La conservazione della quantità di moto Caterina Petrucci & Luca Grimaldi

I principio della dinamica II principio della dinamica: Un corpo libero che ad un certo istante ha una velocità , mantiene indefinitamente (fino a che resta libero) il suo stato di moto rettilineo ed uniforme ( si mantiene costante). quantità di moto: II principio della dinamica: è una formulazione più generale rispetto a perché resta inalterata in meccanica relativistica.

 teorema dell’impulso: impulso della forza:  teorema dell’impulso: l’impulso che la forza trasmette al corpo tra gli istanti t1 e t2 è uguale alla variazione che la quantità di moto del corpo subisce nello stesso intervallo di tempo. Forze impulsive: hanno effetto per un tempo molto piccolo rispetto a quello su cui viene osservato il fenomeno

III principio della dinamica Se un corpo 1 esercita su un corpo 2 una forza anche il corpo 2 esercita su 1 una forza di uguale intensità e verso opposto.  Le forze che agiscono su un corpo derivano dall’interazione di questo con altri corpi.

Conservazione della quantità di moto Sistema isolato: insieme di corpi sui quali non agiscono forze esterne (forze non di mutua interazione) oppure queste hanno risultante nulla o trascurabile rispetto a quelle interne. Conservazione della quantità di moto in un sistema meccanicamente isolato la quantità di moto totale si conserva

APPLICAZIONI In alcuni casi (tipicamente quando sono in gioco forze impulsive) il principio di conservazione della quantità di moto consente di dedurre alcune proprietà del moto senza conoscere il dettaglio delle interazioni in gioco.

Sistemi di riferimento quantità di moto: sistema del centro di massa per un sistema isolato di corpi vale il teorema di Koening:

ESEMPI DI APPLICAZIONE Carrello su binario liscio All’inizio m+M in moto con v. Quindi m acquista w rispetto al carrello, opposta a v. Quanto vale V ? Uomo e carrello interagiscono con forze di attrito delle quali non conosciamo nessun dettaglio. V > v per compensare la spinta dovuta alla variazione del moto dell’uomo.

Esplosioni: eventi in cui da un corpo monolitico si separano, a causa di forze interne, uno o più frammenti se v1 è la velocità con cui il proiettile esce dalla canna del fucile, la velocità di rinculo v2 è data dalla relazione: cioè i corpi si respingono con velocità inversamente proporzionali alle loro masse.

Motore a razzo L’espulsione del gas prodotto dalla combustione crea una reazione di spinta sul razzo che ne fa aumentare la velocità.  Indichiamo con M(t) la massa e con V(t) la velocità del razzo ad un certo istante t.  Il gas viene espulso a velocità w costante rispetto al razzo, e pari a (–w+V) rispetto al suolo, in quantità –dM (dM è negativa) per ogni intervallo di tempo dt.  All’istante t+dt la massa del razzo sarà M+dM e la sua velocità V+dV. Il sistema razzo – gas espulso è isolato  vale il principio di conservazione della quantità di moto trascurando il prodotto di due differenziali si ottiene: Integrando tra l’istante in cui la massa del razzo è M0 e la sua velocità V0 si ricava:

Esempio di due sfere che si urtano rotolando sul piano di un biliardo URTO: interazione di durata tanto breve da rendere ininfluente il contestuale effetto di eventuali forze esterne rispetto all’evoluzione del fenomeno, cioè nella quale intervengano soltanto forze di tipo impulsivo.  le esplosioni possono essere considerate urti in cui tutte le velocità iniziali sono nulle. Se le forze di interazione sono conservative  si mantiene costante e gli urti sono detti elastici. In questi urti i corpi rimbalzano senza subire deformazioni permanenti e senza generare calore. Esempio di due sfere che si urtano rotolando sul piano di un biliardo  attrito trascurabile (in realtà è necessario perché le sfere rotolino)  peso compensato dalla reazione vincolare del piano  il sistema è isolato. Urto centrale: urto tra due corpi con velocità iniziali dirette lungo la congiungente i loro centri.

URTI ELASTICI  il moto risulta completamente definito.  le due incognite v’1 e v’2 si ricavano dalle due equazioni di conservazione:  il moto risulta completamente definito.

URTI ELASTICI CENTRALI  sono monodimensionali  Urto elastico centrale di due biglie di massa uguale: m1= m2 

Urto elastico centrale di una biglia contro una ferma (v1>0, v2=0):  m1 > m2  in particolare se m1 >> m2   m1 < m2  in particolare se m1 << m2 

URTI ELASTICI NON CENTRALI  m1 = m2, v2= 0   m1 << m2  15  in ogni caso nel sistema del centro di massa: q -q q’ -q’ prima dopo

Urti totalmente anelastici non si conserva  urti anelastici Urti totalmente anelastici  il moto dopo l’urto è completamente definito con  si ha la massima dissipazione di energia cinetica poiché, essendo wi’=0 nel sistema del centro di massa 

conservazione quantità di moto  relazione di Einstein impulso di un fotone: conservazione quantità di moto  relazione di Einstein  il corpo è fermo sia prima sia dopo l’assorbimento dei due pacchetti d’onda di energia E=hn Il sistema S vede il sistema S’ muoversi con velocità di modulo V << c  il corpo si muove con la stessa velocità (v=V) sia prima sia dopo l’assorbimento dei due pacchetti d’onda  i due pacchetti d’onda presentano una componente longitudinale dell’impulso pari a Ev/2c2  è valida la conservazione della quantità di moto totale: q + Ev/c2 =q’  Dq = q’-q = v·Dm = Ev/c2  se un corpo assorbe un’energia E la sua massa aumenta di Dm = m’-m = E/c2

grandezze cinematiche relativistiche energia di riposo:  energia non relativistica: grandezze cinematiche relativistiche energia: massa: energia cinetica: quantità di moto:

Effetto Compton  tre equazioni scalari nelle quattro incognite conservazione della quantità di moto conservazione dell’energia  tre equazioni scalari nelle quattro incognite ’, v,  e   tipicamente si assume  come parametro e si ricavano ’, v e .