Ingranaggi cilindrici Ruote dentate Sono tra i più importanti organi delle macchine. Caratteristiche della loro diffusione: costanza del rapporto di trasmissione, facilità di costruzione e di montaggio. Permettono di trasmettere il moto tra assi paralleli, concorrenti o sghembi. Una coppia di ruote ingranate costituiscono un ingranaggio. Ingranaggi cilindrici a denti dritti, esterne a denti elicoidali La trasmissione di potenza avviene per effetto della spinta tra i denti. Le caratteristiche fondamentali sono di seguito elencate: elevate potenze; assenza di scorrimento tra le ruote, come potrebbe accadere per le ruote di frizione: ne deriva un rapporto di trasmissione (medio) costante dipendente dal numero di denti delle ruote ingrananti; una coppia di ruote ingrananti si chiama ingranaggio; le due ruote sono dette anche ruota e rocchetto o pignone; una combinazione di ingranaggi è detta rotismo e può essere riduttore o moltiplicatore; per un assegnato ingranaggio, possiamo pensare associato a esso una coppia di superfici alla quale corrisponde la stessa legge di trasmissione del moto → superfici primitive di funzionamento; per una ruota dentata presa isolatamente si considera come primitiva la superficie rispetto a cui si dimensiona la dentatura → superficie primitiva di riferimento; le ruote dentate con superficie primitiva di riferimento cilindrica sono dette cilindriche; una coppia di ruote cilindriche a denti dritti consentono la trasmissione del moto tra assi paralleli, mentre quelle a denti elicoidali possono essere progettate per la trasmissione del moto sia tra assi paralleli sia sghembi; a denti dritti, interne

Ingranaggi ad assi sghembi o concorrenti 2 Ingranaggi ad assi sghembi o concorrenti ruote con assi sghembi ruote coniche una ruota avente una superficie primitiva di riferimento conica è detta conica ed è impiegata per la trasmissione del moto tra assi concorrenti; le superfici primitive di funzionamento sono coniche; una ruota con una superficie primitiva di riferimento conica o approssimativamente conica che consente la trasmissione del moto tra assi sghembi è detta ipoide. Le superfici primitive di funzionamento sono iperboloidi iperbolici; di solito i denti delle ruote sono in parte sporgenti e in parte rientranti rispetto alla superficie primitiva di riferimento → per limitare lo strisciamento tra i denti. ruota elicoidale – vite senza fine

Ingranaggi cilindrici Il loro nome deriva dalla forma delle primitive. Gli assi dei denti possono essere paralleli all’asse della ruota ® denti dritti Formare un’elica intorno all’asse della ruota ® denti elicoidali Gli ingranaggi cilindrici sono costituiti da una coppie di ruote cilindriche con assi paralleli → le superficie primitive di funzionamento sono cilindriche a sezione circolare. Possono essere a denti dritti o elicoidali. In entrambi i casi il moto relativo è piano e il piano del moto è ortogonale agli assi → lo studio può essere ridotto a quello del profilo dei denti nel piano direttore. a denti elicoidali garantiscono una trasmissione del moto graduale e regolare. Rapporto di trasmissione 1/3÷1/10, tipico 1/5÷1/6 .

Rapporto di trasmissione 2 Passi angolari: Nell’intervallo Dt: Sono presentate le viste frontali di ingranaggi cilindrici (a denti dritti o elicoidali) con ruote esterne e interne. Nel caso di ruote esterne il verso di rotazione è opposto, è concorde invece per le ruote interne. La ruota più piccola è detta anche pignone. Con z1 , r1 , z2 e r2 si indicano il numero dei denti e il raggio delle ruote. Avvenendo il contatto tra coppie di denti, rotazioni pari ai passi angolari sono compiute nello stesso tempo. Se il rapporto di trasmissione è minore di 1 si ha un ingranaggio riduttore, nel caso contrario un moltiplicatore. Rapporto di trasmissione:

Raggi delle primitive 3 I raggi primitivi sono funzione della geometria costruttiva, ma anche dell’interasse di montaggio a Dall’analogia tra le ruote di frizione di raggi r1 e r2 e le circonferenze primitive: Il comportamento cinematico delle ruote dentate è equivalente a quello di due ruote di frizione ideali di raggi r1 e r2 che si mantengono in condizioni di aderenza nell’impronta di contatto, cioè che realizzano un contatto di puro rotolamento. Le circonferenze di raggi r1 e r2 sono le primitive di funzionamento. Quindi, in analogia con le ruote di frizione, il rapporto di trasmissione è definito anche da r1 /r2 . Il rapporto di trasmissione è univocamente determinato dal numero di denti (τ=z1 /z2 ) , se conosciamo l’interasse a si possono determinare i raggi primitivi.

Per il corretto funzionamento: Passo 4 L’arco di primitiva tra due denti successivi è il passo della dentatura Per il corretto funzionamento:

Profilo dei denti 5 Se sulla ruota 1 si applica una coppia M1 imprimendo una rotazione con velocità w1 , la ruota 2 si muove con velocità w2 trasmettendo una coppia M2 I profili dei denti si ottengono dall’intersezione dei fianchi dei denti con il piano perpendicolare all’asse di rotazione. Lo scopo principale che si persegue nella definizione e costruzione dei profili dei denti è quello di realizzare una trasmissione del moto senza distacchi o rischi di compenetrazione tra i denti. Inoltre è richiesto che il rapporto di trasmissione τ e il rapporto tra momento motore e momento trasmesso si mantengano costanti al variare del punto di contatto dei profili. Per ottenere queste qualità i profili dei denti della coppia di ruote che vengono a contatto devono essere coniugati. Considerato che il moto relativo tra le ruote può essere espresso come rotolamento tra le primitive, i profili devono essere coniugati nel rotolamento tra le primitive. Considerato che due profili sono coniugati se la normale comune nel punto di contatto passa per il centro di istantanea rotazione del moto relativo, la normale comune deve passare per il punto di tangenza delle primitive. Il contatto si realizza sulla superfici laterali dei denti. La forma del profilo dei denti caratterizza il rapporto di trasmissione t istantaneo le forze scambiate e il legame con le coppie agenti

Denti rettangolari: forze scambiate 6 Un dente della ruota 1 preme su un un dente della ruota 2. La retta di azione o di pressione è la retta normale alle superfici di contatto. Per spiegare quanto la superficie di contatto sia importante per la trasmissione del moto, mostriamo perché i profili non possono essere rettangolari, cioè con fianchi rettilinei e paralleli. Consideriamo il caso in cui solo una coppia di denti alla volta è in presa. Per tale ingranaggio determiniamo le forze scambiate. La forma delle superfici dei denti in corrispondenza dell’impronta di contatto, determina la retta d’azione e quindi le rispettive distanze di questa dai centri delle ruote O1 e O2. Il rapporto tra le coppie è pari al rapporto tra le distanze di O1 e O2 dalla retta d’azione.

Denti rettangolari: rapporto di trasmissione istantaneo 7 Per un contatto regolare le componenti delle velocità normali alla superfici di contatto devono essere uguali. I denti non devono né staccarsi né compenetrarsi: la componente normale VN deve essere uguale sia per V1 sia per V2. Nella trasmissioni con ruote dentate si vuole ottenere un rapporto di coppia e di trasmissione costanti, non ottenibile con questi profili. A tal fine è necessario adottare profili dei denti che mantengano costante durante il movimento la distanza della retta d’azione dai centri O1 e O2. Il rapporto di trasmissione è pari al rapporto tra le distanze di O1 e O2 dalla retta d’azione.

Profilo a evolvente di cerchio 8 Nelle trasmissioni con ruote dentate si esige che imposta la coppia M1 e la velocità w1 uniformi, la coppia M2 e la velocità w2 siano uniformi. I profili a evolvente, avendo retta di azione con distanza invariante da O1 e O2 , soddisfa questo requisito. Ogni evolvente termina sulla circonferenza base (punto A). Ogni circonferenza base può generare solo evolventi uguali, le quali sono solo ruotate una rispetto all’altra. In maniera duale, data un’evolvente, esiste un’unica circonferenza base. Ogni normale all’evolvente è tangente alla circonferenza base; il centro di curvatura è il punto Pi di tangenza della retta rotolante r con la circonferenza base. L’evolvente è generata da un punto di una retta (evoluta o retta generatrice) che rotola senza strisciare su una circonferenza (circonferenza base o circonferenza fondamentale). La retta generatrice è sempre tangente alla circonferenza di base e normale all’evolvente.

Funzione dell’ evolvente di cerchio 9 In coordinate polari Equazione dell’evolvente in coordinate polari.

10 Retta d’azione Il punto P di contatto rimane sulla retta r, tangente a entrambi le circonferenze di base. r è la retta d’azione che quindi rimane invariata. Per un corretto funzionamento è necessario che il contatto rimanga all’interno del segmento (luogo dei contatti), dove le evolventi hanno la stessa normale. Due evolventi sono profili coniugati, in una trasmissione caratterizzata da un rapporto di trasmissione costante che dipende dal rapporto tra i raggi delle circonferenze base. Se due evolventi si toccano in un punto P, hanno in comune la normale r. La normale r deve essere simultaneamente tangente a entrambe le circonferenze base. Quando i profili ruotano intorno i rispettivi centri O1 e O2 rimanendo a contatto, i successivi punti di contatto mantengono le caratteristiche di tangenza descritte se il contatto avviene all’interno del segmento H1H2.

Velocità di strisciamento 11 Velocità di strisciamento I profili dei denti sono profili coniugati (hanno tangente e normale comune). Per un corretto funzionamento le velocità e devono avere la stessa componente normale . velocità di strisciamento La velocità relativa è data dalla differenza dei vettori V2 e V1. Il componente normale della velocità relativa, il vettore VN, è diretto lungo la normale comune r ai profili coniugati nel punto di contatto. Il componente tangenziale della velocità relativa, il vettore VS , è tangente ai profili nel punto di contatto ed è quindi normale a r. La retta congiungete un qualsiasi punto con il centro di istantanea rotazione è normale alla velocità del punto. Il centro di istantanea rotazione del moto relativo si trova quindi lungo la retta per P normale a VS , cioè lungo r. Il centro di istantanea rotazione del moto relativo si trova lungo la retta per P normale a , cioè lungo r .

Centro di istantanea rotazione del moto relativo 12 Quando il contatto avviene in C , le velocità del punto di contatto dei due denti sono uguali e la velocità è nulla. Quindi C è il centro di istantanea rotazione. a angolo di pressione Inoltre, C è il punto di contatto tra le primitive poiché: Quando il contatto avviene in C, cioè lungo la congiungente i centri di rotazione O1O2, i vettori V1 e V2 hanno la stessa direzione. Come detto, devono avere anche la stessa componente normale VN, cioè V1 = V2. Quindi tra i raggi primitivi e i raggi di base esiste la relazione:

Variazione di interasse 13 Il rapporto di trasmissione istantaneo non varia (quello medio dipende dal numero di denti), ma variano i raggi primitivi e l’angolo di pressione a. Quindi il rapporto di trasmissione istantaneo è costante e uguale a quello medio, dato dal rapporto tra i denti z1/z2.

14 Rocchetto - Dentiera Il rapporto di trasmissione può avere valore infinito. La dentiera può essere pensata come ruota dentata limite, con la circonferenza di base che degenera in una retta. Il profilo a evolvente diventa un segmento rettilineo inclinato di a rispetto alla normale alla retta di base. Una dentiera può ingranare con qualsiasi ruota dentata con denti a evolvente con il suo stesso passo. La stessa dentiera utensile può essere usata per costruire tutte le ruote dentate con lo stesso passo.

Ruote cilindriche a denti dritti 15 Considerando lo sviluppo assiale delle ruote: alla circonferenza di base corrisponde il cilindro di base alla retta generatrice corrisponde il piano generatore la superficie del dente è generata da una retta parallela all’asse della ruota e giacente sul piano generatore le superfici dei denti si toccano lungo la linea caratteristica durante il movimento la linea caratteristica genera il piano di azione che coincide con il piano generatore

Ruote cilindriche a denti dritti: forze scambiate 16 Le forze scambiate, trascurando l’attrito, giacciono sul piano di azione. La risultante , pensata in mezzeria, ha la direzione della retta d’azione F è la forza che si scambiano i denti. Fr è il componente radiale della forza scambiata. Ft è il componente tangenziale della forza scambiata ed è il solo componente utile per la trasmissione della coppia. Una parte della potenza trasmessa viene dissipata in calore a causa dell’attrito. Indice di questa dissipazione è il rendimento η. Quando le potenze trasmesse sono molto elevate, come ad esempio nei riduttori di velocità delle grandi navi, lo smaltimento di questo calore richiede particolare attenzione.

Ruote cilindriche a denti elicoidali 17 Permettono di realizzare ingranaggi con funzionamento regolare e silenzioso. La superficie del dente è generata da una retta giacente sul piano generatore, ma in questo caso inclinata di un angolo bb con la direzione dell’asse della ruota. L’intersezione tra la superficie del dente con un piano normale (piano frontale) all’asse del cilindro è un’evolvente. L’intersezione tra le superfici dei denti con cilindri coassiali genera curve elicoidali con passo pe e angoli di inclinazione b con l’asse della ruota crescenti con il raggio.

Ruote cilindriche a denti elicoidali: forze scambiate 18 Le forze scambiate, trascurando l’attrito, sono normali alle superfici a contatto, e giacciono sul piano di azione. La risultante , pensata in mezzeria, ha la direzione della retta generatrice inclinata di bb rispetto all’asse della ruota F è la forza che si scambiano i denti. Fa è il componente assiale della forza scambiata. F0 è il componente normale al segmento di contatto tra piano generatore e cilindro primitivo della forza scambiata. Fr è il componente radiale della forza scambiata. Ft è il componente tangenziale della forza scambiata ed è il solo componente utile per la trasmissione della coppia.

Criteri costruttivi delle ruote dentate Modulo: Dimensionamento modulare: addendum = m dedendum = 1,25 m angolo di pressione a = 15°÷22° Si definisce una grandezza detta modulo perché non contiene il numero irrazionale π. Generalmente le ruote dentate hanno un dimensionamento modulare. Le dimensioni sono riferite alla circonferenza primitiva di riferimento. Tutte le ruote avente lo stesso modulo e lo stesso dimensionamento modulare possono ingranare tra di loro. I dimensionamenti modulari sono standardizzati. I denti sono ricavati intorno le circonferenze primitive di funzionamento per limitare gli strisciamenti. Se la circonferenza di troncatura interna ha raggio minore della circonferenza base, i denti sono profilati nel tratto in questione con un segmento radiale. Nella diapositiva è riportato un esempio.

Ingranaggi conici Il loro nome deriva dalla forma delle primitive di funzionamento. Sono usati per trasmettere il moto tra assi concorrenti. Le superfici primitive sono due coni di semiaperture d1 e d2 che rotolano senza strisciare lungo la tangente t. Per ogni punto A di t la velocità relativa è nulla, perciò V Vettore velocità relativa ® diretto lungo t (asse di rotazione del moto relativo) assi ortogonali Se gli assi tra i quali occorre trasmette il moto sono concorrenti nel punto V, le superfici primitive di funzionamento sono due coni aventi il vertice in comune in V.

Definizione dell’ingranaggio 2 Valore tipico: t = 1/5÷1/10 Dato il rapporto di trasmissione t e l’angolo tra gli assi concorrenti d, l’ingranaggio si definisce con le seguenti considerazioni. In funzione delle primitive: Tramite la velocità periferica di un qualsiasi punto A: Assegnato l’angolo δ tra gli assi e il rapporto di trasmissione τ, i coni primitivi risultano definiti dai valori δ1 e δ2 con δ = δ1 + δ2. Dal punto di vista geometrico, se il vettore della velocità relativa ωr è diretta secondo la tangente comune t, ω1 e ω2 devono avere la stessa componente ωi sin δi nella direzione normale a t .

Elementi geometrici 3 Coni primitivi ® semiapertura d1 e d2 Coni base ® semiapertura d b1 e d b2 Piano d’azione ® tangente ai coni base e contenente le forze scambiate Angolo di pressione a ® formato dal piano d’azione e il piano tangente ai coni primitivi (non rappresentato) Coni di troncatura interna ed esterna Le ruote sono costruite troncando i coni Il modulo m = D/z è definito in corrispondenza della base maggiore

Ingranaggi conici: forze scambiate 4 Tra i denti sono scambiate forze con componenti radiali, tangenziali e assiali. Ipotesi semplificative: una sola coppia di denti in presa la risultante giace nel piano d’azione forma un angolo a (angolo di pressione) con il piano tangente alle primitive è applicata in mezzeria del dente Coppia e componente tangenziale r raggio della primitiva in mezzeria Componenti assiale e radiale

Ruota elicoidale-vite senza fine Si usa per trasmettere il moto tra assi sghembi con direzioni ortogonali. Ruota elicoidale ® particolare ruota avente una specie di madrevite sulla periferia Vite senza fine ® caratterizzata dal numero di principi Rapporto di trasmissione ® usualmente elevato (anche inferiore a 1/100) numero dei principi della vite senza fine ® z1 numero dei denti della ruota elicoidale ® z2 t = w2 / w1 = z1 / z2 Rendimento ® basso

Rotismi Una combinazione di ingranaggi che costituisce una catena cinematica. Se gli assi di tutte le ruote sono paralleli ® rotismo piano di tutte le ruote sono incidenti ® rotismo sferico di tutte le ruote sono fissi ® rotismo ordinario semplice ® ogni albero una sola ruota composto ® gli alberi intermedi portano due ruote di alcune ruote intermedie sono dotati di moto rotatorio intorno agli assi delle ruote estreme ® rotismo epicicloidale

Rotismi ordinari semplici Su ogni albero vi è una sola ruota che ingrana contemporaneamente con la precedente e la seguente. Schematizzando le ruote con le rispettive primitive: Rapporto di trasmissione Campi di applicazione invertire il senso di rotazione trasmettere il moto a distanza motrice condotta ruote oziose Le ruote intermedie si chiamano oziose perché non partecipano alla determinazione del rapporto di trasmissione τ.

Rotismi ordinari composti Gli alberi intermedi portano due ruote, ciascuna delle quali ingrana solo con un’altra. Un esempio di rotismo a tre stadi: Rapporto di trasmissione totale Rapporti di trasmissione parziali

il rapporto di trasmissione totale risulta 2 essendo il rapporto di trasmissione totale risulta in generale dipende dai denti di tutte le ruote Le coppie di ruote 2-3 e 4-5 sono calettate sugli stessi alberi. È possibile ottenere rapporti di trasmissione piuttosto piccoli.

Rotismi epiclicoidali Un rotismo si dice epicicloidale quando gli assi delle ruote intermedie sono dotati di moto di rotazione intorno agli assi delle ruote estreme. Consideriamo per iniziare il rotismo epicicloidale più semplice, si ha:. le ruote A e B hanno assi fissi e coincidenti A ha dentatura esterna ® ruota solare B ha dentatura interna ® corona planetaria le ruote C hanno assi mobili ® ruote planetarie o satelliti il portatreno P ruota intorno all’asse comune di A e B B b p P A C a Se il portatreno fosse fisso il rotismo sarebbe ordinario. Il rotismo epicicloidale rappresentato si dice semplice perché rendendolo ordinario, cioè bloccando il portatreno, si ottiene un rotismo ordinario semplice.

Consideriamo le configurazioni P fisso ® rotismo ordinario 2 Si chiama così perché i punti delle primitive dei satelliti descrivono delle epicicloidi. Consideriamo le configurazioni P fisso ® rotismo ordinario A o B fissi ® rotismo epicicloidale riduttore Classificazione del rotismo P fisso e A e B mobili ® rotismo ordinario B fisso e P e A mobili ® rotismo epicicloidale riduttore o moltiplicatore A fisso e P e B mobili ® rotismo epicicloidale riduttore o moltiplicatore A , P e B mobili ® rotismo combinatore (differenziale) Gli assi delle ruote planetarie essendo mobili non possono essere impiegati per applicare o prelevare il moto ® l’uso come riduttore o moltiplicatore è limitato a una delle 2 configurazioni B fissa , P e A mobili A fissa , P e B mobili B b p P A C a

Rapporto di trasmissione: formula di Willis 3 Quando il portatreno P è fisso, il rotismo è ordinario semplice e, indicando con l’apice “o” le grandezze relative, si ha Il rapporto di trasmissione te del rotismo epicicloidale si calcola con la formula di Willis, tramite la quale “si rende ordinario il rotismo” imprimendo a tutto il meccanismo una velocità –wp. Per il rotismo così ottenuto si calcola il rapporto di trasmissione. Rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario, assumendo A come motrice B b p P A C a In questa trattazione il rapporto di trasmissione τo deve essere considerato con il segno.

l’uso come riduttore è limitato a una delle 2 configurazioni 4 l’uso come riduttore è limitato a una delle 2 configurazioni A fissa , P e B mobili ® wa = 0 B b p P A C ← con P motore e B condotta ← con B motore e P condotta B fissa , P e A mobili ® wb = 0 a A C p P B ← con P motore e A condotta ← con A motore e P condotta

Rotismo epicicloidale composto 5 Sinora si sono considerati rotismi epicicloidali semplici: in genere si usano rotismi epicicloidali composti La formula di Willis è comunque valida, come si può verificare ® si riferisce ai 3 assi fissi del rotismo utilizzabili come ingresso e uscita del rotismo le espressioni dei rapporti di trasmissione te e te’ sono identiche agli analoghi dei casi precedenti ® valido per qualsiasi rotismo epicicloidale quello che cambia è il valore di to ® in questo caso con to prossimo a 1 si ottengono rapporti di trasmissione molto piccoli per l’esempio in figura si calcola, riferendosi al rotismo composto ordinario equivalente (portatreno bloccato), Un rotismo epicicloidale si dice composto se rendendolo ordinario si ottiene un rotismo ordinario composto. La formula del Willis rimane invariata, ma l’espressione in funzione del numero dei denti dipende dal tipo di rotismo che si ottiene quando si blocca il portatreno. quello che cambia è il valore di to ® in questo caso con to prossimo a 1 si ottengono rapporti di trasmissione molto piccoli

Rotismi epicicloidali riduttori 6 i rotismi epicicloidali riduttori sono impiegati quando occorre avere rapporti di trasmissione te molto piccoli. Il limite dei rotismi epicicloidali sta nei satelliti ® le ruote con assi mobili limitano la potenza da trasmettere. Per qualsiasi rotismo epicicloidale si ha ← con P motore e B condotta con A fissa ← con B motore e P condotta Un rotismo ordinario composto per ottenere rapporti di trasmissione molto piccoli avrebbe bisogno di un numero elevato di ruote. ← con P motore e A condotta con B fissa ← con A motore e P condotta

Rotismi epicicloidali riduttori 7 Esempio: per il rotismo composto si può avere Za = 99, Zb = 100, Zc = 101, Zd = 100, risulta τo = 99/101 = 0.9802 e quindi τe = ωb/ ωp =0.0198 =1/50 ca. e τe’ = ωa/ ωp = -49.5 . Per τo = 1 i rapporti di trasmissione non sono definiti.