Programmazione idraulico di breve termine Obiettivo della programmazione di breve termine dell’idraulico (programmazione giornaliera) è quella di utilizzare al meglio la risorsa idraulica disponibile minimizzando la produzione termoelettrica. I dati del problema, relativi a ciascun impianto idroelettrico, riguardano: la conoscenza dei diagrammi di carico del giorno successivo (deterministici) la conoscenza degli apporti idrici del giorno successivo (deterministici) la conoscenza (dalla programmazione di medio termine) del livello iniziale del bacino (ri,0) e dei volumi di acqua da utilizzare nel giorno successivo (Vi)

Programmazione idraulico La principale ipotesi relative allo sviluppo del problema sono: il rendimento idraulico degli impianti viene assunto costante; in effetti esso dipende dalla potenza erogata dalla singola turbina nonché dalla portata complessiva di ciascuna condotta che alimenta generalmente più turbine. Tuttavia è possibile verificare che sopra il minimo tecnico e fino alla potenza massima della centrale il rendimento complessivo si mantiene abbastanza costante; Il carico che deve essere coperto è quello totale idro-termoelettrico diminuito della quota parte relativa ad impianti non modulati (acqua fluente, impianti termoelettrici di base, impianti contrattualizzati, ecc.); cioè si considera solo la quota parte di carico che può essere coperta con centrali di modulazione e di regolazione.

Programmazione idraulico Occorre innanzitutto osservare che: dove: ek = costo specifico del combustibile del gruppo k-esimo qk,j = portata di combustibile al gruppo k-esimo nel j-esimo intervallo fk = funzione di costo del gruppo k-esimo (termoelettrico) Pk,j = potenza erogata dal gruppo k-esimo nel j-esimo intervallo D’altra parte poiché le funzioni di costo dipendono dal quadrato della potenza si può scrivere:

Programmazione idraulico Di conseguenza trovare il minimo della funzione di costo equivale a trovare il minimo della seguente funzione

Programmazione idraulico Se si indica con sj = il carico idro-termoelettrico da coprire nell’intervallo j-esimo xi,j = la potenza erogata dalla centrale i-esima nel periodo j-esimo Si ottiene da cui E ancora Quindi il minimo della funzione costo di produzione coincide con quello della funzione

Programmazione idraulico I vincoli a cui deve sottostare la funzione obiettivo prima definita sono i seguenti: dove ci = coefficiente energetico della centrale i-esima ai,j = apporti al bacino della centrale i-esima nel periodo j-esimo ri = limite di svuotamento del bacino i-esimo Ri = limite di sfioro del bacino i-esimo

Ottimazione economica Consideriamo la seguente funzione di costo da minimizzare sotto opportuni vincoli: dove Ck = costo orario di produzione della centrale k-esima Pk = potenza oraria media erogata della centrale k-esima Ct = carico da coprire con la produzione termica ng = numero dei generatori “in giri”

Ottimazione economica Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange () si ha: Il cui minimo, che coincide con quello della funzione di costo prima definita, può essere calcolato annullando le derivate parziali prime rispetto alle variabili Pk:

Ottimazione economica In definitiva la condizione di minimo della funzione costo si ottiene quando tutti i generatori funzionano in corrispondenza dello stesso valore di , che rappresenta il costo incrementale (detto anche costo marginale). Il criterio prima esposto va sotto il nome di criterio degli uguali costi incrementali (uguali costi marginali). L’unica condizione da imporre perché il sistema sia convergente è che la funzione di costo sia monotona non decrescente.

Ottimazione economica Criterio degli uguali costi incrementali

Ottimazione economica Se introduciamo un vincolo che tiene conto della potenza massima e del minimo tecnico di ciascun gruppo il problema del dispacciamento a minimo costo assume la seguente forma: e la funzione lagrangiana diventa (condizioni di Kuhn-Tucker)

Ottimazione economica Dato un insieme di generatori è possibile definire una curva monotona non decrescente che definisce un legame univoco (Pk; ); tale curva identifica il costo incrementale del sistema al variare della potenza complessivamente prodotta.

Ottimazione economica Costo incrementale di sistema

Dispacciamento generatori termici La funzione di costo di produzione che deve essere minimizzata in funzione delle potenze erogate dai diversi generatori ed i relativi vincoli è la seguente: dove F e G rappresentano le equazioni di load-flow attivo e reattivo della rete.

Dispacciamento generatori termici I costi che si considerano sono tutti quelli variabili legati al funzionamento di una centrale, e cioè sostanzialmente i costi di combustibile (gli altri costi possono essere considerati fissi e quindi indipendenti dalla potenza erogata dalla centrale). Il problema così come è stato posto in maniera generale è estremamente complesso; infatti si deve tenere conto di costi di funzionamento a regime costi di avviamento dei gruppi dispacciamento della potenza attiva e di quella reattiva Di conseguenza per trovare una soluzione è necessario effettuare alcune semplificazioni.

Dispacciamento generatori termici Poiché la soluzione del problema è funzione di un elevato numero di variabili e ciascuna di esse ha un peso paragonabile alle altre, la funzione obiettivo presenta un minimo molto piatto; in tali condizioni si può dimostrare che la soluzione trovata separando il problema in più sottoproblemi e determinando il minimo di ciascuno di questi praticamente coincide con la soluzione globale del problema. Di conseguenza per trovare la soluzione del problema generale verranno determinate le soluzioni di alcuni sottoproblemi nei quali è scindibile il problema originario: determinazione dello U.C.; separazione del dispacciamento attivo e reattivo.

Unit Commitment La prima semplificazione che viene fatta riguarda la determinazione dei gruppi termici che devono rimanere in giri durante il periodo considerato; tale operazione prende il nome di Unit Commitment. Nello U.C. il periodo temporale che tipicamente viene preso in considerazione è la settimana. L’obiettivo che ci si pone è quello di determinare, per ciascun intervallo (generalmente l’ora) del periodo considerato, quali sono i gruppi che devono rimanere in giri garantendo il minimo costo complessivo di esercizio. La funzione obiettivo è costituita dalla somma dei costi di funzionamento a regime e di quelli di avviamento di tutti i gruppi del parco.

Unit Commitment: programmazione delle fermate Questa tecnica può essere utilizzata quando il parco macchine sia ridotto (es.: i gruppi di una centrale); si stabilisce in anticipo quale gruppo si vuole fermare. Per la soluzione del problema occorre conoscere i costi di funzionamento e di avviamento di ciascuno dei gruppi oltre che, ovviamente, il diagramma di carico da coprire. Se la condizione è verificata viene arrestata la macchina k-esima.

Unit Commitment: programmazione completa In un parco composto da m macchine il problema di minimo vincolato posto è il seguente:

Separazione attivo/reattivo Dalle equazioni di load-flow è nota la seguente relazione (con ovvia notazione di simboli): Per le reti di trasmissione con buona approssimazione si può ipotizzare che:

Separazione attivo/reattivo Quindi le variazioni di transito della potenza attiva sono in prima approssimazione indipendenti dalla tensione e quelle di potenza reattiva dagli angoli; in altre parole la potenza attiva e quella reattiva sono debolmente legate. Di conseguenza il problema può essere risolto in maniera iterativa determinando prima i transiti di potenza attiva a tensioni fissate e successivamente quelli di potenza reattiva a  fissati; in questo modo il problema generale viene declassato alla risoluzione di due sottoproblemi più semplici e più agevoli da risolvere: Dispacciamento della potenza attiva Dispacciamento della potenza reattiva.

Considerazioni sulle equazioni di l.f. L’espressione in forma polare delle equazioni di load-flow consente di esplicitarle applicando il teorema del Dini. Tale teorema afferma che data una funzione implicita di variabili di stato e di controllo, sotto opportune ipotesi riguardanti la continuità della funzione e la sua derivabilità rispetto alle suddette variabili, è possibile definire due intorni, uno nello spazio delle variabili di stato ed uno in quello delle variabili di controllo, tali per cui se le variabili appartengono ai rispettivi intorni è possibile esplicitare le variabili di stato in funzione di quelle di controllo.

Considerazioni sulle equazioni di l.f. L’espressione in forma polare delle equazioni di load-flow è la seguente: Ossia, in forma implicita (indicando con x le variabili di stato e con u quelle di controllo): F = equazioni di l.f. della potenza attiva G = equazioni di l.f. della potenza reattiva

Considerazioni sulle equazioni di l.f. Dalla applicazione del teorema del Dini, limitandoci alle equazioni della potenza attiva, possiamo scrivere: Il cui Jacobiano JF vale:

Considerazioni sulle equazioni di l.f. Verifica: poniamo L’insieme delle F(x,u)=0 risulta

Considerazioni sulle equazioni di l.f.

Considerazioni sulle equazioni di l.f. In base alla definizione:

Considerazioni sulle equazioni di l.f. Particolare interesse riveste l’ultima riga che scritta in forma esplicita diventa: Dove le costanti A rappresentano gli elementi del vettore:

Considerazioni sulle equazioni di l.f. Tali costanti costituiscono però anche le e cioè le variazioni della potenza richiesta nel nodo di saldo in funzione delle iniezioni negli altri nodi della rete. Da un punto di vista fisico i coefficienti A rappresentano quindi i contributi alle perdite di rete per effetto delle iniezioni di potenza negli altri nodi.

Dispacciamento potenza attiva Il problema posto è quello di definire il dispacciamento della potenza attiva dei gruppi termoelettrici che sono “in giri” (a valle dello U.C.) avendo definito come funzione obiettivo la minimizzazione dei costi variabili conoscendo il carico da coprire con il termico e tenendo conto delle curve di capability dei generatori. Il problema posto può essere risolto con diverse approssimazioni: I approssimazione: non si tiene conto delle perdite di rete (modello sbarra) II approssimazione: si tiene conto delle perdite di rete adottando differenti modelli

Dispacciamento potenza attiva I approssimazione: modello sbarra G1 Gng Gj G2 Ct Viene applicata la tecnica degli uguali costi incrementali già dimostrata in precedenza

Dispacciamento potenza attiva II approssimazione: modello sbarra ad uguali costi incrementali corretti G1 Gng Gj G2 Ct pr Anche in questo caso viene applicata la tecnica degli uguali costi incrementali introducendo però un ulteriore condizione.

Dispacciamento potenza attiva Il problema di minimo costo è così definito dove p rappresenta le perdite nella rete di trasmissione; dalla applicazione delle condizioni di Kuhn-Tucker si ottiene

Dispacciamento potenza attiva Annullando le derivate prime rispetto alle potenze iniettate si ha In assenza dei vincoli  la soluzione porta alla seguente espressione Dove la correzione tiene conto della “distanza” elettrica delle iniezioni.

Dispacciamento potenza attiva Per determinare la funzione delle perdite p si può anche in questo caso ricorrere a modelli di differente approssimazione. Modello di I approssimazione: le perdite vengono definite sulla base di una funzione semi-empirica del tipo Da tale espressione si ottiene:

Dispacciamento potenza attiva Modello di II approssimazione: le perdite vengono definite sulla base alla seguente formulazione (n = nodo di saldo) Da cui derivando si ottiene: Dalla esplicitazione delle variabili di stato in funzione di quelle di controllo si ottiene:

Procedura di dispacciamento potenza attiva Determinazione delle potenze erogate da ciascun generatore con il criterio degli uguali costi incrementali; Calcolo di load-flow e stima delle perdite di rete (nodo di saldo); Calcolo dei con la voluta approssimazione; Determinazione delle potenze erogate da ciascun generatore con il criterio degli uguali costi incrementali corretti; Verifica di convergenza ed eventuale nuova iterazione dal punto 2.

Dispacciamento potenza reattiva Il problema posto è quello di definire il dispacciamento della potenza reattiva dei gruppi termoelettrici che sono “in giri” (a valle dello U.C.) avendo definito come funzione obiettivo: Un dispacciamento a minime perdite di potenza (attiva); Un dispacciamento a minima potenza reattiva prodotta; Un dispacciamento a massima tensione prodotta. La funzione obiettivo è naturalmente una sola tra quelle definite; quella che viene tipicamente utilizzata è la prima. Esaurita questa fase di dispacciamento si esegue una nuova iterazione di dispacciamento attivo/reattivo fino a raggiungere una soluzione stabile.

Analisi della sicurezza Successivamente alla effettuazione del dispacciamento è necessario verificare che la rete sia in grado di trasportare la potenza che viene prodotta dai singoli gruppi fino ai nodi di carico. Questa fase va sotto il nome di controllo della sicurezza del sistema; essa viene effettuata il giorno prima a valle del dispacciamento. La verifica di sicurezza viene generalmente effettuata mediante una procedura che va sotto il nome di verifica della sicurezza N-1 del sistema. In Italia tale verifica veniva effettuata dal CNC (Centro Nazionale di Controllo)

Il sistema di controllo.