Paolo Bagnaia - La fisica e+e-1 Le interazioni e + e -

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-2 le interazioni e + e - - sommario il modello standard ( ) : costituenti e interazioni; le interazioni e + e - a bassa energia; le variabili invarianti di Mandelstam s,t,u ; i processi di canale s, t, [u]; alcune sezioni durto in QED; la regola di Zweig; la spettroscopia del charmonio; eventi con due e tre jet nello stato finale; le interazioni elettrodeboli a s = m Z : tree level; correzioni radiative. ____________________________________ ( ) questa non è una presentazione formale del MS, ma solo un breve richiamo di alcuni argomenti, talvolta trascurati nei corsi universitari. e+e+ e-e-

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-3 i costituenti fondamentali del modello standard fermioni di spin ½ [ le particelle] : [+ antifermioni : antileptoni, antiquark] bosoni di spin 1 [ i campi] : bosoni di spin 0 [ le masse] : la gravità è difficile da incorporare. leptoni quark (× 3 colori) e – e – – Q=-1 Q=0 ud ud cs cs tb tb Q= 2 / 3 Q=- 1 / 3 (fotone): int. elettromagnetiche; W ± : int. deboli cariche; Z: int. deboli neutre; g (gluone): int.forti [8 campi colorati ]. H (Higgs) neutro [se non minimale] A, H ±, …

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-4 le interazioni nel modello standard - 1 stati legati [non sono possibili calcoli perturbativi] : elettromagnetici (ex. positronio, atomi, molecole, cristalli) : soluzioni esatte (ex. atomo di idrogeno) -oppure- metodi numerici; forti (ex. protone, mesoni, nuclei) : metodi numerici (QCD sul reticolo, modelli nucleari, …); collisioni : calcolo con diagrammi di Feynman, cioè con sviluppo in serie nella costante di accoppiamento ( e.m., s, …) : e.m. [ = e 2 /(4 c) 1/137] : ex. a bassa energia e + e - e + e - (Bhabha), allordine più basso 2 ( ) : e+e+ e+e+ e-e- e-e- e+e+ e-e- e+e+ e-e- [continua]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-5 le interazioni nel modello standard - 2 deboli [g c = e/sin W, g c = e/cos W ] : ex. e - e - :ex. e - e - : forti [ s = 12 /{(33-2n f ) n(Q 2 / 2 )} ], ex. q q q q (q q) : s non è costante (running coupling); n f è il numero effettivo di flavour (dipende da Q 2 ); s diverge se Q 2 2 (asymptotic freedom) calcoli perturbativi validi solo ad alto Q 2. e-e- W+W+ - e e-e- Z e-e- q q g q q

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-6 lo stato iniziale e + e - a bassa energia ( ) carica = 0; numeri leptonico e barionico = 0; spin intero : possibile ; cinematica : e + [E,p,0, 0]; e - [E,-p,0, 0]; [2E,0,0, 0]; m( ) = s = 2E [fotone virtuale a vita breve]. ___________________ ( ) bassa energia significa E CM = 2E << m Z, altrimenti anche e + e - Z; se s m Z, risonanza (vedi oltre). e+e+ e-e-

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-7 s,t,u – le variabili invarianti di Mandelstam p + = [E,p,0,0]; p - = [E,-p,0,0]; p a = [E, p cos,p sin,0]; p b = [E,-p cos,-p sin,0]; s= (p + + p - ) 2 = (p a + p b ) 2 = 4E 2 ; t= (p + - p a ) 2 = (p b - p - ) 2 = - ½ s (1 - cos ); u= (p + - p b ) 2 = (p - - p a ) 2 = - ½ s (1 + cos ); s + t + u = 0 ( 2 variabili indipendenti, ex. E, ). e+e+ b a e-e- e+e+ b a e-e- in approssimazione di massa nulla per tutte le particelle di stato iniziale e finale (m 0, E |p| ) [per il caso m 0, PDG § 34.5, pag 212].

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-8 canale s, t si chiamano processi di canale s quelli, come e + e - + -, in cui la particella emessa e riassorbita ( in questo caso) è del genere spazio, cioè ha come quadrato del quadri-momento il valore s, la variabile di Mandelstam che caratterizza il processo; viceversa, si chiamano processi di canale t quelli, come e + e + e + e +, in cui la particella scambiata ( anche in questo caso) è del genere tempo, cioè ha come quadrato del quadri-momento il valore t; talvolta, il processo (ex. e + e - e + e -, vedi oltre) è descritto da più diagrammi di Feynman, di tipo s e t; in tal caso si parla di somma di diagrammi di tipo s o di tipo t (+ interferenza). e+e+ + e-e- - canale s e+e+ e+e+ e+e+ e+e+ canale t

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-9 la sezione durto in funzione di s,t,u in assenza di polarizzazione, le sezioni d urto non dipendono da : d x /d = 1/(2 ) d x /dcos = = s/(4 ) d x /dt; si dimostra inoltre ( ) [sempre per m 0] : d /dt = | M | 2 / (16 s 2 ) ove M è lelemento di matrice del processo (adimensionale); pertanto, in QED allordine più basso : d / d cos = | M | 2 / (32 s) = = 2 / s × ƒ (cos ); per 0, cos 1 : canale s: ƒ (cos ) costante; canale t: ƒ (cos ). e+e+ b a e-e- e+e+ b a e-e- _____________ ( ) anche semplici ragioni dimensionali : c e = 1, M numero puro, [ ] = [t] = [s] = [ 2 ], e pertanto, in assenza di altre variabili dimensionali, d /dt = [numero puro] × s -2.

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-10 e + e - + -, q qbar ex. e + e ; CM, s >> m e, m ; cinematica : e + (E,p,0, 0); e - (E,-p,0, 0); + (E,p cos,p sin, 0); - (E,-p cos,-p sin, 0); p E = s/2; p(e + ) × p( + ) = p 2 cos = s cos / 4; il caso e + e - q qbar è più complicato, perché i quark liberi non esistono getti di adroni collimati (jet) [complicazione : gli adroni sono singoletti di colore, i quark no]. e+e+ f e-e- f [ Z ] e+e+ q e-e- q [ Z ]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-11 e + e - il caso e + e - e + e - è differente : canale s, affine al caso precedente + - ; canale t (scambio di una particella timelike); interferenza; le distribuzioni angolari sono molto differenti (v. oltre); ovviamente, evento per evento non è possibile determinare lo stato intermedio; però, selezionando differenti regioni angolari, è possibile ottenere campioni di eventi in cui prevale il processo di canale s oppure t. e+e+ e+e+ e-e- e-e- [ Z ] e+e+ e+e+ e-e- e-e-

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-12 sezioni durto in QED consideriamo alcuni processi di QED; allordine più basso [ s<<m Z, solo scambio di ] : e ± e ± e ± e ± e + e - e + e - e + e - e + e - + -

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-13 sezioni durto in QED s = 1 GeV e ± e ± e + e - e + e - + -

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-14 (e + e - + -, q qbar) e + e - + e + e - q qbar [1+cos 2 ] = = P 1 Legendre (cos ) [ spin del ]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-15 R = (e + e - hadr.) / (e + e ) di conseguenza, si definisce una quantità (facile da misurare + piena di significato) : R = (e + e - adroni) / (e + e ) = i 3 Q i 2 = R( s); somma su tutti i quark che possono essere prodotti ad un dato valore di s : 0< s < 2 m c R = R uds = 3 × [ ( 2 / 3 ) 2 + ( -1 / 3 ) 2 + ( -1 / 3 ) 2 ]= 2; 2 m c < s < 2 m b R = R udsc = R uds + 3 × ( 2 / 3 ) 2 = / 3 ; 2 m b < s < 2 m t R = R udscb = R udsc + 3 × ( -1 / 3 ) 2 = / 3 ; 2 m t < s < R = R udscbt = R udscb + 3 × ( 2 / 3 ) 2 = 5 [no, v. ]; la realtà è più complicata : effetti di spazio delle fasi (lo scalino a s 2 m q è arrotondato); produzione di risonanze q qbar, con BR in adroni e + - che modificano R; a s m Z [e s 2m W ], nuovi stati intermedi che producono adroni/ + - nello stato finale R cambia significato [NB m Z < 2m t ].

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-16 R = R( s) notare : risonanze a 1-2 GeV; salto a 2m c (J/ ); salto a 2m b ( ); aumento lento a s > 45 GeV (Z); grande numero di rivelatori, acceleratori, …

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-17 formazione di stati c cbar J P =1 - (la stessa del fotone) notare la forma asimmetrica delle risonanze; sezione durto ( s) : SLAC 1975 e+e+ e-e- J/ c

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-18 la regola di Zweig (OZI) - 1 stati Q Qbar (Q = quark pesante); esempi : (s sbar), J/ (c cbar), Y (b bbar), …; decadono (se cinematicamente possibile) in mesoni Q q (ex. K Kbar); J/ D Dbar è cinematicamente vietato J/ è stretta; perché ??? risposta [v. diagramma inferiore] : 1 g vietato [gluone è colorato]; 2 g vietato da C-parità [ C 2g =+1; C J/ = C = -1]; 3 g permesso; Q Qbar Q

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-19 la regola di Zweig (OZI) - 2 il caso precedente è riassunto dalla regola di Zweig, enunciata empiricamente in modo qualitativo prima dellavvento della QCD : nel decadimento di uno stato legato di quark pesanti, gli stati finali privi di tali quark (decadimenti con diagrammi sconnessi) hanno ampiezza soppressa (cfr. 3 KK 3 ); se questi ultimi sono gli unici decadimenti cinematicamente ammessi (ex. J/, Y ), lampiezza totale è piccola e lo stato legato è stretto. Q Qbar Q

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-20 esempio : la spettroscopia del charmonio J PC =0 – + 1 – – c1 (1P) c (2S) c (1S) (2S) J/ (1S) c0 (1P) c2 (1P) (3770) (4040) 2mD2mD DD hadr. radiat. PDG, pag 651 livelli approx da : V(r) - 4 / 3 s /r + kr; [Coulomb+conf.] + eq. di Schrödinger

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-21 adroni nello stato finale i quark (stati di colore non nullo) non esistono allo stato libero (confinamento); il processo di rivestimento dei quark dello stato finale (frammentazione) produce getti di adroni di colore nullo (jet); i jet possono quindi essere identificati con i partoni (quark) dello stato finale; complicazioni : per conservare il colore, i due jet dello stato finale si devono parlare (e.g. con scambio di gluoni); a rigore, non è possibile assegnare univocamente evento per evento gli adroni misurati dello stato finale ai partoni (in pratica, poche ambiguità); dal punto di vista sperimentale, la situazione è relativamente semplice : per s > qualche GeV (ex Spear, 1975), gli eventi e + e - adroni presentano nella grande maggioranza due jet collimati di particelle, opposti in e ; la direzione e limpulso dei partoni possono essere ricostruiti dalla somma vettoriale dei 4-momenti degli adroni (molte sottigliezze, ma la sostanza è semplice); si misura la funzione di frammentazione dei quark : ƒ(z), z=E adrone / E quark. e+e+ q e-e- [ Z ] q – jet

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-22 eventi a tre jet talvolta, con probabilità s, uno dei due quark emette un gluone di bremsstrahlung, ad un angolo e con unenergia tale da produrre un jet distinto dai primi due eventi a tre jet; analogamente, 4-jet, 5-jet, …; di conseguenza : (2-jet) em 2 ; (3-jet) em 2 s ; … (3-jet) / (2-jet) s ; s può essre misurata dal rapporto 3-jet/2-jet [anche molti altri modi]; il valore elevato di s [O(10 -1 )] rende importanti gli ordini superiori delle interazioni forti; ciò vale tanto per i multi-jet, quanto per i gluoni emessi e riassorbiti nello stato finale (ex. :, + ordini superiori …). e+e+ q e-e- [ Z ] q – jet g [per una discussione del quark-parton model, vedi oltre]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-23 Le interazioni e + e - a s = m Z

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-24 le interazioni e + e - a s = m Z le interazioni del modello elettrodebole ( ) ; le costanti di accoppiamento; i processi e + e – Z ƒƒbar; la sezione durto Born (e + e – ƒƒbar); la sezione durto d Born (e + e – ƒƒbar) / d ; la asimmetria avanti-indietro; lo scattering di Bhabha e + e – e + e – ; le correzioni radiative : la radiazione di stato iniziale (ISR); gli ordini superiori - masse di W e Z. ____________________________________ ( ) questa non è una presentazione formale del MS, ma solo un breve richiamo di alcuni argomenti, talvolta trascurati nei corsi universitari.

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-25 le interazioni elettrodeboli a s = m Z notare (formule dettagliate oltre) : a bassa energia, solo QED (scambio di ); per s m Z : risonante (e + e - ƒƒbar) ƒ / [ (s-m Z 2 ) 2 + m Z 2 Z 2 ]; per ogni coppia di fermioni di stato finale, esistono due (o quattro nel caso e + e - ) diagrammi + le interferenze (stati finali indistinguibili); a più alta energia, nuovi fenomeni (scambi di W ±, coppie di IVB nello stato finale, …). e+e+ e-e- Z e+e+ e-e- risuona per s = m Z dominante a s << m Z dominante a 0° e+e+ e-e- Z, e+e+ e-e-

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-26 le interazioni del modello elettrodebole [un breve riassunto] ƒ Z ƒ ƒ ( ) ƒ ƒ W±W± ƒ fotone (elettromagnetismo) [vettoriale] IVB neutro (Z) (corrente neutra) [combinazione V + A] IVB carico (W ± ) (corrente carica) [ V - A ]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-27 costanti di accoppiamento g[costante di accoppiamento SU(2); g[costante di accoppiamento U(1); tan W g / g [angolo di Weinberg]; e g sin W [carica elettrica del positrone]; g ƒ V = t ƒ 3L – 2 Q ƒ sin 2 W [accoppiamento vettoriale delle nc]; g ƒ A = t ƒ 3L [accoppiamento assiale delle nc]; m W 2 e 2 / (4 2 G F sin 2 W )[massa del W ± ]; m Z = m W / cos W [massa dello Z]. [un breve riassunto] ½–1 e – – – +½+½+½+½0 e -½ +½+½ t ƒ 3L = g ƒ A gƒVgƒV - QƒQƒ u c t d s b ƒ per sin 2 W =.231. g ƒ V,A : cambio di notazione tra PDG § 10.1 e PDG § 35.2 [qui = § 35.2]. ricordare : g e V 0

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-28 Born (e + e – ƒƒbar) allordine più basso, per ƒ ± e ± : c ƒ = 1 (leptoni), 3 (quark); J ƒ = termine di interferenza Z ( complicato, ma calcolabile, vedi bibliografia ); a s = m Z interferenza = 0, trascurabile [un breve riassunto] Z - canale s - canale s interferenza Z

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-29 Born (e + e – ƒƒbar) - grafici [un breve riassunto] Z/Z e / sono positivi definiti, /Z è in modulo ( 0 per s>m Z ).

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-30 Z ƒƒbar calcoliamo qualche ampiezza di decadimento dello Z allordine più basso : le altre ampiezze si calcolano facilmente [NON sono i valori giusti, solo prime stime !!!] : Z Born = 2423 MeV, adroni Born = 1675 MeV, invisibile Born = Born = 498 MeV; R adroni Born = 69.1 %, R invisibile Born = 20.5 %, R adroni Born / R visibile Born = 87.0 %. [un breve riassunto] [1] 1.99 ƒ / ƒ (MeV) ½+½ gƒVgƒV 3.4 -½–1 e – – – 6.8 +½+½0 e -½ +½+½ t ƒ 3L = g ƒ A R ƒ (%) - QƒQƒ u c [t] d s b ƒ

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-31 d Born (e + e – ƒƒbar) / d un aspetto piuttosto complicato, anche mediando su polarizzazione (no ) : la parte anti-simmetrica ( cos ) non contribuisce a tot ( …dcos = 0), ma solo allasimmetria avanti-indietro; al polo ( s=m Z ) : 1 =0| | lasimmetria è piccola. il termine in cos è prop. a g e V ( 0)| [un breve riassunto]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-32 asimmetria avanti-indietro definizione : (cos >0) – (cos <0) A ƒ FB = ; (cos >0) + (cos <0) al polo ( s=m Z ), per il solo diagramma con scambio di Z : con e ± di stato iniziale polarizzati, misurare anche A ƒ pol (SLD). [un breve riassunto]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-33 Born (e + e – e + e – ) lo scattering di Bhabha è più complicato; 4 diagrammi di Feynman 10 termini [vedi bibliografia] : Z nel canale s; nel canale s; Z nel canale t; nel canale t; 6 interferenze; qualitativamente : per 0°, predomina t a tutti i valori di s; per s > 0°, s e t sono entrambi importanti; per s m Z e >> 0°, predomina Z s. [un breve riassunto] e+e+ e+e+ e-e- e-e- / Z e+e+ e+e+ e-e- e-e-

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-34 Born (e + e – e + e – ) : grafici s, t, interferenza in funzione di s, tagliando nella zona angolare centrale, per ridurre t ; dati a 0° necessari per misura di luminosità. [un breve riassunto]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-35 correzioni radiative cosa sono ? più corpi nello stato finale (ISR, FSR, …); loop interni dei propagatori; iterazioni successive [ordini ancora superiori]; da cosa dipendono ? tutti i parametri del MS + QCD; convenzionalmente, distinguere QED, weak, QCD; anche particelle che non possono essere create a questi valori di s per motivi cinematici (ex. top, Higgs); sono calcolabili ? in linea di principio, sì, se si conoscono i parametri in gioco; in pratica, approssimazioni successive (ordine n); sono una sciagura ? no, poiché rendono gli osservabili di bassa energia dipendenti da parametri inaccessibili direttamente misure a s superiore; sono un test accurato e potente della teoria; [molto lavoro, tesi, articoli, …]. [un breve riassunto]

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-36 correzioni radiative - grafici ISRFSR loop corr. stato finale ordini successivi top quark box corr. stato iniziale + molti altri... top quark

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-37 radiazione di stato iniziale (ISR) cinematica : emissione di un di stato iniziale (QED) di energia E; per lo Z resta unenergia 2 s sz : e + e - ( s,0,0,0); (E,E cos,E sin,0); s= sz = ( s-E) 2 - E 2 = s(1-2E/ s); Z( s-E,-E cos,-E sin,0); z= s/s = (1 - 2E/ s); dinamica : si assume che i due processi (ISR + formazione dello Z) fattorizzino; pertanto, il processo di formazione dello Z è lo stesso che si avrebbe senza ISR allenergia s : R(z,s) = radiatore : probabilità (funzione di s, z) di emettere il ; R calcolabile (allordine voluto); se s >> m Z, ritorno allo Z (fenomeno simile, vedi LEP II).

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-38 ISR : risultati [molti calcoli laboriosi, qui risultati non esatti, solo per comprensione) : s| Born max m Z (1 + 2 ) ¼ m Z (1+¼ 2 ) m Z + 17 MeV; s| ISR max m Z (1 – ¼ 2 ) + ¼ Z [n(m Z 2 / m e 2 ) – 1] m Z + 89 MeV; 0 ƒ Born (e + e - ƒƒbar; s=m Z ) = 12 e ƒ / (m Z 2 Z 2 ); (e + e - ƒƒbar) | Born max 0 ƒ (1 + ¼ 2 ) 0 ƒ ( ); (e + e - ƒƒbar) | ISR max 0 ƒ (1 + sup ) ƒ ; metodo simile per Z : correggere Z s-dipendente : Z s Z / M Z 2 ; calcoli lunghi (v. bibliografia); _______________________ = Z / m Z ; = 2 / [n (m Z 2 / m e 2 ) – 1]; sup = [effetti di soffici e virtuali, calcolabile].

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-39 ISR : grafici notare lasimmetria; diminuzione a s < m Z ; aumento a s > m Z ; i tagli in s/s diminuiscono lentità della ISR (importanti soprattutto a LEP II); gli effetti dei tagli in s/s sono calcolabili con metodi analoghi a quelli esposti.

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-40 ordini superiori - masse di W e Z [un esempio : ruolo delle correzioni radiative nelle masse misurate di W ± e Z] allordine più basso, (carica dellelettrone) + G F ( + m ) + W [mixing SU(2) U(1), e.g. da DIS] definiscono le masse di W e Z, m W e m Z : le correzioni radiative modificano le semplici relazioni precedenti; definiamo i parametri r (parametro delle correzioni radiative), (corr. di QED), r w (corr. deboli) :

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-41 ordini superiori - 2 è riassorbito in (s), running coupling costant : = ( (s) - (s=0) ) / (s) ; dalle correzioni di QED, si trova 0.07 (m² z ) [128.89±0.09] -1 ; [errore da ( e + e - hadr.) a s << m Z ] leq. precedente diventa : possiamo sviluppare r w nelle componenti calcolabili e in quelle che dipendono dalle masse del top ( m t 2 ) e dellHiggs ( n [m H 2 /m W 2 ]) :

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-42 ordini superiori - 3 numericamente : [notare il segno opposto per i due termini] le misure di m W, m Z, m t + i calcoli degli ordini superiori del MS consentono di misurare m H á la Hollik [ animazione] ; in pratica, molti osservabili correzioni a ciascuno di essi fit globale (v.oltre). r W da m W + m Z (Fermilab+LEP) misura diretta di m t (Fermilab) r W mtmt mHmH calcolo di r W vs m t per più valori di m H. la figura serve solo a spiegare il metodo. Animazione mHmH

Paolo Bagnaia - La fisica e+e-43 Fine - interazioni e + e - Bibliografia : PDG, § , pag 95; PDG, pag. 256; CERN 89-08, vol. 1; M.W.Grünewald, Phys. Rep. 322, 125 (1999);