Campi Conservativi sempre Sia una funzione scalare (x,y,z) funzione del punto data da grad (x,y,z) non sempre sempre dove si parla di campi conservativi sempre è un campo conservativo quindi Es. sommando

Flusso di un vettore attraverso una superficie Sia campo vettoriale superficie dello spazio per la quale è definito il campo Es. Se con indico la velocità di un fluido è con la sua densità

Divergenza di un vettore Indichiamo divergenza di un vettore la seguente grandezza scalare funzione di (x,y,z) Teorema della divergeza Il flusso del vettore attraverso una superficie chiusa qualsiasi S

Campi solenoidali Sia campo vettoriale in una regione dello spazio allora è solenoidale in quella regione Quindi è sempre nullo

Campi conservativi e solenoidali è conservativo, ossia se , si ha secondo la definizione di divergenza, si ha Se è anche solenoidale in una certa regione dello spazio è sempre nullo in quella regione

Circuitazione di un vettore Consideriamo un campo vettoriale proponiamoci di calcolare circuitazione l a . Definiamo un nuovo vettore, detto rotazione di O anche l . a Per definizione è la componente lungo del vettore che battezzo

Proprietà del rotore Ogni qual volta si ha ricordando che per qualunque campo conservativo le tre componenti sono identicamente nulle. quindi qualunque campo vettoriale che soddisfi deve essere conservativo. Viceversa se la rotazione di un vettore è nulla allora possiamo dire che una funzione

Teorema della rotazione o teorema di Stokes La circuitazione del vettore lungo una linea chiusa notiamo subito che Infatti calcolando secondo la definizione di divergenza Da ciò segue che il campo è sempre solenoidale

Campo vettoriale irrotazionale Le due espressioni matematiche hanno lo stesso significato Campo irrotazionale Campo conservativo

Concetto di carica Elettroscopio a foglie

Introduciamo una nuova grandezza che prende il nome di Carica Legge di Coulomb q1 q2 Costante dielettrica del vuoto Introduciamo una nuova grandezza che prende il nome di Carica L’unità di carica si misura in Coulomb C = Coulomb

Il campo elettrico qo q4 q3 q2 q1 qn Per ottenre quindi una definizione indipendente dalla carica considerate Intensità del Campo elettrico generato da una carica

Il potenziale elettrostatico q4 q3 qo P1 P2 q2 q1 qn È l’integrale indefinito dl e poi moltiplcare questo lavoro per la carica stessa poiché supponiamo una carica unitaria si ottiene dw…. Ora cambiando il segno ad * e derivando rispetto a r abbiamo che esso è una funzione scalare la cui derivata rispetto a d r cambiata di segno rappresenta la intensità del campo. Potenziale elettrostatico

Energia potenziale È l’energia potenziale della carica quando essa è posta nel punto in cui il potenziale ha il valore Quindi il campo elettrico si misura in

Flusso del campo elettrico Il flusso è indipendente dalla forma e dalle dimensioni della particolare superficie S che si considera. Sorgente interna alla superficie Ricordando come abbiamo calcolato il campo elettrico possiamo dire che le cariche elettriche sono le sorgenti (positive o negative) del campo elettrico E con zero ciò significa che il campo elettrico non è solenoidale in tutto lo spazio, consideriamo vari casi. Carica puntiforme concentrata nel punto O interna alla superficie chiusa. Nel caso in cui la carica è esterna alla superficie Il flusso dato da una sorgente esterna alla superficie è nullo Sorgente esterna alla superficie

Flusso del campo elettrico teorema di Gauss Nel caso di più cariche Teorema di Gauss Se si ha una distribuzione continua Ricordando il teorema della divergenza Teorema di Gauss in forma differenziale

Equazioni fondamentali del campo elettrostatico O anche Eqazione di Poisson Nei punti in cui Eqazione di Laplace

Equazioni dell’elettrostatica nei dielettrici Introduciamo due vettori Analogo a Induzione dielettrica Nel mezzo abbiamo Intensità di polarizzazione Suscettività dielettrica Costante dielettrica relativa

Costante dielettrica relativa di alcune sostanze

Legge di Coulomb nei dielettrici q1 q2 Costante dielettrica del mezzo

Corrente elettrica stazionaria Definiamo due nuove grandezze fisiche legata fra loro. Intensità di corrente Densità di corrente

Conservazione della carica (equazione di continuità) conduttore Intensità di corrente uscente entro la superficie del volumetto Densità di carica Per il teorema della divergenza Si può avere una corrente che esce dalla sua superficie solo se ρdv contenuta dentro il cubetto diminuisce. Equazione di continuità della corrente elettrica Quindi Nel caso delle correnti stazionarie si ha Ossia è sempre solenoidale Quindi

La legge di Ohm La legge di Ohm fissa la dipendenza fra il potenziale e la corrente in un conduttore Legge di Ohm Resistenza del conduttore Resistività del materiale

La legge di Joule Quantità di carica Lavoro svolto dal campo Possiamo anche scrivere nei conduttori metallici dove vale la legge di Ohm O anche scrivendo

Le leggi di Kirchhoff Nodo Maglia Il flusso totale di uscente da tale superficie deve essere nullo. In ogni maglia la somma delle f.e.m. è sempre uguale alla somma delle c.d.t.