Seminario di Matematica Prof. Vigna 29 Maggio 2008 Riccardo Cristoferi Corso di Laurea in Matematica Università di Trento

Notazione e terminologia Una per tutte – Seminario di Matematica –Cristoferi Riccardo Uno spazio affine è una terna ordinatadove è un insieme, è uno spazio vettoriale e soddisfa a: Seè finitamente generato, si pone

Notazione e terminologia Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dati spazi affini, sia Sia una funzione insiemistica., Definiamo è detta mappa affine se la funzione che fa commutare il diagramma è lineare.

Notazione e terminologia Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Uno spazio affine euclideo è una quaterna ordinata dove è uno spazio affine euclideo, e è un prodotto scalare su In tale spazio possiamo definire la distanza fra due punti come

ovvero se rispetta tutte le distanze. Notazione e terminologia Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Una mappa affine fra due spazi affini euclidei è detta isometria se la sua giacitura è ortogonale:

Il Teorema Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Siauno spazio affine euclideo, e sia Sia inoltre una funzione (insiemistica!) t.c. Alloraè unisometria.

Dimostrazione Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Siano allora non sono allineati e quindi formano un riferimento affine di

Dimostrazione Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Costruiamo una mappa affine è unisometria. allora

Idea dimostrazione Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo C AB C A B f f(B) f(A) f(C) Se dimostro che allora ho vinto.

Idea dimostrazione Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo B C A Come dimostro che è lidentità? 2. fissa tutti i punti delluni - reticolo 3. fissa tutte le rette del reticolo 4. fissa tutti i punti 1. rispetta la distanza

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - rispetta la distanza Siano t.c. Allora esistono t.c. sono unitriangoli. P Q E G

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - rispetta la distanza Siano t.c. Allora sono unitriangoli. Inoltre P Q R S

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - rispetta la distanza Allora è impossibile costruire un unitriangolo i cui vertici stanno sulla circonferenza di centro e raggio Sia

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - rispetta la distanza Siano Allora P Q E

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa tutti i punti del reticolo B A C

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa le rette del reticolo Sia un sottogruppo di è detto denso se in ogni intervallo di cè un elemento di Noi considereremo il sottogruppodove

naturale Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa le rette del reticolo è denso in naturali

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa le rette del reticolo Sia distanza rispettata da un naturale positivo. Se allora

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa le rette del reticolo Sia LPLP Consideriamoproiezione ortogonale disu LP.LP. Allora

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa le rette del reticolo Se con punto del reticolo, allora fissa.

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa tutti i punti P

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Dimostrazione - fissa tutti i punti P r s L M N

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo Conclusione