Proprietà meccaniche dei Fluidi

FLUIDI LIQUIDI GAS Assumono la forma del recipiente Hanno volume proprio Superficie limite Praticamente incomprimibili Assumono la forma del recipiente Non hanno volume proprio Hanno densità inferiore a quella dei liquidi Facilmente comprimibili Le proprietà meccaniche possono essere trattate in modo unificato PROPRIETA’ MECCANICHE DEI FLUIDI

Grandezze caratterizzanti i fluidi Densità I Fluidi sono sistemi continui, composti da un insieme infinito di elementi : dm = ρ dV Viscosità Ciascun elemento può scorrere su di un altro adiacente. Vi è una forza di attrito interno che si oppone allo scorrimento: dF = η dS dv/dn Pressione Per un fluido non si può parlare di forza applicata in un punto ma di Forze di volume  dV Ex. dF = g ρ dV Forze di pressione dF = p dS

Equazioni della statica dei Fluidi Fluido in quiete  tutti gli elementi hanno velocità nulla in un sistema di riferimento inerziale: Fp + Fv = 0 ed è nulla anche la somma delle componenti lungo un qualsiasi asse Si può dimostrare che la condizione di equilibrio: Se in un fluido in quiete agisce una forza di volume, la pressione nel fluido non può essere costante ma deve variare in accordo con la (&) per consentire l’equilibrio statico. Grad p = ρ f & La pressione è costante nel fluido solo se ρ f = 0 cioè se non agiscono forze di pressione o se la densità è molto bassa. Se la forza di volume è conservativa f = - Grad E p,m dove E p,m = energia potenziale per unità di massa dalla &  Grad p = - ρ Grad E p,m Le superfici equipotenziali coincidono con le superfici isobariche: in ogni punto di una tale superficie la pressione ha lo stesso valore. Il gradiente di pressione ha la stessa direzione e verso opposto al gradiente dell’energia potenziale per unità di massa.

Legge di Stevino Quando la forza di volume è la sola Forza Peso (conservativa): f x = f y = 0; f z  0; Quindi la pressione varia solo lungo l’asse z ed è costante su un piano normale a tale asse, che è una superficie isobarica. E p,m = g z Dalla (&&) : dp / dz = - ρ g integrando tra due punti z1 e z2 : p2 – p1 = -ρ g (z2 – z1) Se la pressione sulla superficie limite di un particolare liquido in un contenitore è p0 allora alla profondità z : z z LEGGE DI STEVINO In un liquido (o fluido pesante) omogeneo in equilibrio la pressione cresce linearmente con la profondità p(z) = p0 + ρ g z

Paradosso Idrostatico Principio dei Vasi Comunicanti La forza esercitata da un fluido sul fondo del recipiente che lo contiene può essere notevolmente diversa dal peso del liquido del liquido contenuto nel recipiente stesso. In tutti i casi la Forza esercitata sul fondo ha sempre l’intensità: F = p S = ρ g h S = ρ g V Principio dei Vasi Comunicanti In un sistema di recipienti in comunicazione tra loro, riempiti dello stesso liquido e aperti allo stesso ambiente, il liquido assume lo stesso livello rispetto al suolo in tutti i recipienti. Le superfici libere appartengono tutte allo stesso piano equipotenziale

Principio di Pascal Se dall’esterno si produce una variazione della pressione in un punto di un fluido e ciò non produce una variazione apprezzabile della densità (fluido incompressibile), la stessa variazione si trasmette a tutti i punti del fluido. Una applicazione di tale principio è la Pressa Idraulica, utile quando si vogliono avere forze molto intense applicando forze più piccole: F2 = F1 S2 / S1 Se il fluido è incomprimibile: d2 = d1 S1 / S2 Il lavoro compiuto dalle due forze è lo stesso.

Effetti fisiologici della Pressione idrostatica Posizione eretta: P = Psangue + d g h Posizione orizzontale: P = Psangue

Principio di Archimede Per un volume V0 di fluido in equilibrio: Fp + Fv = Fp + mg = 0  Fp = - m g = - ρ V0 g = FA A Se il volume V0 viene sostituito da un’altra sostanza, ρ  ρ’ : Fp + F ’v = Fp + m’g  0 ma la FA resta sempre la stessa ! In particolare: ρ’ > ρ  FA < m’g  il corpo scende ρ’ < ρ  FA > m’g  il corpo sale Un corpo immerso in un fluido in equilibrio, riceve una spinta verso l’alto FA = - ρV0g pari al peso del volume V0 di fluido spostato. Tale forza è applicata al centro di spinta del corpo.

Dinamica dei Fluidi ideali Un fluido ideale è un fluido non viscoso e incomprimibile, cioè: η = 0 e ρ = cost. Se c’è scorrimento relativo tra due elementi di fluido, lungo la superficie di contatto compare una forza di attrito interno con verso sempre contrario a quello della velocità relativa. Il suo modulo: F -F dF = η dS dv/dn La viscosità dipende dal tipo di fluido e dalla temperatura. Nei liquidi η diminuisce all’aumentare della temperatura Nei gas η cresce con T dove η è la viscosità del fluido

Equazione di Continuità Moto di un Fluido Descrizione Euleriana: P(x,y,z) v(x,y,z,t) Regime stazionario: v(t) = costante Regime non stazionario: Transiente o Turbolento Tubo di flusso e Linee di corrente Equazione di Continuità In regime stazionario la quantità di fluido contenuta entro una regione qualsiasi non varia. ρ1v1S1 = ρ2v2S2 , vS = portata La massa del fluido viene conservata Se fluido incompressibile  ρ1 = ρ2 la Portata è costante

Equazione di Bernouilli Moto stazionario di un fluido ideale in un condotto: Teorema del lavoro e dell’energia cinetica il lavoro fatto nel tempo dt dalle forze che sollecitano la massa fluida deve essere pari alla variazione di energia cinetica: dW = dLg + dLp = = ½ dm (v22 – v12) v1 v2 F1= p1 S1 Z1 Z2 Per un fluido ideale in moto stazionario in un condotto la somma delle tre altezze, geometrica, piezometrica e d’arresto, è per tutte le sezioni costante: Z + p / ρg + v2 / 2g = cost F2= p2 S2 se v = 0  Legge di Stevino se il condotto è orizzontale  pressione e velocità del fluido cambiano solo se cambia la sezione la velocità di un fluido aumenta al diminuire della pressione Dim.

In un condotto orizzontale a sezione variabile: Conseguenze dell’equazione di Bernouilli e dell’equazione di continuità per i fluidi ideali: Teorema di Torricelli La relazione tra la velocità di efflusso di un liquido da un foro praticato nel recipiente che lo contiene, e l'altezza del liquido al di sopra di esso è data da: Tubo di Venturi In un condotto orizzontale a sezione variabile:

Teorema di Torricelli Tubo di Venturi Tubo di Pivot ! Conseguenza dell’equazione di continuità: Teorema di Torricelli La relazione tra la velocità di efflusso di un liquido da un foro praticato nel recipiente che lo contiene, e l'altezza del liquido al di sopra di esso è data da: Tubo di Venturi In un condotto orizzontale a sezione variabile: Tubo di Pivot Se un ostacolo viene posto in una corrente fluida le linee di corrente si aprono ma nel punto di ostacolo il fluido è fermo. In ogni sezione a sufficiente distanza dall’ostacolo la pressione e la velocità del fluido sono le stesse per cui: pA + ½ ρ vA2 = p0 A !

Pulsazione vascolare - Ischemia Come conseguenza dell’arteriosclerosi sulle pareti delle arterie si depositano delle placche che riducono il diametro della sezione. Per mantenere costante la portata del sangue la velocità di questo deve aumentare (con notevole sforzo del cuore!), ma ciò comporta una diminuzione di pressione nell’arteria che può venire schiacciata dalla pressione esterna fino a bloccare il flusso sanguigno. Con v = 0 la pressione risale e l’arteria si riapre. Si innesca così un processo in cui il flusso arterioso varia notevolmente - pulsazione vascolare – e il cui effetto può essere rivelato con uno stetoscopio. Nei casi più gravi l’arresto del flusso può provocare un’ ischemia.

Moto fluidi viscosi R l Moto laminare: Nei fluidi reali η  0  Perdita di carico: ∆p / l Per mantenere il flusso nel condotto è necessaria una forza per vincere la resistenza al moto dovuta all’attrito interno l Numero di Reynolds: R = ρ v R / η R c = 1200 → vc = 1200 η / ρ R v < vc → moto laminare v > vc → moto turbolento Moto laminare: Il regime è stazionario e le linee di corrente sono costanti nel tempo (non si intersecano mai) Il modulo della velocità varia col raggio r all’interno del condotto: dove vMAX = v(0) vmin = v(R) = 0 La portata è definita dalla LEGGE DI HAGENS – POISEUILLE

Resistenza offerta ai corpi in moto Moto turbolento: Un moto complesso legato alla non linearità delle equazioni differenziali che lo descrivono. Le particelle del fluido si trovano ad avere sovrapposto al moto d’insieme un moto a caso in tutte le direzioni  Il moto è turbolento e vengono prodotti vortici. Nel regime vorticoso il gradiente di pressione necessario per mantenere una certa velocità di efflusso è una funzione quadratica della velocità invece che lineare come nei moti laminari. Resistenza offerta ai corpi in moto forma e dimensione del corpo densità e viscosità del fluido velocità relativa dove c = coeff. adimensionale che dipende dalla forma del corpo Se il moto è turbolento: c è costante Se il moto è laminare : c  1/v In particolare per una Sfera (con R e < 0.5) vale la Legge di Stokes: F res  c v2 F res  v F res = 6 π η v r

Lo sfigmomanometro Il passaggio da un moto laminare a un moto turbolento è alla base del funzionamento dello sfigmomanometro. L’aria immessa nel manicotto avvolto attorno al braccio del paziente comprime un’arteria radiale. La sezione dell’arteria diminuisce per cui la velocità del sangue aumenta. Quando viene raggiunta la velocità critica il moto passa da laminare a turbolento. In tali condizioni tramite un fonendoscopio si rivela un rumore caratteristico. tale rumore scompare quando la circolazione sanguigna si interrompe a causa dell’alta pressione esercitata dal manicotto. Ora si diminuisce lentamente la pressione facendo sfiatare l’aria dal manicotto. Il valore della pressione in corrispondenza del quale riprende la circolazione – e si ascolta nuovamente il rumore dovuto al moto vorticoso – è detto pressione massima arteriosa o sistolica; Il valore della pressione che si ha quando il rumore scompare nuovamente per il passaggio al moto laminare è detto pressione minima arteriosa o diastolica.

Consideriamo un elemento cubico del fluido in equilibrio. A. Eq. Statica dei Fluidi Consideriamo un elemento cubico del fluido in equilibrio. Sarà nulla la somma delle Forze di Pressione e di Volume. Per le forze di pressione: p(z) dS – p(z+dz) dS = dS [p(dz) – [p(dz) + δp/δz δz]] = = dS [ - δp/δz δz] = - δp/δz dV La componente della forza di Volume è: fz dm = fz ρ dV Quindi la condizione di equilibrio: - δp/δz dV + fz ρ dV = 0 δp/δz = fz ρ analoghe espressioni si ottengono per le altre componenti. Si può riassumere con l’equazione vettoriale: Grad p = ρ f Back

A. Eq. Statica dei Fluidi 2 Consideriamo due superfici equipotenziali S1 eS2 prossime tra loro. Passando dalla prima alla seconda superficie si hanno le variazioni di pressione ed energia potenziale dp e dE p,m Tali variazioni sono indipendenti dal punto di partenza e da quello di arrivo sulle due superfici. Dalle definizioni di gradiente: Dove dn è uno spostamento ortogonale alla superficie Quindi: Poiché le variazioni di pressione ed Energia potenziale sono le stesse, qualsiasi sia il punto di partenza scelto, la densità del fluido deve restare la stessa lungo la superficie S  Una superficie equipotenziale è una superficie isobarica e su di essa ρ è costante Back

A. Eq. Di Bernouilli Moto stazionario di un fluido ideale in un tubo di flusso Teorema del lavoro e dell’energia cinetica: il lavoro fatto nel tempo dt dalle forze (peso e di pressione) che sollecitano la massa fluida deve essere uguale alla variazione di energia cinetica avuta nel sistema dW = dLg + dLp ½ dm (v22 – v12) = - (z2- z1)g dm + (S1 P1v1 - S2 P2v2) = = - (z2- z1)g dm + (P1 – P2) dm / ρ da cui : z + p / ρg + v2 / 2g = costante Eq. Di Bernouilli Nel moto stazionario di un fluido ideale in un condotto la somma delle tre altezze, geometrica, piezometrica e d’arresto, è per tutte le sezioni costante. Back