Circuiti elettrici “stazionari” Come facciamo a determinare le correnti che fluiscono negli elementi circuitali (resistenze) quando le combinazioni di tali elementi diventano più complesse (circuiti) ? Cioè non possiamo “ridurre” ad un’unico resistore equivalente le resistenze presenti nel circuito. Fisica II - Informatica

Leggi di Kirchoff “I legge: dei nodi” “La somma delle correnti che entrano in nodo deve essere eguale alla somma delle correnti che escono dal nodo stesso." Questa legge deriva dal principio di conservazione della carica, valido in ogni nodo. Le correnti che entrano e escono dai nodi del circuito sono note come “correnti di ramo”. Ciascun ramo deve avere una distinta corrente, Ii assegnata ad esso Fisica II - Informatica

Leggi di Kirchhoff “II legge: delle maglie” “La somma algebrica delle differenze di potenziale rilevate su un circuito chiuso in un giro completo è nulla." e1 R1 e2 R2 I Muovendosi in senso orario sul circuito: + e1 - IR1 - IR2 - e2 = 0 Questo è soltanto un altro modo per ribadire ciò che sapevamo: la differenza di potenziale è indipendente dal cammino! Fisica II - Informatica

Regola pratica e1 e2 - + R1 R2 I - IR1 - IR2 - e2 = 0 - + Muovendosi sul circuito: Gli incrementi di potenziale sono positivi, le diminuzioni (“caduta”) sono negative. Scegliamo una direzione ARBITRARIA per la corrente e percorriamo il circuito nella medesima direzione (p. es.). Se una batteria viene attraversata dal terminale negativo a quello positivo, il potenziale aumenta, e quindi la tensione della batteria entra nell’equazione con un segno +, Se il percorso scelto è tale da attraversare la batteria da (+) a (-) V diminuisce ed entra nell’equazione con il segno -. Attraversando un resistore (resistenza), nel verso della corrente, il potenziale diminuisce e quindi entra nell’equazione con un segno - . Fisica II - Informatica

Regola pratica + invertendo il senso della corrente, si ha sulla maglia - + I - = 0 - e1 +e2 - IR1 - IR2 E’ impossibile scegliere un verso del cammino “sbagliato” (circuiti a più maglie). SE INVERTIAMO UN CAMMINO, SI DEVONO CAMBIARE TUTTI I SEGNI NELL’EQUAZIONE. Non vi è alcuna differenza nell’algebra ! COMUNQUE, è possibile che nella soluzione una o più delle correnti risultino NEGATIVE. Se questo accade, vuole semplicemente dire che la direzione del flusso di corrente è in realtà opposto a quello del cammino arbitrariamente scelto. Fisica II - Informatica

Esempio R1 R4 e1 I R2 e2 R3 Þ Þ Se invertiamo il verso scelto per I Þ d b e c f e1 R1 I R2 R3 R4 e2 Esempio Þ Þ Se e1 < e2 , I sarebbe negativa, cioè fluirebbe in senso orario, opposto al verso di percorrenza scelto Se invertiamo il verso scelto per I Þ Þ Se e2 < e1 , I sarebbe negativa, cioè fluirebbe in senso orario, opposto al verso di percorrenza scelto Fisica II - Informatica

Resistenza interna di un dispositivo fem Qualunque dispositivo fem ha una resistenza interna. Consideriamo una batteria reale. Applichiamo la legge di Kirchhoff alle maglie (senso orario) Fisica II - Informatica

Potenza (elettrica) e Dissipazione La potenza netta trasferita da un dispositivo fem ai portatori di carica è data da Definizioni: Charging a battery potenza FEM : Dissipazione interna di potenza: Conservazione dell’Energia ! Fisica II - Informatica

Resistori in serie R1 R2 Il circuito si riduce a : Req a b c R1 R2 I Il potenziale “diminuisce”: Quando i dispositivi sono in SERIE, la corrente che li attraversa è identica ! a c Req Il circuito si riduce a : Quindi: Fisica II - Informatica

Definizioni Nodo: giunzione di ALMENO tre rami di un circuito Maglia: percorso CHIUSO lungo un circuito elettrico (punto iniziale e finale coincidenti). Fisica II - Informatica

Come usare le leggi di Kirchhoff ? (2) (3) (4) Analizzare il circuito, identificare tutti i nodi ed usare la I legge di K. (1) I1 = I2 + I3 ovvero, al nodo inferiore I2 + I3 = I1 (solo una è indipendente) Identificare tutte le maglie indipendenti ed usare la II legge di K. (2) e 1 - I1R1 - I2R2 = 0 (3) e 1 - I1R1 - e 2 - I3R3 = 0 (4)=(3-2) I2R2 - e 2 - I3R3 = 0 Ma … solo due sono independenti! Fisica II - Informatica

Come usare le leggi di Kirchhoff ? Risolviamo le equazioni per I1, I2, e I3: troviamo prima I2 e I3 in termini di I1 : Questo sistema funziona solo perchè le eq. 2 e 3 coinvolgono ciascuna solo due correnti. Nel caso peggiore, sarà necessario risolvere simultaneamente tre eq. lineari. ora risolviamo per I1 usando l’eq. (1): dall’eq. (2) dall’eq. (3) Þ Fisica II - Informatica

Resistori in parallelo Cosa fare? a d I R1 R2 I1 I2 V I dispositivi in parallelo hanno la medesima caduta di tensione Ma la corrente attraverso R1 non è I ! Chiamiamola I1. Analogamente, R2 «I2. II legge Þ I a d R V Come si correla I a I 1 & I 2 ? La corrente si conserva ! Þ Þ Fisica II - Informatica

Esempio 1 Consideriamo il circuito in figura: Qual è la relazione tra Va -Vd e Va -Vc ? 12V I1 I2 a b d c 50W 20W 80W (a) (Va -Vd) < (Va -Vc) (b) (Va -Vd) = (Va -Vc) (c) (Va -Vd) > (Va -Vc) Rammentare che il potenziale è indipendente dal cammino ! I punti d e c sono identici, elettricamente Avendo assunto cd come un perfetto conduttore, i punti c e d sono equipotenziali anche se questo esempio non è statico. Fisica II - Informatica

Esempio 2 Consideriamo il circuito in figura: (a) I1 < I2 12V I1 I2 a b d c 50W 20W 80W Qual è la relazione tra I1 e I2? (a) I1 < I2 (b) I1 = I2 (c) I1 > I2 Si noti che: Vb -Vd = Vb -Vc assumendo fili perfettamente conduttori Pertanto, Fisica II - Informatica

Riassumendo Resistori in serie : La corrente attraverso è identica; la caduta di tensione ai capi è IRi Resistori in parallelo : La caduta di tensione ai capi è identica; la corrente attraverso è V/Ri Fisica II - Informatica

Suggerimenti per risolvere i problemi Dato un circuito, analizzarne attentamente la topologia. trovare i nodi e ciascun ramo , selezionarne i sottoinsiemi Linearmente Indipendenti. definire le correnti di ramo Usare la II legge di Kirchhoff per tutte le maglie indipendenti nel circuito. la somma delle tensioni lungo queste maglie è nulla ! Usare la I legge di Kirchhoff per tutti i nodi independenti del circuito. Il numero di equazioni indipendenti necessarie deve essere eguale al numero di correnti incognite ! Fisica II - Informatica

Amperometro e Voltmetro Amperometro: strumento usato per misurare correnti Deve essere connesso in serie. La resistenza interna di un amperometro deve essere la più piccola possibile. Voltmetro: uno strumento usato per misurare differenze di potenziale Deve essere connesso in parallelo. La resistenza interna di un voltmetro deve essere la più grande possibile. Fisica II - Informatica

Amperometro e Voltmetro Amperometro: misura correnti connesso in serie: bisogna “interrompere” un ramo di circuito ed inserire lo strumento. In pratica l’Amperometro è essenzialmente una resistenza di “shunt” (di caduta) Rs molto bassa, inserita nel ramo del circuito, con un voltmetro ad elevata “impedenza” connesso ai suoi capi (dello “shunt”) che misura la corrente di “shunt” come I = V/Rs Voltmetro: misura differenze di potenziale La resistenza interna di un voltmetro deve essere resa la più grande possibile rispetto alle resistenze presenti nel circuito dove effettuare la misura. Se Rvoltmetro = 100 x Rj essa ridurrà il valore effettivo di Rj di circa 1% e perturberà il flusso delle correnti nella maglia e, potenzialmente, anche in altre. Fisica II - Informatica

Circuiti RC I I R R + C C e - e q q t t a b a b RC 2RC Ce RC 2RC Ce t t Fisica II - Informatica

Circuiti non-stazionari Fin qui abbiamo trattato correnti costanti, cioè circuiti in condizioni stazionarie Consideriamo adesso dei semplici circuiti in cui la corrente varia nel tempo Calcolo Carica di un condensatore attraverso una Resistenza Calcolo Scarica di un condensatore attraverso una Resistenza Fisica II - Informatica

Circuiti RC il condensatore è inizialmente scarico per t<0 l’interruttore S è aperto, non circola corrente per t>0 chiudiamo S, circola una corrente I: il campo elettrico della batteria spinge gli elettroni verso la placca superiore di C e li rimuove da quella inferiore non vi è passaggio di corrente tra le placche di C !!! il valore max di carica dipende dalla f.e.m., quando viene raggiunto non circola più corrente Fisica II - Informatica

Circuiti RC a b e R C I Carica di un condensatore: C inizialmente scarico; chiudiamo l’interruttore su a a t=0 + + Calcoliamo la corrente e la carica in funzione del tempo. È importante la posizione di R nella maglia ? • Legge maglia Þ No! Convertiamola in una equazione differenziale per Q: Fisica II - Informatica

Soluzione eq. differenziale (1° ordine) Fisica II - Informatica

Carica del condensatore Carica su C Max = Ce 63% Max a t = RC Q Ce t RC 2RC costante di tempo Corrente Max = e /R 37% Max a t = RC I t Fisica II - Informatica

Circuiti RC Scarica del condensatore: I C inizialmente carico con Q=Ce Chiudiamo l’interruttore su b a t=0. Calcoliamo la corrente e la carica in funzione del tempo. C a b + - e R I Legge maglia  • Convertiamola nella equazione differenziale per Q:  Fisica II - Informatica

Soluzione Conclusioni: il condensatore si scarica esponenzialmente con costante di tempo t = RC la corrente decade dal valore max iniziale (= -e /R) con la stessa costante di tempo Fisica II - Informatica

Scarica del condensatore Q Ce RC 2RC Carica su C Max = Ce 37% Max a t=RC Q = C e -t/RC zero Corrente Max = -e/R 37% Max a t=RC -e /R I t Fisica II - Informatica

Combinazioni di RC: quanto vale t ?  R C  R C Fisica II - Informatica

Riassunto Carica  Scarica R C S VC VR + - + + - - VR R C VC + + - - Fisica II - Informatica

Comportamento dei Condensatori Carica Inizialmente, il condensatore si comporta come un filo (cond.). Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un interruttore aperto. Scarica Inizialmente, il condensatore si comporta come una batteria. Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come un interruttore aperto Fisica II - Informatica

Applicazione: il “flash” Fisica II - Informatica

Esempio 1 (a) (b) (c) R 2R C e A t=0 l’interruttore è connesso in a nel circuito in figura: il condensatore è inizialmente scarico. A t = t0, l’interruttore è commutato dalla posizione a alla posizione b. Quale dei seguenti grafici rappresenta meglio la dipendenza dal tempo della carica su C? a b R 2R C e (a) (b) (c) Per 0 < t < t0, il condensatore si carica con costante di tempo t = RC Per t > t0, il condensatore si scarica con costante di tempo t = 2RC (a) costanti di tempo eguali nella carica e nella scarica (b) la costante di tempo di scarica t è maggiore di quella di carica t (c) la costante di tempo di scarica t è minore di quella di carica t Fisica II - Informatica

Esempio 2 Quanta energia è immagazzinata in C nell’istante in cui i=2.0 mA. Assumere q(t=0)=0, =50V, R=5K and C=40F Usiamo la corrente i per trovare  R C S VC VR Fisica II - Informatica

Esempio 2  R C S VC VR Usiamo la conservazione dell’energia L’energia immagazzinata nel condensatore C è: Fisica II - Informatica

Esempio 3 I1 I3 I2 e R2 C R1 Consideriamo il comportamento transiente (tempi brevi e lunghi) di questo circuito. Comportamento a breve termine (t=0): Inizialmente il condensatore agisce come un filo ideale. Quindi, e Comportamento a lungo termine (t→∞): il condensatore è un circuito aperto Fisica II - Informatica

Esempio 3 Maglia 1: Maglia 2: Nodo: R2 C R1 Maglia 1 Maglia 2 Maglia 1: Maglia 2: Nodo: Eliminare I1 in M1 e M2 usando l’equazione al nodo : Maglia 1: eliminare I2 Maglia 2: eqn. differenziale finale : Fisica II - Informatica

combinazione del parallelo Esempio 3 eqn. differenziale finale : I1 I3 I2 e R2 C R1 Maglia 1 Maglia 2 costante di tempo: t combinazione del parallelo tra R1 e R2 Cerchiamo una soluzione del tipo: sostituiamo nella eq. per ricavare A e t I risultati devono obbedire alle condizioni iniziali e finali: Fisica II - Informatica

Esempio 3 per quanto riguarda la scarica ? Maglia 1 Maglia 2 per quanto riguarda la scarica ? Aprendo l’interruttore ... Maglia 1 e Maglia 2 non esistono! I2 è l’unica corrente una sola maglia I2 e R2 C R1 costante di tempo diversa per la scarica Fisica II - Informatica

Riassunto Le leggi di Kirchoff si applicano anche ai circuiti dipendenti dal tempo: si hanno equazioni differenziali ! Soluzioni di tipo esponenziale dovute alla forma dell’equazione differenziale costante di tempo t = RC cosa sono R e C ? → bisogna analizzare il circuito ! con RC in serie la soluzione per la carica è con RC in serie la soluzione per la scarica è Fisica II - Informatica

Riassunto Soluzioni di tipo esponenziale dovute alla forma dell’equazione differenziale costante di tempo t = RC Quando il sistema raggiunge l’equilibrio ? è una convenzione: se diciamo che il sistema è in equilibrio entro, diciamo, lo 0.1% del suo valore asintotico (max o 0) della tensione (carica) di carica o scarica diciamo quindi t = RC* ln(1/.001) = 6.9 t Esempio t = 10 F * 10 M = 100 s 690 s per 0.1% Se vogliamo una accuratezza di 1 parte per milione, dobbiamo attendere più a lungo. Fisica II - Informatica