in generale, se il campo incide con un angolo J diverso da 90° e con polarizzazione arbitraria, sarà utile definire Il teorema di reciprocità consente di dimostrare che l’altezza efficace in ricezione è uguale a quella precedentemente introdotta (in trasmissione)

Altezza efficace Noto il campo elettrico incidente sull’antenna, l’altezza efficace consente il calcolo della tensione ai capi del carico: infatti varrà il circuito equivalente Thevenin ZL Zg ZL L’altezza efficace è poi facilmente legata alla direttività: infatti

Fattore di Antenna (AF) Simile all’altezza efficace, ma consente il calcolo diretto della tensione indotta ai capi del carico, supposto noto (solitamente 50W). Quindi non si misura ora la tensione a vuoto, ma quella con l’antenna chiusa sul carico

Area efficace Quando l’individuazione di una corrente di riferimento non è semplice o è artificiosa (come nelle antenne ad apertura) si preferisce far riferimento alle potenze Si introduce allora una quantità che lega la densità di potenza incidente Si sull’antenna con la potenza disponibile sul carico (condizione di massimo adattamento) PL: l’area efficace A tale che Ora vale per la densità di potenza incidente Mentre per la massima potenza consegnata al carico Essendo Ri la parte reale dell’impedenza di ingresso dell’antenna Quindi

Area efficace dove abbiamo definito Fattore di depolarizzazione o efficienza di polarizzazione, che varia tra 0 ed 1 Si noti però che così l’area efficace dipende non solo dalle caratteristiche dell’antenna, ma anche dalla polarizzazione del campo incidente Si è soliti quindi adottare come definizione il caso di efficienza 1 (in pratica massimo trasferimento di potenza e massima efficienza di polarizzazione) In tal modo la potenza ceduta ad un carico adattato risulta

Relazione tra Area Efficace e Guadagno Il guadagno abbiamo visto è il rapporto tra la densità di potenza irradiata in una direzione e la densità di potenza che irradierebbe se fosse isotropica e senza perdite ma sappiamo che il campo è legato all’altezza efficace da per cui il guadagno diventa

Relazione tra Area Efficace e Guadagno ricordando la relazione tra area ed altezza efficace si ottiene l’importantissima relazione

Implicazioni: Il collegamento radio Problema fondamentale: calcolo della potenza ricevuta Pr dall’antenna ricevente quando sia nota la potenza trasmessa dalla trasmittente Pt Soluzione: formula del collegamento Antenna trasmittente Antenna ricevente Sia il guadagno dell’antenna trasmittente all’angolo con cui vede l’antenna ricevente La densità di potenza che incide sull’antenna ricevente è quindi

Implicazioni: Il collegamento radio Sia l’area efficace dell’antenna ricevente all’angolo con cui vede l’antenna trasmittente La potenza trasferita ad un carico adattato (in adattamento di polarizzazione) sarà Nel caso più generale in cui il collegamento non sia nello spazio libero, di introduce un fattore di attenuazione F