1. Condizioni di raccordo alle discontinuità 2. Riflessione e rifrazione. La legge di Snell. 3. La riflessione totale 5. Effetti della dispersione: la scomposizione della luce bianca 6. Effetti sulla polarizzazione: le relazioni di Fresnel Cap. III Interazione delle onde e.m. con la materia

Il problema: attraversamento di superfici di separazione ? 1, n 1 Z 1 2, n 2 Z 2 1. CONDIZIONI DI RACCORDO ALLE DISCONTINUITA

Ricordiamo le condizioni di raccordo dei campi alle superfici: t n (1) hanno come conseguenza: riflessione e rifrazione

Useremo la notazione con i fasori nello spazio 3-D: Ricordiamo che il campo magnetico B si può scrivere come: z x y onda piana monocromatica per esempio: 2.RIFLESSIONE E RIFRAZIONE A UNINTERFACCIA PIANA (dimostrazione) 2.RIFLESSIONE E RIFRAZIONE A UNINTERFACCIA PIANA (dimostrazione)

riflessione e rifrazione - dimostrazione (2) x 2 1 z * grazie al teorema di Fourier A) scriviamo i campi come onde piane monocromatiche*:

x E1E1 z B) Notiamo che nei due materiali il campo totale sarà: E2E2 (3) riflessione e rifrazione - dimostrazione

C) le (3) devono soddisfare le (1) lungo tutta linterfaccia: (1) (3) otteniamo: (4) riflessione e rifrazione - dimostrazione

(4) Si noti che: le uguaglianze valgono contemporaneamente e separatamente per gli argomenti (esponenti) e le ampiezze (vettoriali) D) cominciamo dalle eguaglianze per gli argomenti… riflessione e rifrazione - dimostrazione

segue che: (3) deve quindi essere: per qualsiasi t e r ( z = 0 ) riflessione e rifrazione le eguaglianze per gli argomenti:

scegliendo k iy = 0: x, y con z = 0 x, y con z = 0 segue che: coplanarità delle tre onde x 2 1 z (5) riflessione e rifrazione

legge della riflessione x 2 1 z legge di Snell (1627) ovvero: riflessione e rifrazione

un esempio: legge di Snell aria z acqua legge di Snell (1627)

insieme: riflessione e rifrazione aria z acqua legge di Snell (1627)

effetti della rifrazione

anche per frequenze non ottiche

2 1 1) incidenza normale legge di Snell riflessione e rifrazione casi particolari riflessione e rifrazione casi particolari casi particolari:

riflessione e rifrazione casi particolari riflessione e rifrazione casi particolari 2) attraversamento strato piano parallelo d t legge di Snell n1n1 n2n2 n1n1

2) attraversamento strato piano parallelo si osservi: reversibilità del cammino ottico reversibilità del cammino ottico d d riflessione e rifrazione casi particolari riflessione e rifrazione casi particolari

n2n2 z n1n1 Si considerino i diversi casi: legge di Snell z riflessione totale 3. LA RIFLESSIONE TOTALE angolo limite z z

legge di Snell riflessione totale 2 1 z 2 1 z 2 1 z oppure, a i fisso cambiare: riflessione totale angolo limite

riflessione totale n2n2 z n1n1 z zz angolo limite vetro crown/ariadiamante/aria n 1 = acqua/aria n 1 = 1.33 n 1 = tornando a n 12 fisso:

riflessione totale effetti della riflessione totale visione subacquea acqua/aria n 1 = 1.33

riflessione totale effetti della riflessione totale brillantezza del diamante diamante/aria n 1 = 2.458

riflessione totale effetti della riflessione totale si noti che per una data sostanza n dipende dalla densità, quindi dalla temperatura n = n(T) Miraggio ottico (fata Morgana) Tremolio immagini vicino superfici calde aria fredda aria calda sorgente virtuale

riflessione totale effetti della riflessione totale si noti che per una data sostanza n dipende dalla densità, quindi dalla temperatura n = n(T) Miraggio ottico (fata Morgana) Tremolio immagini vicino superfici calde

riflessione totale vetro crown n = aria n 1 aria n 1 propagazione guidata effetti della riflessione totale

riflessione totale aria n 1 APPLICAZIONI vetro flint n = 1.65 quarzo n = 1.45 le fibre ottiche

riflessione totale APPLICAZIONI riflessione con prismi retti aria n a 1 vetro crown n v = 1.514

legge di Snell si ricordi che: 2 1 z 2 1 z 2 1 z langolo di rifrazione dipende dalla lunghezza donda 5. DISPERSIONE E RIFRAZIONE

legge di Snell scomposizione della luce bianca ciò provoca la: dispersione e rifrazione Newton,

Effetti della dispersione: scomposizione della luce

Riepilogo legge di Snell condizioni di raccordo alle interfaccie legge della riflessione dispersione nella rifrazione riflessione totale scomposizione della luce reversibilità del cammino ottico

3.1) Un raggio di luce incide perpendicolarmente sulla faccia ab (vedi figura) di un prisma di vetro con indice di rifrazione n = Trovare il massimo valore dellangolo per il quale si ha riflessione totale alla faccia ac nellipotesi: a) che il prisma sia in aria; b) che sia immerso in acqua (n = 1.33). a b c in acqua: in aria: Esercizi numerici

3.2) Sulla ipotenusa di un prisma retto, con angolo alla base = 60° e fatto di vetro flint con indice di rifrazione n a = 1.789, incide unonda piana monocromatica con angolo di incidenza i = 30°. Si determini il precorso dellonda dopo la rifrazione nel caso: a) il prisma sia isolato in aria; b) sia appoggiato su una lastra di vetro piana orizzontale con n b = 1.750; B A C i

Esercizi numerici B A C i da Snell: i2 dalla trigonometria: RIFLESSIONE TOTALE

Esercizi numerici A i i2 RIFRAZIONE i3 r2 come prima: dalla trigonometria:

Esercizi numerici 3.3) Sul fondo di un recipiente contenente acqua è posta una sorgente puntiforme S di luce. Allesterno del liquido cè aria. Osservando dallalto la superficie libera dellacqua, si osserva che esce luce solo attraverso un cerchio di raggio R=57 cm avente centro in O situato sulla verticale passante per S. Laltezza dellacqua è h = 50 cm. Quanto vale lindice di rifrazione n a del liquido? h R

E) ri-prendiamo le uguaglianze per i campi a uninterfaccia: 6. Effetti sulla polarizzazione: le relazioni di Fresnel (4) Si ricordi che: le uguaglianze valgono contemporaneamente e separatamente per gli argomenti (esponenti) e le ampiezze (vettoriali) F) questa volta consideriamo le eguaglianze per le ampiezze…

ovvero, considerando anche il campo B, otteniamo: (6) distinguiamo due casi….. relazioni di Fresnel -dimostrazione

B E piano di incidenza n I) E ortogonale al piano di incidenza: E( ) (polarizzazione S) kiki i B k i i B relazioni di Fresnel -dimostrazione

E n dimostrazione: I) E ortogonale al piano: E( ) (5)

(6) con passaggi algebrici: I) E ortogonale al piano di incidenza: E( )

dimostrazione: I) E ortogonale al piano di incidenza: E( ) utilizzando e la legge di Snell: (7) relazione di Fresnel per i campi E( ) E i sfasato di rispetto a E i se n 2 > n 1 E i sfasato di rispetto a E i se n 2 > n 1 (6)

B E piano di incidenza n II) E parallelo al piano di incidenza: E( ) (polarizzazione P) kiki i k i i E B relazioni di Fresnel - dimostrazione

procedendo analogamente al caso precedente si ottiene: relazione di Fresnel per i campi E( ) II) E parallelo al piano di incidenza: E( ) θθtg θθ 0 0 ri ri i ' i E E // (8) E i sfasato di rispetto a E i se n 2 < n 1 per ( i + r )< /2 E i sfasato di rispetto a E i se n 2 < n 1 per ( i + r )< /2 relazioni di Fresnel - dimostrazione

i due casi insieme: relazioni di Fresnel per il campo (8) (7) relazioni di Fresnel - dimostrazione θθtg θθ 0 0 ri ri i ' i E E //

relazioni di Fresnel relazioni di Fresnel per le intensità θθtg θθ R 2 2 ri ri // si ottiene: (10) espresse in termini delle intensità delle onde: Coefficienti di riflessione, o anche Riflettività R R

i (°) relazioni di Fresnel per le intensità grafici con n 12 = 1.50 relazioni di Fresnel per le intensità grafici con n 12 = 1.50 relazioni di Fresnel

relazioni di Fresnel per le intensità per E (grafici con n 12 = 1.50) relazioni di Fresnel per le intensità per E (grafici con n 12 = 1.50) i (°) relazioni di Fresnel aria vetro 0.04I I I I 0 I0I I I 0 E

relazioni di Fresnel per le intensità per E // (grafici con n 12 = 1.50) relazioni di Fresnel per le intensità per E // (grafici con n 12 = 1.50) i (°) relazioni di Fresnel aria vetro 0.92 I 0 I0I I 0 E // I0I0 angolo di Brewster

tg( iB + rB ) se ( iB + rB ) = /2 solo E è riflesso le onde riflesse sono polarizzate infatti, nelle (10), se: langolo di Brewester θθtg θθ R 2 2 ri ri // (10)

langolo di Brewester le onde riflesse sono polarizzate solo E è riflesso luce non polarizzata luce polarizzata

θθtg θθ R 2 2 ri ri // se ( iB + rB ) = /2 rB = /2 - iB (10) langolo di Brewester angolo di Brewster Questo si verifica per:

langolo di Brewester Applicazioni: occhiali antiriflessioni (Polaroid)

relazioni di Fresnel: considerazioni energetiche relazioni di Fresnel: considerazioni energetiche relazioni di Fresnel 1 2 S1S1 S1S1 S2S2 deve essere: ovvero: che, effettivamente, è soddisfatta dalle (10)

θθsin θθ R 2 2 ri ri θθtg θθ R 2 2 ri ri // A) polarizzazioni lungo altre direzioni si scompongono in e // relazioni di Fresnel Inoltre: B) per onde non polarizzate: relazioni di Fresnel per le intensità relazioni di Fresnel per le intensità (10) si fa una media fra i due casi

relazioni di Fresnel casi particolari Incidenza normale ( i = r = 0): 2 1 e vale la:

Riepilogo θθtg θθ R 2 2 ri ri // relazioni di Fresnel per le intensità relazioni di Fresnel per le intensità Incidenza normale angolo di Brewster

Prova di esame del corso di Fisica 4 del 26/9/ Un sottile fascio di luce di potenza I 0 = 10 mW incide normalmente sulla superficie piana di una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1.75, coefficiente di assorbimento = 0.5 cm -1 e di spessore t = 10 mm. Calcolare: (a) la potenza I del fascio alluscita della lastra; [(b) lassorbanza complessiva della lastra] II0I0 n t Dove, dalle relazioni di Fresnel per incidenza normale: da cui: Esercizi numerici

3.5 Quando il sole è allo zenith lintensità della radiazione solare al livello del mare è 1000 W/m 2. Calcolare lintensità (a) appena sotto la superficie dacqua perfettamente piana, (b) a 10 m di profondità assumendo un coefficiente di assorbimento di cm -1. Dalle relazioni di Fresnel per incidenza normale: con: da cui: e:

Esercizi numerici 3.6 Un raggio di luce polarizzata nel piano di incidenza e proveniente da una lastra di vetro con indice di rifrazione n 1 = 1.57 colpisce, con un angolo di incidenza linterfaccia con laria, viene in parte riflesso mentre la parte trasmessa incide su unaltra lastra con superficie parallela alla prima e indice n 2. Il raggio viene quindi rifratto allinterno della seconda lastra senza alcuna componente di riflessione. Calcolare il valore di n 2 35° n1n1 n2n2 aria alla prima interfaccia vetro/aria si avrà: ovvero: alla seconda interfaccia aria/vetro si avrà evidentemente la condizione di angolo di Brewster:

Esercizi numerici 3.7 Un prisma isoscele di vetro, con angoli alla base = 30° e indice di rifrazione n 1, è appoggiato sopra una lastra di vetro con indice di rifrazione n 2 a facce piane e parallele orizzontali. Si vuole che un raggio di luce propagantesi orizzontalmente e con polarizzazione verticale sia rifratto senza alcuna riflessione allinterno del prisma e subisca riflessione totale allinterfaccia con la lastra. Che valori dovranno avere n 1 e n 2 ? n2n2 n1n1

r i γ per la condizione di Brewster deve essere: da Snell e Brewster ricaviamo: quindi: n1n1 n2n2 nana dalla condizione di angolo limite:

Esercizi numerici 3.8 Un fascio di luce non polarizzata, con intensità luminosa I 0 = 1 W/cm 2, proviene dallaria ed incide con un angolo i = 70° su una lastra di vetro piana di indice di rifrazione n = Calcolare la frazione dellintensità che viene riflessa dalla prima superficie e il tipo di polarizzazione dellonda riflessa. I0I0 n Trattandosi di luce non polarizzata: poiché: quindi: la luce riflessa è parzialmente polarizzata perpendicolarmente al piano di incidenza