Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali

Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici) ES-1 SERIE TEMPORALI Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici) Introduzione della variabile t Analisi nel dominio del tempo Analisi nel dominio della frequenza

Serie temporali e computer ES-2 Serie temporali e computer I segnali del mondo reale possono essere modellati come funzioni reali x(•) di una variabile reale t (segnali analogici). Necessità di segnali campionati A/D converter segnale nT x(T) x(NT) sequenza T T = periodo di campionamento {x(nT)} = sequenza Teorema di Nyquist

Dal segnale discreto al vettore ES-3 Dal segnale discreto al vettore Hp: x(t) ad energia finita  {x(nT)} di lunghezza finita NT Proiezione lungo l’asse Fi F0 F1 FN-1 {x(n)} = x x(n) x(n-1) x(n-N+1) Punto dello spazio N-D Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore in uno spazio N-dimensionale

d  basi per rappresentare i segnali discreti nel dominio del tempo L’operatore ritardo delta di Dirac d  basi per rappresentare i segnali discreti nel dominio del tempo Z-1 x(n) x(n-1) x(n-N+1) linea di ritardo Z-1 x(n) x(n-1) operatore ritardo

Spazio di ricostruzione Lo spazio del segnale ES-5 Z-1 input z asse x x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n) x(n) Traiettoria del Segnale asse y x(n-4) x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n-3) y x(n-1) x(n-2) asse z x x(n-5) x(n-4) x(n-3) x(n-2) Spazio di ricostruzione o Spazio del segnale linea di ritardo x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n) La “traiettoria” dipende dalle proprietà della serie temporale e può permettere ad un sistema connesso all’output della linea di ritardo di estrarre il modello della serie. Un enorme numero di campioni  enorme dimensione dello spazio Sottospazio del segnale

Il sottospazio del segnale ES-6 Segnale periodico (K campioni) Spazio K’- dimensionale (K’ K ) K’ dipende dalla complessità della traiettoria t x x1 basta 1-D K’ = 1 x1 x2 x bastano 2-D K’ = 2 (2 << K ) Mappaggio uno a uno tra traiettoria e serie temporale 20 40 60 80 100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Potrebbe servire K-D K’=K ? I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1

Finestra temporale “sliding” Trovare la dimensione K’ dello spazio di ricostruzione che quantifichi appropriatamente le proprietà del segnale x(T) x(NT) 1 2 K’ Finestra temporale “sliding”

IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE) ES-8 IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE) S z-1 y(n) x(n) x(n-1) x(n-N) w0 w1 w2 pesi Linea di ritardo N å ( ) ( ) ( ) ( ) y n = w x n - i = w T x n = x T n w i i = ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] x n = x n x n - 1 K x n -N [ ] w = w w K w 1 N FIR  FINITE IMPULSE RESPONSE (risposta impulsiva finita) y(n) ha l’espressione vista nelle reti Hebbiane

y è la proiezione di x sul vettore peso w  x(n-N) x(n-1) y è la proiezione di x sul vettore peso w  Il C.L. è un proiettore lineare dell’input nello spazio del segnale, secondo la direzione dei pesi La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo l’informazione contenuta nell’input x(n) Idea base del filtraggio

ES-10 Esempi di filtraggio

ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO ES-11 ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO (SISTEMI LINEARI) La risposta impulsiva Risposta impulsiva [h(n)] Descrive completamente un sistema lineare per il combinatore lineare + z-1 w0 w1 w2 d (n) h(0) h(1) h(2) h3 w0 w1 w2 h(i) = wi La h(n) di un C.L. ha lunghezza finita  FIR

y(n) risposta ad un generico input x(n) ES-12 La convoluzione y(n) risposta ad un generico input x(n) convoluzione sistema causale Per il combinatore lineare M + N campioni (notare la pesantezza del calcolo)

Sistemi ricorrenti e stabilità IL FILTRO IIR Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni ricorrenti o feedback + y(n) z-1 1-m y(n-1) x(n) input output Coefficiente di feedback Esempio:  Eq.ne alle differenze La h(n) ha estensione infinita IIR  Infinite Impulse Response (risposta impulsiva infinita)

Analisi della stabilità ES-14 Analisi della stabilità 1 h(n) m decrescente n 0 < m < 1 stabile 1 h(n) n m = 0 marginalmente stabile 1 h(n) n < 0 instabile Obiettivo dell’elaborazione dei segnali: avere un sistema che risponda all’input  a risposta impulsiva di durata finita Importanza del coefficiente di feedback

ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA ES-15 ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA Descrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO x(t)  {x(n)} Tf = N Tc n = 0, … , N-1 Intervallo di campionamento Numero di campioni t n = 0 Tc n=N-1 x(n) generico campione n = 0, … , N-1 segnale campionato

La trasformata di Fourier ES-16 La trasformata di Fourier Trasformata di Fourier del segnale fc fc/2 X( f ) x(t) t Tc (N-1)Tc N numeri Spettro continuo Tf = N Tc

La trasformata di Fourier discreta (DFT) ES-17 La trasformata di Fourier discreta (DFT) DFT IDFT Tf = NTc X (k) t N-1 Tc ff fc/2 k N CAMPIONI Spettro di N righe

Dominio della frequenza Dominio del tempo X(k)  C ES-18 d(n - N +1) x(N -1) X(N -1) d(n - 1) x(1) X(1) x(0) X(0) d(n) Dominio della frequenza Dominio del tempo X(k)  C X(k) = k - esimo coeff. di Fourier {X(k)} = trasformata di Fourier discreta DFT o spettro {|X(k)|} = spettro delle ampiezze {/ X(k)} = spettro delle fasi x(k)  R

ES-19 La Z-trasformata z  C z-1 operatore ritardo Combinatore lineare

La funzione di trasferimento ES-20 La funzione di trasferimento Funzione di trasferimento Z-trasformata della risposta impulsiva (polinomio algebrico) Convoluzione in t Moltiplicazione in z

La risposta in frequenza ES-21 La risposta in frequenza H(e jwt) = H’(w) risposta in frequenza H’(w) è H(z) calcolata nel cerchio unitario |e jw T| Im(z) w z z =1 z =j z =-1 z =-j Re(z) H’(w) è periodica in w con 2p/T (come e jwT) -1

DFT della risposta impulsiva ES-22 DFT della risposta impulsiva Proprietà: Risposta a regime Calcolo veloce (FFT) H’(w)  C |H’(w)| / H’(w)

Poli e zeri della risposta in frequenza ES-23 Poli e zeri della risposta in frequenza zeri: z = 0 poli: z = 1-m Osservazioni qualitative: polo zero Stabilità 0<m<1 Polo nel cerchio unitario

Rumore ad alta frequenza Segnale filtrato ES-24 Filtri lineari x(1) x(N) y(1) y(N) H(k) kcut Tc Segnale + Rumore ad alta frequenza Segnale filtrato Tf = N Tc k 1 N |Y(k)| 1 N kcut |H(k)| k rumore |X(k)| PASSA – BASSO

Procedure di ottimizzazione ES-25 fc f |H’(w)| fc f |H’(w)| fc f |H’(w)| Passa - basso Passa - banda Passa - alto Per la scelta dei wi : Procedura di sintesi Procedure di ottimizzazione