SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI 18/04/10 18/04/10 SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI   1

Quadrato di un trinomio Ripassiamo i prodotti notevoli 18/04/10 NOME TIPO SVILUPPO Quadrato di un binomio ( a + b )2 a2 + 2ab + b2 TRINOMIO Cubo di un binomio ( a + b )3 a3 + 3a2b +3ab2+b3 Polinomio con 4 termini Somma per differenza ( a + b ) ( a – b ) a2 – b2 BINOMIO ( a + b + c ) ( a + b – c ) (a+b)2 – c2 = a2 + 2ab + b2 – c2 Polinomio con 4 termini Quadrato di un trinomio ( a + b + c )2 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc POLINOMIO Somma (differenza) di cubi ( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) a3 + b3 ( a – b ) ( a2 +ab + b2 ) a3 – b3

Come fare a scomporre polinomi in fattori? 18/04/10 18/04/10 Come fare a scomporre polinomi in fattori? 3

RACCOGLIMENTO TOTALE o M.C.D. 18/04/10 18/04/10 PRIMA DI TUTTO… Vediamo se c’è da raccogliere un fattor comune fra tutti i monomi, cioè eseguiamo il: RACCOGLIMENTO TOTALE o M.C.D. 4

18/04/10 18/04/10 In seguito: Contiamo quanti monomi costituiscono il polinomio (ed eventualmente cerchiamo di riconoscervi qualche prodotto notevole) Binomio Trinomio Polinomio con 4 termini Polinomio con più di 4 termini RIASSUMENDO 5

a2 – b2 = ( a – b )( a + b ) a3 + b3 = ( a + b )( a2 - ab + b2 ) BINOMIO Raccoglimento totale o M.C.D. Differenza di due quadrati a2 – b2 = ( a – b )( a + b ) Somma di due quadrati a2 + b2 NON SI PUO’ SCOMPORRE IN R Somma di due cubi a3 + b3 = ( a + b )( a2 - ab + b2 ) Differenza di due cubi a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) Raccoglimento totale Quadrato di un binomio a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2 Trinomio notevole x2 - sx + p = (x - a )(x - b ) dove s = a + b e p = ab Ruffini Cubo di un binomio a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = ( a + b )3 Raccoglimento parziale Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio) a2 -2ab + b2 – x2 =(a - b)2 - x2 = [(a –b) + x] [(a –b) – x] = [a – b + x] [a – b – x] Quadrato di un trinomio a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c )2 18/04/10

18/04/10 18/04/10 M.C.D. Il M.C.D. è costituito SOLO dai fattori COMUNI, contati una sola volta, con il minor esponente. Pertanto bisogna scomporre in fattori i monomi che compongono il polinomio e poi è possibile determinare il M.C.D. Esempio: 3a2b - 5a3b4 + 4a4b6 = a2b ( 3 - 5ab3 + 4a2b5 ) 7

BINOMIO DIFFERENZA DI DUE QUADRATI a2 + b2 a2 – b2 = (a – b)(a + b) 18/04/10 BINOMIO ATTENZIONE!!!! La SOMMA di due quadrati a2 + b2 è irriducibile in R! DIFFERENZA DI DUE QUADRATI a2 – b2 = (a – b)(a + b) DIFFERENZA DI CUBI a3 - b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) SOMMA DI CUBI a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab+ b2)

TRINOMIO NOTEVOLE (di II grado) 18/04/10 TRINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO E’ un trinomio formato da due quadrati e da un doppio prodotto. Esempio: 16a4 + b2 - 8a2b = (4a2 - b)2 TRINOMIO NOTEVOLE (di II grado) Deve essere sempre del tipo : x2 + sx + p con s = a + b e p = ab. Esempio: x2 - 9x – 36 = ( x – 12 ) ( x + 3 )

RACCOGLIMENTO PARZIALE 18/04/10 Polinomio con 4 termini CUBO DI BINOMIO Ci sono due cubi e due tripli prodotti di ciascuna delle due basi per il quadrato dell’altra a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = ( a + b )3 RACCOGLIMENTO PARZIALE a2 - 2ab + b2– x2 = (a - b)2 - x2 = [(a –b) + x ] [ (a –b) – x] = [a –b + x] [a –b – x]

RACCOGLIMENTO PARZIALE 18/04/10 RACCOGLIMENTO PARZIALE 10a3b + 2xb - 5a3 – x = 5a3 ( 2b – 1 ) + x ( 2b - 1) = ( 2b – 1 )( 5a3 + x )

Polinomio costituito da tre quadrati e tre doppi prodotti 18/04/10 POLINOMIO QUADRATO DI TRINOMIO Polinomio costituito da tre quadrati e tre doppi prodotti Esempio: a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c )2 x2 + 9y2 + 4z2 - 6xy + 4xz - 12yz = ( x - 3y + 2z )2 Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: REGOLA DI RUFFINI

REGOLA DI RUFFINI x5 – 10 x – 12 = 1 0 0 0 -10 -12 2 4 8 16 12 18/04/10 REGOLA DI RUFFINI x5 – 10 x – 12 = 1 0 0 0 -10 -12 2 4 8 16 12 1 2 4 8 6 0 = ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )

Grazie per l’attenzione! 18/04/10 Grazie per l’attenzione!