LE CIRCONFERENZE

CIRCONFERENZA E CERCHIO Dato un punto O e un segmento r si dice circonferenza di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano tali che OP=r. Dato un punto O e un segmento r si dice cerchio di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano tali che OP≤r.

ESISTE UNA SOLA CIRCONFERENZA PASSANTE PER 3 PUNTI NON ALLINEATI TEOREMA ESISTE UNA SOLA CIRCONFERENZA PASSANTE PER 3 PUNTI NON ALLINEATI

DIAMETRI E CORDE La circonferenza ha un centro di simmetria, che è il centro della circonferenza, e nella figura è indicato con O. Il segmento che ha come estremi due punti della circonferenza è detto corda. Nella figura il segmento CD è una corda. Se una corda passa per il centro allora è detta diametro. Nella figura il segmento AB è un diametro. Teorema

LA PERPENDICOLARE HA UNA CORDA PASSANTE PER IL CENTRO DI UNA CIRCONFERENZA È L’ASSE DELLA CORDA IPOTESI: AB è perpendicolare a CD, O€AB. TESI: AB è l’asse di CD. DIMOSTRAZIONE: Sia H il punto di intersezione tra AB e CD. Dal fatto che OC e OD sono raggi della stessa circonferenza segue che OC≅OD, dunque il triangolo OCD è isoscele sulla base CD e OH è l’altezza del triangolo isoscele OCD poiché per ipotesi AB perpendicolare CD. In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana, da cui segue che CH≅HD. La retta passante per A e B risulta dunque essere perpendicolare a CD e passante per il punto medio di CD, dunque essa è l’asse di CD.

ANGOLI AL CENTRO Ognuno degli angoli che ha come lati due raggi è detto angolo al centro. In figura COD è l’angolo al centro. Le parti della circonferenza delimitate dai due punti C, D appartenenti alla circonferenza è detta arco. In figura uno degli archi di circonferenza è segnato non tratteggiato, mentre l’altro è segnato tratteggiato. Se come corda si prende un diametro allora l’arco è detto semicirconferenza. La parte di cerchio delimitata da un angolo al centro prende il nome di settore circolare. Osservazione: Ad ogni angolo al centro corrisponde una corda e un arco. Ad ogni corda corrisponde un angolo al centro e un arco. Ad ogni arco corrisponde un angolo al centro e una corda.

POSIZIONI RECIPROCHE TRA RETTA E CIRCONFERENZA Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza minore del raggio si dice che la retta è secante. In questo caso la retta interseca la circonferenza in due punti. Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio si dice che la retta è tangente. In questo caso la retta interseca la circonferenza in un punto detto punto di tangenza. Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza maggiore del raggio si dice che la retta è esterna. In questo caso la retta non interseca la circonferenza. Osservazioni

OSSERVAZIONI Risulta ovvio dalle definizioni precedenti che: Il raggio passante per il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente. Dato un raggio si tracci la perpendicolare ad esso passante per il punto del raggio sulla circonferenza. La retta tracciata è una retta tangente.

ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA Si dice angolo alla circonferenza l’angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza oppure uno secante e l’altro tangente. Angolo al centro e angolo alla circonferenza. Una retta secante e una tangente passanti per C. Angolo al centro e angolo alla circonferenza. Due rette secanti passanti per C.

TEOREMA In una circonferenza l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza. IPOTESI: BOC angolo al centro e BAC angolo alla circonferenza. TESI: BOC≅2BAC.

TEOREMA O è esterno all’angolo BAC. COD≅2CAD e BOD≅2BAD. Da ciò segue che: BOC≅BOD−COD≅2BAD−2CAD≅2(BAD−CAD)≅2BAC. Corollario

COROLLARIO Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti tra loro. I triangoli inscritti in una circonferenza aventi come lato il diametro sono tutti rettangoli.

POSIZIONI DI DUE CIRCONFERENZE Circonferenze Tangenti Esternamente Circonferenze Esterne Circonferenze Secanti Circonferenze Tangenti Internamente Circonferenze Interne Circonferenze Concentriche

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono. Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza è inscritta nel poligono.

POLIGONI REGOLARI Un poligono regolare è un poligono avente tutti i lati e tutti gli angoli congruenti. Osservazioni: • Tutti i poligoni regolari hanno tanti assi di simmetria quanti sono i loro lati. • Tutti i poligoni regolari con un numero pari di lati hanno un centro di simmetria. • Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili in una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il centro della circonferenza circoscritta ed è detto centro del poligono regolare. • Tutti i poligoni regolari sono circoscrivibili a una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il centro della circonferenza inscritta ed è detto centro del poligono regolare. Dato un poligono regolare si considerino la circonferenza inscritta e la circonferenza circoscritta ad esso. Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema del poligono regolare. In figura l’apotema del poligono regolare è il segmento OH. Il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono regolare. In figura il raggio del poligono regolare è il segmento OE.

LA CIRCONFERENZA… In linea generale si ipotizza che l'uso della ruota fosse anticipato da quello della slitta, in seguito si inventò il rotolamento dei pesi su dei tronchi d’albero. Secondo gli studiosi la ruota fu inventata nell'antica Mesopotamia (dai Sumeri) nel V millennio a.C. per la lavorazione di vasellame. Gli Inca e altre culture occidentali sembrano essersi avvicinate al concetto di ruota, che appare in alcuni giocattoli in pietra, senza farne però un uso moderno. La ruota sembra non essere stata conosciuta nell‘Africa e in Australia prima del contatto con il resto del mondo. Ruota a raggi risalente al 2000 a.C. esposta al Museo Nazionale dell’Iran, a Teheran

…NELLA VITA DI TUTTI I GIORNI Le circonferenze sono usate nel giardinaggio per tracciare archi e cerchi. Sono anche usate in architettura nella sezione delle colonne e in alcune piazze

CIRCONFERENZA NELLO SCI Applicando allo sci una pressione descrive una “carvatura” che diminuisce la frenata dello sciatore aumentando la sua velocità di percorrenza

Eratostene e la misura della circonferenza terrestre Eratostene sapeva che  a mezzogiorno del solstizio d'estate il sole è perfettamente alla zenit della città di Assuan. Eratostene  misurò invece l'ombra proiettata da un obelisco, che alla stessa ora dello stesso giorno proiettava ad Alessandria situata a circa 840 km a Nord di Assuan. Verificò quindi che i raggi del sole discostavano dalla verticalità per un cinquantesimo dell'angolo giro, pari a 7,2°. Eratostene partiva dal presupposto che la distanza del sole fosse tanto grande da far si che i suoi raggi arrivassero praticamente paralleli e che la terra fosse sferica condividendo appieno le teorie di Parmenide di Elea che fu il primo ad affermarlo per iscritto. Per questo motivo la differenza di inclinazione doveva dipendere dalla curvatura della superficie terrestre e quindi il dato ottenuto corrispondeva alla distanza angolare delle due città. Poiché 7,2° corrispondono a 1/50 dell'angolo di 360°, ciò significa anche che la distanza effettiva tra le due città, ritenuta di 5000 stadi, è un cinquantesimo della circonferenza terrestre. Dunque tale circonferenza misura: 50x5000 stadi = 250.000 stadi La lunghezza media di uno stadio romano  ai tempi di Eratostene corrispondeva a 185,25 metri attuali per cui ne risulterebbe una circonferenza pari a 46.312 km. Ma considerando che l'unità di misura di lunghezza era il piede, (“pes” 29,64 cm), che l'altezza del sole si misurava con le ombre e che non era possibile controllare la differenza di longitudine tra Alessandria e Assuan (quest'ultima leggermente più a Est di Alessandria di circa 3°) si può senz'altro concludere che la misura della Terra ottenuta da Eratostene si avvicinò in modo sconcertante al valore corretto di 46.076 km.

TOMOGRAFIA Modellizzazione di una sezione di seno:: Le due circonferenze delimitano lo strato di pelle; in rosso abbiamo le vene; in verde una ghiandola; in bordeaux un tumore.

Realizzato da CARLINI MARCO & DI FRANCO MANUEL