Considera un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r Considera un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r. Il lato del quadrato misura: … … … dopo aver osservato che le diagonali del quadrato sono diametri della circonferenza, si può applicare la formula dell’area (1), oppure un teorema di trigonometria (2), oppure il teorema di Pitagora (3)

In una circonferenza è inscritto un rettangolo in cui l’altezza è doppia della base a . Quanto misura il raggio della circonferenza? Ciascuna diagonale è diametro e divide il rettangolo in due triangoli rettangoli; si applica il teorema di Pitagora e quindi

Alcune proprietà dei quadrilateri rispetto alla circonferenza un quadrilatero inscritto (o inscrivibile) in una circonferenza ha gli angoli opposti supplementari è per questo che i rettangoli e i trapezi isosceli sono sempre inscrivibili in una circonferenza un quadrilatero circoscritto (o circoscrivibile) ad una circonferenza ha la somma di due lati opposti uguale alla somma degli altri due è per questo che i rombi e i deltoidi (losanghe) sono sempre circoscrivibili ad una circonferenza; lo sono anche certi tipi di trapezi rettangoli

Circonferenza e cerchio Il rapporto tra la misura della circonferenza (lunghezza) e il suo diametro è costante, ossia è lo stesso numero per tutte le circonferenze; questo numero, che non è razionale, il cui valore è compreso fra 3 e 4, è chiamato π (pi greco) e si scrive: È uguale a π anche il rapporto tra la misura della superficie del cerchio (area) e il quadrato del suo raggio:

Nel settore circolare AOB l’area della porzione di piano delimitata dai due archi di circonferenza e dal raggio OA di lunghezza r vale: a. r2/2 b. πr2/8 c. πr2/6 d. πr2/10 e. r2/3 A O B L’area del triangoloide è data dalla differenza tra l’area del settore circolare, che è ¼ di cerchio di raggio r e l’area di un semicerchio di diametro r, perciò:

Quanto vale il rapporto tra l’area di un cerchio di raggio r e la lunghezza della sua circonferenza? a. π b. 2r c. r/2 d. 1 e. 2/r Ricordiamo le relazioni della lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio in funzione del raggio: da cui:

e quindi uguagliando si ottiene: πR2 = l2 e quindi Dato un quadrato di lato l, il raggio R del cerchio equivalente misura: …. ….. Due figure piane sono equivalenti se hanno la stessa superficie; ricordiamo la formula dell’area rispettivamente del cerchio e del quadrato: A = πR2 e A = l2 e quindi uguagliando si ottiene: πR2 = l2 e quindi occorre conoscere i metodi per eliminare le radici dal denominatore di una frazione

Geometria dello spazio

Poliedri prisma: a questa famiglia appartengono i parallelepipedi, in particolare i parallelepipedi rettangoli, che hanno come facce 6 rettangoli; se sono quadrati abbiamo un CUBO piramide: ha una base costituita da un poligono con N lati e N facce laterali tutte triangolari tronco di piramide: basi parallele, facce laterali trapezi poliedri regolari: hanno come facce poligoni regolari tutti uguali fra loro; sono cinque e sono chiamati solidi platonici tetraedro (piramide, 4 facce triangolari) esaedro (cubo, 6 facce quadrate) ottaedro (8 facce triangolari) dodecaedro (12 facce pentagoni) icosaedro (20 facce triangolari)

Solidi di rotazione Cilindro generato dalla rotazione di un rettangolo attorno alla retta di un lato Cono generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno alla retta di un cateto Tronco di cono generato dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno alla retta del lato perpendicolare alle basi Sfera generata dalla rotazione di un cerchio attorno ad una retta di diametrale

Volumi dei principali solidi formule parallelepipedo V = abc cubo V = l3 piramide V = 1/3 Ah cilindro V = πr2h cono V = 1/3 πr2h sfera V = 4/3 πr3

Superfici dei principali solidi formule parallelepipedo S = 2(ab+ac+bc) cubo S = 6l2 piramide S = ½ pa + B cilindro S = 2πr2 + 2πrh cono S = πr2 + πra sfera S = 4πr2

il parallelepipedo è una figura solida con: 8 vertici, 12 spigoli, 4 diagonali 8 vertici, 8 spigoli, 2 diagonali 4 vertici, 8 spigoli, 2 diagonali 8 vertici, 14 spigoli, 4 diagonali 12 vertici, 8 spigoli, 4 diagonali un vertice è un vertice di una faccia, uno spigolo è un lato di una faccia (che nel parallelepipedo sono parallelogrammi), una diagonale è un segmento che congiunge due vertici che non appartengono alla stessa faccia …

Un triangolo rettangolo ruotando attorno a un cateto genera una figura solida. Quale? un tronco di cono un cono un tronco di piramide un cilindro due coni uniti alla base

Una goccia d’acido oleico del volume di 10-4 cm3 galleggia sulla superficie dell’acqua formando una chiazza circolare del diametro di circa 28 cm. Dare una stima della dimensione dello strato della chiazza (che ha dimensione monomolecolare) 1,6*10-7 cm 28*10-4 cm 1,6*10 cm 1,6*10-17 cm 28*10-4 m la chiazza ha la forma di un cilindro, dove la base è un cerchio avente il diametro di 28 cm e l’altezza è lo spessore dello strato molecolare e quindi

uguale al quadrato del raggio Il rapporto tra il volume della sfera di raggio r e la sua superficie è: costante uguale a π 3r r/3 uguale al quadrato del raggio basta ricordare le due formule rispettive per calcolare il volume e la superficie di una sfera …