Indice Regimi di capitalizzazione dei tassi di interesse e attualizzazione Cosa sono i derivati Esempio di futures e opzioni Equazioni di Black, Scholes e Merton Alcune complicazioni dei derivati reali: es. regole di day count Panoramica sulle procedure realizzate da SiGrade

Regimi di capitalizzazione N : capitale nozionale (es. 10.000€) r : tasso di interesse annuo (es. 2%) Dopo 1 anno: Dopo T anni: CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE Ricapitalizzando n volte all’anno: CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA n VOLTE Facendo tendere n all’infinito: CAPITALIZZAZIONE CONTINUA

Attualizzazione Ogni importo è dipendente dal tempo: Se oggi ho una quantità X di denaro, tra T anni essa varrà Se un contratto scade tra T anni e mi fa incassare X, allora oggi esso vale Se di un contratto si conosce con esattezza l’importo pagato alla scadenza allora per valutarlo è sufficiente attualizzare l’importo. Il tasso r da utilizzare dipende principalmente da: Andamento economico globale Durata T del contratto Rischio di insolvenza della controparte

Contratti Derivati Un derivato è un contratto finanziario il cui valore X al momento della scadenza t dipende dal valore in t di una certa attività finanziaria S, detta sottostante: Le tipologie di derivati più note e diffuse sono: Derivati su tassi di interesse: il sottostante S è un tasso di interesse (Es. Euribor 3 mesi) Derivati azionari: il sottostante S è un’azione (Es. azioni FIAT) o un’indice azionario (Es. indice SPMIB) Derivati su commodity: il sottostante S è una materia prima (Es. acciaio, petrolio, oro, energia elettrica, ecc) Derivati atmosferici: il sottostante S è rappresentato da una variabile atmosferica (Es. gradi di riscaldamento giorno, gradi di raffreddamento, ecc)

Esempio 1: Future I Futures sono stati uno dei primi derivati ad essere stipulati (~1860). Invece di acquistare oggi un certo prodotto (es. 10 tonnellate di grano) ci si accorda per: eseguire lo scambio ad una data t futura. fissare oggi il prezzo K a cui verrà acquistato il prodotto. sostituire il prodotto con il suo prezzo corrente Il valore del future alla scadenza sarà:

Esempio 2: Opzioni europee Un’opzione è un contratto finanziario che dà il diritto - ma NON l’obbligo - al portatore di comprare (opzione call) o vendere (opzione put) una certa quantità dell’attività finanziaria sottostante ad un determinato prezzo K, in una precisa data futura t. Alla scadenza di un’opzione call, due casi possibili: : l’opzione sarà lasciata decadere, conviene acquistare il sottostante al prezzo di mercato St. : l’opzione sarà esercitata, comprando il sottostante al prezzo K ed eventualmente rivendendolo sul mercato al prezzo St. Il valore della call alla scadenza sarà:

Assunzione di Lognormalità Ipotesi largamente diffusa nell’ambito del pricing di derivati è l’assunzione di lognormalità per l’attività sottostante S: = tasso di rendimento atteso di S = volatilità. = processo di Wiener. E’ un processo stocastico a tempo continuo e con incrementi indipendenti usato per modellizzare il moto browniano e diversi fenomeni casuali osservati nell’ambito della fisica e della finanza.

Lemma di Itô Se x segue un processo di Itô, cioè vale ed f è una funzione di x e t, allora dove z è sempre lo stesso processo di Wiener.

Equazione di Black, Scholes e Merton Per l’ipotesi di lognormalità, S segue un processo di Itô. Applicando il lemma con si ottiene che la variazione di ha legge normale. Applicando il lemma con f generica, con alcuni passaggi, si ottiene la famosa equazione di Black, Scholes e Merton: è il valore al tempo t di un derivato è soluzione dell’equazione di B-S-M. Le condizioni al contorno sono date dal valore pagato dal derivato alla scadenza tfin e stabilito dal contratto: .

Storia dell’equazione B-S-M L’equazione di Black, Scholes e Merton fu: Pubblicata nel 1973 da F.Black e M.Sholes. Risolta grazie ad una trasformazione che la riporta alla “heat equation” (equazione di diffusione del calore, già risolta dalla Fisica). R.Merton il primo ad espanderne i risultati. Nel 1997 Merton e Scholes vincono il premio Nobel per l’economia (Black deceduto nel 1995). Il modello originale è stato successivamente espanso per coprire una vastissima gamma di opzioni.

Valore atteso di un’opzione La soluzione dell’equazione (valore atteso o Fair Value), nel caso delle opzioni è dove: N(x) è la distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1

Regole di day count T è il tempo tra la data di valutazione t0 e la data di scadenza tfin misurato in anni. Quindi: Attenzione al numero di giorni di ogni mese. E se un anno è bisestile il denominatore è 365 o 366? Alcuni contratti invece adottano la convenzione per cui tutti i mesi hanno 30 giorni e l’anno 360. Altre volte vanno considerati solo i giorni lavorativi, dunque Ma giorni lavorativi secondo il calendario civile o commerciale? Inoltre ogni nazione considera festività diverse.

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Bibliografia John C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, ed. Il Sole 24 Ore, 2003 M. Di Franco, Francesco Polimeni, Massimo Proietti, Opzioni e titoli strutturati, ed. Il Sole 24 Ore, 2002 KPMG, Guida agli strumenti derivati, ed. Edibank Bancaria Editrice, 2001 Riccardo Cesari, Elisa Susini, Introduzione alla finanza matematica, ed. McGraw-Hill, 2005 Alexander Lipton, Mathematical methods for foreign exchange, ed. World Scientific Publishing, 2001 Damiano Brigo, Fabio Mercurio, Interest rate models - Theory and practice, ed.Springer-Verlag, 2001 Espen Gaarder Haug, The complete guide to option pricing formulas, ed. McGraw-Hill,1998 Mark Joshi, The concepts and practice of mathematical finance, ed. Cambridge University Press, 2003

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