DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A048-A049-Matematica Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa zan@dm.unipi.it DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A048-A049-Matematica Incontro 22 marzo 2013

Attività su Federico: alcune riflessioni

Che tipo di ragazzo è Federico? (Franta e Colasanti, 1995) Federico entra in classe e si dirige subito al suo posto. Si siede, tira fuori dallo zainetto penne e quaderni e inizia a ripassare le lezioni. I compagni lo invitano a giocare, ma si rifiuta dicendo che deve studiare. All’arrivo dell’insegnante Federico si alza, le sorride, quindi torna a sedersi.

Secondo lei, che tipo di ragazzo è Federico. 1: per niente Secondo lei, che tipo di ragazzo è Federico? 1: per niente 2: un po’ 3: non so 4: abbastanza 5: molto Responsabile 1 2 3 4 5 Secchione 1 2 3 4 5 Diligente 1 2 3 4 5 Socievole 1 2 3 4 5 Studioso 1 2 3 4 5 Indipendente 1 2 3 4 5 Intelligente 1 2 3 4 5 Isolato 1 2 3 4 5 Furbo 1 2 3 4 5 Maturo 1 2 3 4 5

Prima riflessione...

GIUDIZIO OSSERVAZIONE Federico è... OSSERVAZIONE Federico fa...

Postman e Weingartner, 1973: ‘…noi trasferiamo i nostri sentimenti e le nostre valutazioni a oggetti al di fuori di noi. Per esempio, diciamo “John è stupido” o “Helen è vivace” come se la stupidità e la vivacità fossero delle caratteristiche di John e Helen. Una parafrasi letterale di “John è stupido” (ovvero, il suo significato più scientifico) può essere qualcosa del tipo: “Quando percepisco il comportamento di John, sono deluso, angustiato, frustrato o disgustato”. La proposizione che uso per esprimere le mie percezioni e valutazioni di questi fatti è “John è stupido”.

Dicendo “John è stupido”, parliamo di noi stessi molto di più che di John. Eppure, questo fatto non si riflette per nulla nell’affermazione. L’io – il segno della partecipazione di colui che percepisce – è stato rimosso mediante una peculiarità grammaticale.’

Seconda riflessione...

Federico fa così perché… GIUDIZIO Federico è... INTERPRETAZIONE Federico fa così perché… OSSERVAZIONE Federico fa...

Federico fa così perché… influenzata da: le nostre esperienze i nostri schemi interpretativi mette in gioco: le nostre emozioni INTERPRETAZIONE Federico fa così perché… OSSERVAZIONE Federico fa...

Attività sulle scene: alcune osservazioni

GRAVI / NON GRAVI

1. Valutazioni diverse possono rimandare a valori diversi Marco: Grave perché: non padroneggia il linguaggio Non grave perché: è solo un problema di linguaggio Azzurra: Grave perché: non ha studiato Non grave perché: non ha studiato

2. La stessa valutazione può poggiare su argomentazioni completamente diverse Azzurra: Grave perché: Studio mnemonico non ragionato Mancanza di concetto di perimetro Dimostra che non sta ragionando ma sta rispondendo a caso Dimostra chiaramente di non aver studiato

3. Il giudizio poggia su un’interpretazione dell’errore “Grave perché l’alunna ha imparato meccanicamente il procedimento di soluzione ma non ne ha compreso il significato” “Grave perché non riesce ad astrarre” “Grave perché non ha la più pallida idea di cosa sta facendo”

OSSERVARE INTERPRETARE - non ha fatto… - non è in grado di fare - non ha capito - non ha studiato

la valutazione della gravità degli errori QUANDO è stato commesso (prima / dopo l’azione didattica) POSSIBILI CAUSE QUANTE VOLTE la valutazione della gravità degli errori POSSIBILI CONSEGUENZE QUALE LIVELLO DI SCUOLA POSSIBILITA’ DI CORREGGERLO IMPORTANZA DELL’ARGOMENTO DIFFICOLTA’ DELL’ARGOMENTO

la valutazione della gravità degli errori POSSIBILI CONSEGUENZE IMPORTANZA DELL’ARGOMENTO Individuazione di ‘saperi minimi’

la valutazione della gravità degli errori QUANDO è stato commesso (prima / dopo l’azione didattica) QUANTE VOLTE la valutazione della gravità degli errori Necessità di un’osservazione continua e contestualizzata

la valutazione della gravità degli errori QUALE LIVELLO DI SCUOLA Importanza del raccordo

la valutazione della gravità degli errori POSSIBILITA’ DI CORREGGERLO Visione della gravità centrata sull’insegnante

la valutazione della gravità degli errori QUANDO è stato commesso (prima / dopo l’azione didattica) POSSIBILI CAUSE QUANTE VOLTE la valutazione della gravità degli errori POSSIBILI CONSEGUENZE QUALE LIVELLO DI SCUOLA POSSIBILITA’ DI CORREGGERLO IMPORTANZA DELL’ARGOMENTO DIFFICOLTA’ DELL’ARGOMENTO

la valutazione della gravità degli errori C O N O S C E N Z E CONVINZIONI EPISTEMOLOGIA V A L O R I la valutazione della gravità degli errori EMOZIONI VISSUTO …dell’insegnante!

ERRORE = indicatore ‘oggettivo’? In quale contesto è stato commesso l’errore? Chi ha costruito la ‘verifica’? Chi ha stabilito gli obiettivi? Chi ha stabilito che l’esercizio proposto permette di riconoscere il raggiungimento degli obiettivi? Cosa c’è di oggettivo nei vincoli che si impongono o meno agli allievi? (tempo / numero di esercizi / uso dei testi, della calcolatrice…)

L’OGGETTIVITA’ DELLA VALUTAZIONE ASSUNZIONE DELLA RESPONSABILITÀ DELLE PROPRIE SCELTE DIDATTICHE

OSSERVARE INTERPRETARE - non ha fatto… - non è in grado di fare - non ha capito - non ha studiato

INTERPRETAZIONE Le parole più usate: “Non riesce …” “Non ha capito…” “Non ha le basi…” “Non si impegna”

funziona / non funziona l’interpretazione giusta / sbagliata è un’ipotesi di lavoro funziona / non funziona

Perché l’interpretazione sia un’ipotesi di lavoro: Deve dirigere, e non bloccare, l’intervento Esempio: ‘non è in grado’ Deve essere puntuale, e non generica Esempi: ‘Non si impegna’ ‘Non ha le basi’ ‘Non capisce’ ‘Non ha metodo di studio’

Perché l’interpretazione sia un’ipotesi di lavoro: Deve dirigere, e non bloccare, l’intervento Esempio: ‘non è in grado’ Deve essere puntuale, e non generica Esempi: ‘Non si impegna’ ‘Non ha le basi’ ‘Non capisce’ ‘Non ha metodo di studio’

funziona / non funziona l’interpretazione giusta / sbagliata è un’ipotesi di lavoro funziona / non funziona importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili

L’apprendimento come attività costruttiva

 visione ‘tradizionale’: il contenitore vuoto da riempire…  l’apprendimento come attività costruttiva ...la conoscenza è in gran parte costruita dal discente  l’individuo è soggetto attivo che interpreta l’esperienza  costruisce convinzioni mondo degli oggetti fisici mondo degli organismi viventi mondo degli esseri umani  teorie

Prevedere il moto della pallina all’uscita del tubo Anche studenti di fisica rispondono così:

Ricerche classiche Processi decisionali Kahneman & Tversky Fisica ingenua Processi decisionali: Kahneman, Tversky, Shafir Voss Perkins Fisica ‘ingenua’: McCloskey, DiSessa Per approfondire: Howard Gardner, Educare al comprendere, 1993 Piattelli Palmarini, L’illusione di sapere, 1993 Graziano Cavallini, La formazione dei concetti scientifici, 1995

Schoenfeld (1985) p. 35 ‘Research on everyday reasoning indicates that relevant, formal knowledge and procedures may simply be ignored or supplanted in a “real-world” context; conversely, prior experience in the real world shapes learning in a formal context. Finally, the extensive literature on decision theory (…) indicates that people’s decision-making in various domains can be highly regular, strongly based, and anything but “rational” (…).

Schoenfeld (1985) In the best of all possible worlds the three categories of knowledge and behavior described above [knowledge, heuristics, control] would suffice to characterize mathematical problem-solving performance. The literature now makes it abundantly clear that this is not the best of all possible worlds (…).

The literature now makes it abundantly clear that this is not the best of all possible worlds (…).

Schoenfeld (1985) The point here is simply that ‘purely cognitive’ behavior – the kind of intellectual performance characterized by discussion of resources, heuristics, and control alone – is rare. The performance of most intellectual tasks takes place within the context established by one’s perspective regarding the nature of those tasks. Belief systems shape cognition, even when one is not consciously aware of holding those beliefs.

Alcune implicazioni generali 1. Il ruolo del contesto

Prevedere il moto della pallina all’uscita del tubo Anche studenti di fisica rispondono così:

Problema: La figura mostra un tubo metallico curvo visto dall’alto. Una sfera metallica è inserita alla fine del tubo indicato dalla freccia ed è spinta dall’altra parte del tubo ad alta velocità. Il punto in cui fuoriesce la sfera ha coordinate (2,-2) (la misura è in metri). La sfera esce nella direzione del vettore 3 i + 4 j con una velocità iniziale di 500 m/sec. Dare le coordinate della sfera un secondo dopo l’uscita dal tubo.

TEST DI WASON A R 4 7 Quali carte gireresti per verificare se per queste 4 carte vale la regola: 'Se da una parte c’è una vocale, dall’altra c’è un numero pari‘ ?

Quali casi controllereste? VARIAZIONI SUL TEMA… Beve birra Beve acqua Sopra i 16 anni Sotto i 16 anni 'Se una persona beve birra deve avere più di 16 anni'. Quali casi controllereste?

Alcune implicazioni generali 1. Il ruolo del contesto 2. Il ruolo dell’errore: 2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore 2.2 L’interpretazione dell’errore 2.2.1 Distinzione errore / fallimento 2.2.2 Un repertorio di interpretazioni

Alcune implicazioni generali 1. Il ruolo del contesto 2. Il ruolo dell’errore: 2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore 2.2 L’interpretazione dell’errore 2.2.1 Distinzione errore / fallimento 2.2.2 Un repertorio di interpretazioni

1. Popper ‘Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo affrontare problemi che siano così difficili da rendere l’errore quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di fare errori; la cosa più grande è imparare da essi.‘

2. Bachelard Quando si ricercano le condizioni psicologiche dei progressi della scienza, ci si convince ben presto che è in termini di ostacoli che bisogna porre il problema della conoscenza scientifica. (…) Tornando su un passato di errori, la verità la si trova in un vero e proprio pentimento intellettuale. Si conosce, infatti, contro una conoscenza anteriore, distruggendo conoscenze mal fatte, superando quello che nello spirito stesso fa da ostacolo alla spiritualizzazione.

3. F. Enriques ‘Il Maestro sa che la comprensione degli errori dei suoi allievi è la cosa più importante della sua arte didattica. Egli impara presto a distinguere gli errori significativi da quelli, che non sono propriamente errori - affermazioni gratuite di sfacciati che cercano di indovinare - dove manca lo sforzo del pensiero, della cui adeguatezza si vorrebbe giudicare. E degli errori propriamente detti, che talora sono in rapporto con manchevolezze delle singole menti, ma nei casi più caratteristici si presentano come tappe del pensiero nella ricerca delle verità, il maestro sa valutare il significato educativo: sono esperienze didattiche che egli persegue, incoraggiando l'allievo a scoprire da sé la difficoltà che si oppone al retto giudizio, e perciò anche ad errare per imparare a correggersi’

4. Turing Anche il matematico umano prende qualche cantonata quando sperimenta nuove tecniche. E’ facile per noi considerare queste sviste come non rilevanti e dare al ricercatore un’altra possibilità, ma alla macchina non viene riservata alcuna pietà. In altre parole, se si aspetta che la macchina sia infallibile, allora essa non può anche essere intelligente.’

5. Krygowska Questa accortezza didattica [n.d.r.: il blocco delle occasioni di errore] consiste nella scelta, da parte del professore abile, delle difficoltà che l’allievo incontrerà sulle vie del ragionamento in modo che l’ occasione di commettere errori sia minima. Certi manuali e certe raccolte ci offrono esempi al riguardo. Gli esercizi sono raggruppati sistematicamente, dopo che alcuni sono presentati come esempio, le istruzioni sono talmente suggestive che è difficile, anche a un alunno che capisca poco, di commettere un errore.

[Krygowska] Un simile blocco degli errori non dà risultati positivi che apparentemente. Quello che è oscuro nel cervello dell’alunno rimane oscuro benché il segnale «errore» non si accenda. Questo modo di procedere dà delle illusioni ai professori e agli alunni e il primo passo sulla via del verbalismo è compiuto, l’abolizione delle difficoltà non essendo equivalente alla vittoria riportata sopra di esse.’

6. Gardner ‘Insegnanti e studenti (...) non sono disposti ad assumersi i rischi del comprendere e si accontentano dei più sicuri “compromessi delle risposte corrette”. In virtù di tali compromessi, insegnanti e studenti considerano che l’educazione abbia avuto successo quando gli studenti sono in grado di fornire le risposte accettate come corrette.’

7. Alla maniera di Postman e Weingartner… Gillupsie: E lei, dottor Bluffing, cosa mi racconta? Bluffing: Tutto a posto, dottor Gillupsie. I miei pazienti sono stati dimessi. Gillupsie: Ottimo, Bluffing. Anche quel paziente della 302 che aveva quel febbrone inspiegabile? Bluffing: Anche lui, dottor Gillupsie: ora è a casa. Gillupsie: E come ha fatto a fargli calare la temperatura? Ci abbiamo provato in tutti i modi e non c’era riuscito di farla andare sotto i 38°! Quale metodo ha trovato? Cosa gli ha dato?

Bluffing: Beh, dottor Gillupsie, la temperatura in sé non è calata… ma abbiamo stabilito, naturalmente dopo aver consultato diversi articoli scientifici, che d’ora in poi la febbre è sopra i 39°. Ufficialmente quindi possiamo dichiarare che il paziente 302 non è proprio malato! E quindi l’abbiamo rassicurato e dimesso. Gillupsie: Geniale, dottor Bluffing! [rivolto agli altri dottori] Imparate da Bluffing, ragazzi! [di nuovo rivolto a Bluffing] E mi dica, John, quel paziente che aveva le analisi del sangue così sballate? Quei valori così alti di insulina? Bluffing: Anche quello dimesso, capo. Guarito!

Gillupsie: Eccezionale, Bluffing Gillupsie: Eccezionale, Bluffing! Fossero tutti così al Blear Hospital, le nostre azioni salirebbero alle stelle! Ma mi dica, quale cura ha funzionato per abbassare l’insulina? Bluffing:In realtà le abbiamo provate tutte senza successo, capo. Gillupsie: E allora, Bluffing? Come mai l’ha dimesso? Bluffing: Beh, capo, ho pensato che visto che con l’insulina non se ne veniva a capo, era meglio fargli l’analisi dei globuli bianchi. E quella era proprio perfetta, capo! Da dimissione immediata. E avesse visto come era contento anche il paziente! Gillupsie: [serio] Lo so, Bluffing… La serenità dei pazienti è davvero importante! E fortunatamente qui al Blear ci sono medici come lei che se ne preoccupano…

L’errore come risorsa didattica (Raffaella Borasi)

Esempio - Ci sono altre operazioni fra frazioni in cui numeratore e denominatore sono combinati separatamente? - Ci sono dei casi (cioè scelte particolari degli interi a, b, c, d) in cui l'algoritmo corretto e quello descritto sopra portano allo stesso risultato? - Ci sono delle situazioni di vita reale che possono essere descritte da quel modo di sommare, piuttosto che dall'algoritmo corretto per la somma di frazioni?

Alcune implicazioni generali 1. Il ruolo del contesto 2. Il ruolo dell’errore: 2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore 2.2 L’interpretazione dell’errore 2.2.1 Distinzione errore / fallimento 2.2.2 Un repertorio di interpretazioni

Alcune implicazioni generali COMPITO PER CASA Riflettere: sulla distinzione fra errore e fallimento sulle implicazioni di tale distinzione 1. Il ruolo del contesto 2. Il ruolo dell’errore: 2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore 2.2 L’interpretazione dell’errore 2.2.1 Distinzione errore / fallimento 2.2.2 Un repertorio di interpretazioni

Alcune implicazioni generali 1. Il ruolo del contesto 2. Il ruolo dell’errore: 2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore 2.2 L’interpretazione dell’errore 2.2.1 Distinzione errore / fallimento 2.2.2 Un repertorio di interpretazioni

Da L’insegnamento come attività sovversiva, di N. Postman e C Da L’insegnamento come attività sovversiva, di N. Postman e C. Weingartner

Il dottor Gillupsie ha chiamato molti dei suoi chirurghi interni del Blear General Hospital. Essi stanno per cominciare la loro relazione settimanale sulle varie operazioni compiute negli ultimi quattro giorni. Dopo aver ascoltato i chirurghi più anziani, Gillupsie si rivolge al dottor Carstairs. Gillupsie: E lei, Carstairs, come le vanno le cose? Carstairs: Temo di essere stato sfortunato, dottor Gillupsie. Niente operazioni questa settimana, ma solo tre pazienti morti.

Gillupsie: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le pare Gillupsie: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le pare? Di che cosa sono morti? Carstairs: Non lo so con certezza, dottor Gillupsie, ma comunque ho dato a ciascuno di loro un bel po’ di penicillina. Gillupsie: Ah! Il sistema tradizionale della cura “buona di per se stessa”, eh, Carstairs? Carstairs: Beh, non esattamente, capo. Pensavo solo che la penicillina li avrebbe fatti stare meglio. Gillupsie: Per che cosa li stava curando? Carstairs: Insomma, stavano proprio male, capo, e io so che la penicillina fa star meglio gli ammalati. Gillupsie: Certamente, Carstairs. Penso che lei abbia fatto bene.

Al suo posto non mi preoccuperei troppo, Carstairs. Carstairs: E i morti, capo? Gillupsie: Cattivi, figlio mio, cattivi pazienti. E non c’è niente che possa fare un buon dottore quando si trova di fronte dei cattivi pazienti. E nessuna medicina può farci nulla, Carstairs. Carstairs: Eppure mi è rimasta ancora la seccante impressione che forse non avevano bisogno di penicillina, che servisse qualcos’altro. Gillupsie: Sciocchezze! La penicillina non fa mai cilecca su dei buoni pazienti. Lo sanno tutti. Al suo posto non mi preoccuperei troppo, Carstairs.

L’apprendimento come attività costruttiva Misconcetti e modelli primitivi Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano Razionalità matematica e altre forme di razionalità Convinzioni, atteggiamenti, emozioni importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili