Le Proporzioni… Risolvono molti problemi della vita

Le Proporzioni? Perché parlare delle proporzioni oggi? Familiarità con le frazioni. E Matematica elementare (non sempre!) Il ragionamento per proporzioni è elegante e potente (si risparmia tempo!) Storicamente è stato molto usato. E' possibile risolvere problemi: 3-semplice, 3 composto e di ripartizione.

Esempi di uomini illustri… Pitagora (Teoria dellArmonia) Archimede (La Meccanica delle leve) Leonardo (Le proporzioni nellarte) Galileo (Fisica classica) Pascal (Probabilità e Fisica) Talete (Teorema sui fasci paralleli) Newton (Leggi della dinamica)

LA NATURA! RAPPORTI e PROPORZIONI Sono Strumenti che luomo utilizza per capire la NATURA e RAPPRESENTARLA. Le proporzioni sono utili in diversi campi: ARTE ECONOMIA FISICA BIOLOGIA SCIENZE VARIE

Cosa è una PROPORZIONE? UGUAGLIANZA DI DUE RAPPORTI Scritto altrimenti: a : b = c : d

Proprietà Fondamentale: a*d = b*c Comporre:(a+b): b = (c+d): d Scomporre:(a-b) : b = (c-d) : d Permutare:a : c = b : d Invertire:b : a = d : c Spunto di riflessione: Tutte le proprietà si dimostrano facilmente tramite le proprietà delle frazioni… Partendo da a : b = c : d

Le regole di Proporzione ovvero esempi noti di problemi in cui utilizzare le proporzioni ELEMENTI DI ALGEBRA del sacerdote Alessandro Casano Pubblico Professore nella R. Università di Palermo 1833 Segue >>

Tipi di PROPORZIONALITA Diretta Inversa Due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca Diretta se quando le grandezze del primo gruppo raddoppiano, triplicano, ecc… Le grandezze corrispondenti fanno la stessa cosa Intuitivamente: Inversa se quando le grandezza del primo gruppo raddoppiano, triplicano ecc… Le grandezze corrispondenti si dimezzano, diventano un terzo, ecc… La proporzionalità si intende sempre come crescite lineari, ma nulla vieta di generalizzare il concetto a rapporti di secondo grado, terzo e così via… Si conserva il rapporto Si conserva il prodotto

Esempi di Problemi - Tre semplice - Diretto: Un rubinetto versa in 2 ore 54 litri dacqua; quanti ne versa in 9 ore? Chiaramente il problema è di tipo diretto, dato che più tempo passa e più litri vengono versati; il rapporto di litri versati allora è di 54 a 2, quindi lincognita deve mantenere questo rapporto costante se rapportato a 9… ovvero sussiste la proporzione: 54 : 2 = x : 9, da cui x = (54 * 9) : 2 = 243 litri. Inverso: Per costruire una strada 10 operai impiegano 30 gg. Quanti giorni impiegherebbero 15 operai per compiere lo stesso lavoro? (lavorando allo stesso ritmo) Qui il problema presenta una proporzionalità inversa, infatti maggiore è il numero di operai e meno tempo si impiega a compiere il lavoro; il rapporto conosciuto è 10 a 30… visto che nella proporzionalità inversa è il prodotto che rimane costante (quindi la proporzionalità è diretta con gli inversi delle grandezze corrispondenti), allora sussiste la seguente proporzione: 10 : 1/30 = 15 : 1/x, meglio ancora: 10 : 15 = x : 30 da cui x = (10 * 30) : 15 = 20 gg.

Schemi risolutivi Seguendo le frecce: 2 : 9 = 54 : x 10 : 15 = x : 30

40 uomini hanno costruito un muro lungo 130 metri, largo 3 metri e alto 8 metri in 65 gg, lavorando 9 ore al giorno; si domanda quanti giorni dovrebbero impiegare 15 uomini a costruire un muro lungo 160 metri, largo 5 metri, alto 6 metri, lavorando per 10 ore al giorno. Esempi di Problemi - Tre composto - A prima vista sembra un quesito duro da risolvere… Eppure basta solo stabilire i tipi di proporzionalità ed applicare le note regole N° uominiLunghezzaLarghezzaAltezzaN° oreN° Giorni x Tipo Prop.IDDDI x = 65 * (9/10) * (6/8) * (5/3) * (160/130) * (40/15) = 240 gg.

Esempio di ragionamento proporzionale - dal Le Mecaniche di G.Galilei (1593) -

Sottraendo GN Aggiungendo GH MH = GN Ma si ha anche che KI : IL Per cui Ora, il primo rapporto è come E questo è come CI : ID Quindi si conclude: MG = HN NG : GM = Solido CS : Solido SD

Le proporzioni in Geometria (1) Quando due figure hanno la stessa forma, le chiamiamo SIMILI In Geometria questo si traduce, per i poligoni, nellavere angoli ordinatamente congruenti e lati corrispondenti in proporzione ovvero il rapporto tra i lati che si corrispondono è costantemente uguale ad uno stesso numero Si può vedere per i triangoli che basta avere due angoli uguali ed in automatico essi sono simili

Teoremi di Euclide 1.Un cateto è medio proporzionale tra lipotenusa e la sua proiezione su di essa 2.Laltezza relativa allipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sullipotenusa a b c c 1 c2c2 h 1. c 1 : a = a : c ovvero a 2 = c 1 * c c 2 : b = b : c ovvero b 2 = c 2 * c 2. c 1 : h = h : c 2 ovvero h 2 = c 1 * c 2 Le proporzioni in Geometria (2)

Le proporzioni in Geometria (3) Il Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele, il rapporto tra i segmenti che si formano su una trasversale, non cambia comunque sia inclinata tale retta Il rapporto tra i segmenti corrispondenti a due lettere qualsiasi (le stesse!), sono costanti… esempio a 1 :d 1 =a 2 :d 2 =a 3 :d 3 =… a b c d e a1a1 a2a2 a3a3 d1d1 d2d2 d3d3

Una applicazione geometrica I triangoli ACD e ABE sono simili… AC : AB = CD : EB Se ci mettessimo in A, distanti dalla base del Gladio (C) 7,5 metri e nel punto B, distante da noi 1 metro, conficcassimo nel terreno un palo di 1,5 metri, allora potremmo facilmente calcolare laltezza del Gladio senza doverlo abbattere… 7,5 : 1 = CD : 1,5CD = 7,5 * 1,5 = 11,25 metri quindi

La Falsa posizione semplice Essa è una regola che permette di risolvere tutti i problemi di I grado che darebbero origine ad unequazione del tipo ax=b Si supponga che sia n un valore a piacere della x. Se si ha che an=b allora x=n è una soluzione del problema. Se però non è soddisfatta lequazione, allora an fornirà un valore c maggiore o minore di b. Dividiamo le due equazioni ax=b e an=c membro a membro e quindi ovvero la proporzione c : b = n : x da cui Nota la Proporzione: ll falso risultato sta al vero come il numero supposto sta a quello vero

Esempio di applicazione Si deve riempire un bacino facendo simultaneamente scorrere acqua da due fonti, di cui la prima lo riempierebbe in 7 ore e la seconda in 3 ore. Quanto tempo è necessario per riempire il bacino? Sia 1 la capacità del bacino che supponiamo di poter riempire in un'ora; significa che la prima fonte lha riempito per 1/7 e la seconda per 1/3. Ora la somma di queste due frazioni è 10/21 (falsa posizione, dato che dovrei ottenere 1). Utilizzando la proporzione di prima si ha: da cui si deduce ovvero 2 ore e 6 minuti

La Falsa posizione doppia Essa è una regola che permette di risolvere tutti i problemi di 1° grado ad una incognita. Si supponga che il problema porti ad una equazione del tipo ax+b = cx+d e si supponga che la soluzione sia n. Allora, se fosse giusta, an+b = cn+d, altrimenti, essendo valori disuguali, si potrebbe aggiungere o sottrarre una certa quantità e. Quindi, si avrebbe in generale, an+b = cn+d ± e. (e è detto anche errore relativo ad n) Sottraendo le due equazioni scritte membro a membro… an+b-(ax+b) = cn+d ± e - (cx+d) ovvero… (n-x)a=(n-x)c ± e ed in ultimo… (n-x)(a-c)= ± e. Segue >>

La Falsa posizione doppia Si supponga ora che la soluzione sia n. Allora, procedendo come prima, se fosse giusta, an+b = cn+d, altrimenti, essendo valori disuguali, si potrebbe aggiungere o sottrarre una certa quantità e. Quindi, si avrebbe in generale, an+b = cn+d ± e. Sottraendo le due equazioni scritte membro a membro… an+b-(ax+b) = cn+d ± e - (cx+d) ovvero… (n-x)a=(n-x)c ± e ed in ultimo… (n-x)(a-c)= ± e. Si dividi membro a membro questi due uguaglianze… e quindi ovvero, dopo poco:

Esempio di applicazione Il cacciatore A scommette di pagare a B 2 Euro per ogni scarica a vuoto e B si obbliga di pagare 3 Euro per ogni scarica che A farà in pieno; dopo 25 scariche A deve a B 10 Euro. Si cerca il numero delle scariche a vuoto Chiaramente lequazione risolutiva si può scrivere senza grosse difficoltà: 2 x - 3(25-x)=10. Applichiamo la regola della falsa posizione (se non si vuol risolvere il problema tramite le equazioni!). Per n=10 (scariche) si ha: 2*10-3*(25-10)=20-45=-25 Ora -25= quindi e=-35. Supponiamo ora n=8, si ha: 2*8-3*(25-8)=16-51=-35 E -35= , quindi e=-45 Se poniamo i numeri trovati ordinatamente in una tabella nn ee

Bibliografia Settimio Cirillo: Geometria Operativa (Ferraro ed. -Napoli- 1993) Alessandro Casano: Elementi di Algebra(Tipografia Reale di Guerra - Palermo- 1833) Galileo Galilei: Le Opere a cura di Franz Brunetti (Classici U.T.E.T. -Torino- 1980) Emanuele Castagna: Il Pensiero Proporzionale (Loffredo ed. -Napoli- 2006)