OPERAZIONI CON TRINOMI DI II° GRADO a x2 + b x + c Risolvere l’equazione Risolvere la disequazione Scomposizione del trinomio (se possibile) Disegnare la parabola associata Completamento di un quadrato Servirsi della parabola per risolvere la disequazione Paola Suria Arnaldi

Equazioni Equazioni di II°: a x2 + b x + c = 0 Se b è pari: formula ridotta (da sapere e da utilizzare !!) Paola Suria Arnaldi

E’ possibile risolverla in modo intuitivo? EQUAZIONI DI II° GRADO E’ possibile risolverla in modo intuitivo? a x 2 + b x = 0 (c=0; manca il termine noto!) raccolgo x: x (a x + b) = 0; annullamento di un prodotto: x = 0 e (ax+b)=0; le soluzioni sono x = 0 e x = -b/a a x 2 + c = 0 (b=0; manca il termine di I°) X2 + 4 = 0  l’equazione non ammette soluzioni reali; X2 - 4 = 0 x = ± 2 oppure |x| = 2 (attenzione non x = |2|) a x2 = 0 ( b = c = 0); x = 0 è l’unica soluzione!! Paola Suria Arnaldi

DISEQUAZIONI DI I° grado a x + b > 0 x > -b/a x < - b/a a x + b ≥ 0 x ≥ -b/a x ≤ - b/a a x + b < 0 x < -b/a x > - b/a a x + b ≤ 0 x ≤ -b/a x ≥ - b/a Paola Suria Arnaldi

DISEQUAZIONI DI II ° GRADO (metodo algebrico) a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 1 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 2 Calcoliamo Δ = b2 - 4 a c x1 x2 x1 x2 1: x < x1 v x > x 2 (-∞ , x1) U (x2 , + ) 2: x 1 < x < x 2 1: x 1 < x < x 2 2: x < x1 v x > x 2 > 0 a > 0 > 0 a < 0 Paola Suria Arnaldi

DISEQUAZIONI DI II ° GRADO (metodo algebrico-grafico) < 0 a < 0 = 0 a > 0 x1 = x2 1: 2: 1: 2: 1: 2: 1: 2: Paola Suria Arnaldi

DISEQUAZIONI FRATTE Indipendentemente dal trovarsi nel caso 1 o 2, conviene (non è necessario, ma consigliabile) imporre : 2. Costruire una tabella che chiameremo di prodotto/rapporto oppure di segno oppure + + - - 3. Scegliere gli intervalli utili a seconda che ci si trovi nel caso 1 oppure nel caso 2 Tecnica di lavoro Paola Suria Arnaldi

DISEQUAZIONI FRATTE La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Paola Suria Arnaldi

DISEQUAZIONI FRATTE La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) Paola Suria Arnaldi

DISEQUAZIONI FRATTE La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il rapporto/prodotto nei singoli intervalli Paola Suria Arnaldi

DISEQUAZIONI FRATTE La filosofia che sta alle spalle è che: Un prodotto oppure un rapporto di più numeri è positivo (negativo) se il numero di fattori negativi è pari (dispari). Allora vado a cercare quando tutti i fattori sono positivi (automaticamente so anche dove sono negativi!) imponendo ai singoli di essere positivi (i fattori a numeratore possono essere imposti maggiori o uguali a zero!!!! non quelli del denominatore) Costruisco una tabella di segno e vedo che segno avrebbe il rapporto/prodotto nei singoli intervalli Individuo gli intervalli utili Paola Suria Arnaldi

ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!! Paola Suria Arnaldi

ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!! Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zero x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2 - 2 2 y x Paola Suria Arnaldi

ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!! Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zero x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2 domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞) Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0 - 2 2 y x Paola Suria Arnaldi

ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!! Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zero x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2 domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞) Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0 Ma per la legge di annullamento di un rapporto  x2 – 1 = 0  |x| = 1 - 2 2 y x Paola Suria Arnaldi

ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 1 Prendiamo una funzione assegnata ad un esame: Cerchiamo il dominio (l’insieme dei valori reali) che possiamo sostituire alla x per trovare una y reale!!! Ricordando le operazioni con i numeri reali, imponiamo al denominatore di essere diverso da zero x 2 – 4 ≠ 0  |x| ≠ 2 domf: (- ∞, - 2) U (- 2, 2) U (2, + ∞) Cerchiamo gli zeri della funzione ovvero dove f(x)=0  (x 2 – 1 )/(x2 – 4) = 0 Ma per la legge di annullamento di un rapporto  x2 – 1 = 0  |x| = 1 Cerchiamo il segno della f(x): cerchiamo cioè dove f(x) >0 (+) e dove f(x) < 0 (-) (è sufficiente trovare dove f(x) >0, e, per esclusione, sapendo dove f(x) =0 e dove f(x)>0  sappiamo anche dove f(x)>0 - 2 2 y x Paola Suria Arnaldi

RICORDA ESISTENZA DI UN RAPPORTO: è possibile dividere due numeri reali (a / b) se e solo se il denominatore è diverso da zero (b ≠ 0) ANNULLAMENTO DI UN RAPPPORTO: un rapporto è nullo se e solo se è nullo il numeratore (e contemporaneamnete il denominatore è diverso da zero): a / b = 0 se e solo se a = 0 ANNULLAMENTO DI UN PRODOTTO: un prodotto di più fattori è nullo se e solo se è nullo almeno uno dei fattori a * b * c ... = 0 se e solo se a = 0; oppure b=0; oppure.... Paola Suria Arnaldi

RICORDA (esempio) Il rapporto esiste (dominio della funzione) se e solo se x+2 ≠ 0  x ≠ -2 Il rapporto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x-1=0  x= -1 Il prodotto esiste (dominio della funzione) sempre, per ogni valore reale di x Il prodotto si annulla (f(x)=0) (zeri della funzione) se e solo se x - 1=0 oppure x – 2 = 0  x = 1 oppure x = 2 Paola Suria Arnaldi

ESEMPIO primi passi nello studio di funzione 2 f(x)>0: x2 – 1 > 0  |x| > 1 oppure x< -1 V x >1 x2 – 4 > 0  |x| >2 oppure x<-2 V x > 2 -2 - 1 1 2 +++++++++++++++++++--------------------------+++++++++++++++++ ++++++++ ------------------------------------------------------------- +++++++ f(x) +++++ - - - - - - ++++++++++++ - - - - - - - - - ++++++ l’ultima riga fornisce informazioni sul segno della funzione: per tutte le x < -2 la funzione è positiva; per le x comprese tra -2 e -1 la funzione è negativa.... Paola Suria Arnaldi

Continua segno funzione f(x) = 0 ↔ x = - 1 e x = 1 f(x) > 0 ↔ (-∞, -2) U (-1, 1) U (2, + ∞) f(x) < 0 ↔ (-2, -1) U (1, 2) y x -2 -1 1 2 Paola Suria Arnaldi

QUANDO PIU’ CONDIZIONI DEVONO ESSERE VERIFICATE CONTEMPORANEAMENTE I SISTEMI Tecnica di lavoro Si risolvono tutte le disequazioni date Si costruisce una tabella (non di segno!!!!) dove: la linea continua significa che la condizione è soddisfatta La linea tratteggiata significa che la condizione non è soddisfatta La soluzione sarà l’insieme di tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le condizioni contemporaneamente Paola Suria Arnaldi

ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEI SISTEMI Tecnica di soluzione La legge della funzione presenta tre radici, due di indice pari e una di indice dispari. Le operazioni tra numeri reali ci impongono che gli argomenti delle radici di indice pari siano, contemporaneamente, non negativi, cioè maggiori o uguali a zero! 1 3 Le condizioni sono verificate contemporaneamente nell’intervallo tra 1 e 3 Dom f [1, 3] Paola Suria Arnaldi

Dalla ricerca dei risultati alla loro rappresentazione grafica... 1 3 Non ci poniamo il problema di trovare zeri e segno della funzione, perché l’espressione algebrica non è facile da manipolare! Paola Suria Arnaldi

Ancora un esempio...con radici Confrontiamo dominio, zeri e segno di due funzioni, con una legge apparentemente molto simile!!! Constatiamo, con valori numerici semplici, che le due funzioni sono diverse Per alcuni valori della variabile indipendente si ottengono gli stessi risultati, per altri invece.... Paola Suria Arnaldi

RICERCA DEL DOMINIO: funzione 1 L’algebra dei numeri reali impone che l’argomento della radice di indice pari sia non negativa e il denominatore sia diverso da zero. E’ un sistema! Le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente. La prima disequazione è una frazione, l’algebra delle disequazioni fratte consiglia di cercare dove i singoli fattori sono positivi e poi leggere i risultati su una tabella di segno -2 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x) + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + Risolvendo il sistema si vede che la II condizione è già compresa nella prima  Domf (- ∞, -2) U [1, + ∞) Paola Suria Arnaldi

....Continuiamo a cercare le prime informazioni per lo studio di funzione e, poi, a mettere tali condizioni su un grafico (funzione 1) Zeri della funzione: f(x)=0; la legge di annullamento di una radice, prima, e di un rapporto poi, ci consente di scrivere f(x)=0 ↔ x = 1. Segno della funzione: f(x) >0; per l’algebra delle radici di indice pari, una radice di indice pari, dove consente di ottenere un risultato, produce sempre un risultato positivo Riassumiamo: f(x) = 0 ↔ x = 1 f(x) > 0 ↔ qualunque x appartenente al domf f(x) < 0 ↔ per nessuna x appartenente al dominio Paola Suria Arnaldi

Dai calcoli al grafico...funzione 1 -2 1 y x Paola Suria Arnaldi

RICERCA DEL DOMINIO: funzione 2 L’algebra dei numeri reali impone che i due radicandi siano, contemporaneamente, positivi. L’avverbio contemporaneamente ci ricorda che siamo in presenza di un sistema! Ma siamo anche in presenza di una frazione e quindi il denominatore deve essere diverso da zero. Imporremo questa condizione automaticamente, perché non accetteremo l’annullamneto del denominatore. - 2 1 dom f: x ≥ 1 oppure [1, + ∞) Zeri della funzione: x =1 f(x) > 0 : qualunque x appartenente al dominio f(x) < 0 : nessuna x appartenente al dominio Paola Suria Arnaldi

Dai calcoli al grafico...funzione 2 1 y x Paola Suria Arnaldi