SPECIFICA DELLE MAPPE FINITE Gianna Reggio

Applicazione/esempio grande Madre di tutti gli esercizi/esempi –la più usata specifica nelle applicazioni vere –dare la specifica della struttura dati mappe finite, per semplicità da stringhe di caratteri in naturali –si richiedono operazioni per rappresentare tutti i dati (caratteri, stringhe, naturali, mappe) costruttori –operazioni sulle mappe: mappa vuota (nessuna associazione) aggiungere/eliminare/modificare una associazione trovare il numero associato ad una stringa dominio/codominio di una mappa controllare se una mappa è vuota/è iniettiva

Come procedere scomporre modularmente il compito in –specificare i naturali –specificare le stringhe di caratteri –specificare la mappe basiche (cioè solo i costruttori e loperazione per ritrovare il numero associato ad una stringa) operazioni necessarie per costruire i termini per rappresentare tutti i valori di interesse –specificare una ad una le ulteriori operazioni e predicati

Linguaggio di specifica Utilizzeremo un semplicissimo linguaggio di specifica per presentare le varie specifiche Esercizio 24.5: individuare I vari costrutti di tale linguaggio, mano a mano che li utilizzeremo, precisandone sintassi e semantica.

Naturali spec NAT = Sorts nat Opns 0:nat succ: nat -> nat Axioms Def(0) Def(succ(x)) Consideriamo solo i modelli term-generated di NAT specG NATg = generated { NAT } Esercizio 25: aggiungere a NAT le 5 operazioni (somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione intera e resto della divisione intera). Esercizio 26: aggiungere il predicato.

Aggiunta di < spec NAT1 = extend NAT Preds _<_: nat x nat Axioms x < succ(x) x < y x < succ(y) Esercizio 27: –0 < succ(x) è valida in NAT1 ? –0 < succ(x) è valida in generated { NAT1 } ?

Stringhe di caratteri spec STRING = Sorts char, string Opns : string -- stringa vuota _:_ :char x string -> string -- aggiunta elemento in testa A,…,Z: char -- le 26 lettere -- permettono di rappresentare tutte le stringhe Axioms -- tutte le operazioni sono totali Def( ) Def(c:s) Def(A) … Def(Z)

Esercizi Esercizio 28: Si consideri spec STRING1 = extend STRING Axioms c = A … Z s = ( c:char. s:string. s = c:s) è vero che i modelli di STRING1 e quelli di generated {STRING} sono gli stessi ? Soluzione. No, infatti lalgebra DOPPIA definita come segue char DOPPIA = { A, …., Z } string DOPPIA = { *, + } A DOPPIA = A... B DOPPIA = B DOPPIA = * DOPPIA (c,s) = s è un modello di STRING1 ma non è term-generated. Verificare per esercizio quanto affermato sopra.

Esercizi Esercizio 29: Ogni modello di generated {STRING} rappresenta ottimamente la struttura dati delle stringhe ? Soluzione. No, infatti unalgebra banale (cioè dove ogni carrier contiene esattamente un singolo elemento, e dove le operazioni sono totali e definite nel modo ovvio) è un modello di tale specifica, e non rappresenta per niente le stringhe.

Stringhe di caratteri 2 spec STRING2 = extend STRING Axioms AB … AZ … WZ c:s c 1 c 2 s 1 s 2 c 1 :s 1 c 2 :s 2 Esercizio 30: Ogni modello di generated {STRING2} rappresenta ottimamente la struttura dati delle stringhe ?

Mappe basiche (1) spec MAP = extend NAT, STRING2 Sorts map Opns []: map -- mappa che non contiene alcuna associazione _[_/_]: map x nat x string -> map -- aggiunta associazione o modifica associazione __[_]:map x string -> nat -- ritorna il naturale associato ad una stringa -- se esiste Axioms -- tutte le operazioni sono totali Def([]) Def(m[n/s]) [] m[n/s] (m 1 m 2 n 1 n 2 s 1 s 2 ) m 1 [n 1 /s 1 ] m 2 [n 2 /s 2 ] è accettabile ??? NO!

Mappe basiche (2) è possibile dare assiomi che richiedano tutte le possibili identificazioni sugli elementi rappresentati da [] e _[_/_] Esercizio 31: Dare tali assiomi. oppure è possibile definire prima loperazione _[_] e poi richiedere che due mappe sono uguali ses associano gli stessi naturali alle stesse stringhe

Mappe basiche (3) -- continuazione degli assiomi di MAP -- definizione di _[_] Def([][s]) m[n/s][s] = n s s m[n/s][s] = m[s] -- identificazioni sulle mappe ( s:string. m[s] = m[s]) m = m

Operazione xxxx sulle mappe