Perché Achille la Tartaruga la raggiunge, eccome! Fabio Bagagiolo Università di Trento Dipartimento di Matematica

Il paradosso di Zenone Un giorno Achille sfida la Tartaruga in una gara di velocità. Le dà un vantaggio iniziale e le dice: “vediamo se riesci a non farti raggiungere!” Con un balzo Achille raggiunge il punto in cui la Tartaruga si trova inizialmente. Ma questa nel frattempo si è spostata un po’ più avanti. Con un altro balzo Achille raggiunge questo nuovo punto in cui si trova la Tartaruga. Ma, ancora, questa si è nel frattempo spostata un po’ più avanti. Achille fa un ulteriore balzo, ma ancora la Tartaruga è andata un pochino più avanti. La gara prosegue quindi in questo modo: Achille raggiunge il punto in cui si trova la Tartaruga quando lui inizia il balzo in avanti, ma nel frattempo la Tartaruga si è spostata un po’ più in là. Achille quindi non raggiungerà mai la Tartaruga.

Istante iniziale

Dopo un tempo t1

Dopo un tempo t1+t2

Dopo un tempo t1+t2+t3

Dopo un tempo t1+t2+t3+t4

Dopo un tempo t1+t2+t3+t4+t5

Cosa significa affermare che Achille non raggiungerà mai la Tartaruga? Significa affermare che qualunque sia il tempo trascorso dall’inizio della gara, Achille starà sempre dietro alla Tartaruga. Ma dire che Achille sta dietro alla Tartaruga è come dire che deve fare ancora qualche balzo in avanti per poterla raggiungere. Cioè, qualunque sia il tempo trascorso dall’inizio della gara, Achille ha compiuto un numero (eventualmente molto grande) di balzi in avanti ancora non sufficiente per raggiungere la Tartaruga.

Ovvero, qualunque tempo noi decidiamo a priori di aspettare, ci sarà un numero di balzi di Achille, non sufficiente per raggiungere la tartaruga, e il cui tempo necessario per compierli tutti è maggiore del tempo da noi deciso di aspettare. Cioè, qualunque tempo T decidiamo di aspettare, ci sarà una quantità n di tempi (dipendente da T) t1,t2,t3,…,tn corrispondente ai balzi di Achille, tale che t1+t2+t3+…+tn>T.

In definitiva, la somma degli infiniti tempi t1+t2+t3+t4+…+t1000+t1001+t1002+… è “grande quanto si vuole”, ovvero vale infinito.

In definitiva, la somma degli infiniti tempi t1+t2+t3+t4+…+t1000+t1001+t1002+… è “grande quanto si vuole”, ovvero vale infinito.

Il ragionamento di Zenone (vedremo sbagliato) Se la somma dei tempi t1+t2+t3+t4+… vale infinito, allora significa che Achille non raggiungerà mai la Tartaruga. Quella somma consiste in un numero infinito di addendi positivi (tutti i tempi tn) e quindi la loro somma deve essere necessariamente infinta. Ne segue che, sicuramente, Achille non raggiungerà mai la Tartaruga.

Non facciamo filosofia L’intento di Zenone, con questo paradosso, era forse quello di provare che se si assume l’infinita suddivisibilità dello spazio e del tempo (come facevano i Pitagorici: spazio e tempo sono formati da entità ultime “infinitesime”: punti e istanti) allora il movimento è impossibile. In realtà, con altri paradossi, egli provava che il movimento è impossibile anche se si assume vero il contrario.

Non facciamo filosofia Queste argomentazioni appartengono strettamente ad un ambito filosofico, nel quale non vogliamo addentrarci. Il nostro intento è solamente quello di prendere a pretesto il paradosso di Zenone per introdurre il concetto matematico di somma di infinti numeri e enunciarne alcune proprietà. In realtà, non è nemmeno scontato che Zenone non sapesse che il suo ragionamento fosse “matematicamente scorretto”. Ma egli era orientato verso altri scopi, per cui sembrava non curarsene.

Il concetto di serie numerica Sia (an)n una successione di numeri reali (positivi, negativi, interi, frazionari decimali,…), cioè una legge che ad ogni numero naturale n (cioè intero non negativo:0,1,2,3,4…) associa un numero reale an. Si dice serie associata alla successione (an)n l’espressione:

Il concetto di serie numerica

Il concetto di serie numerica

Il concetto di serie numerica

Il concetto di serie numerica

Il concetto di serie numerica

Il concetto di serie numerica Il nostro intento è ora quello di dare un significato alla scrittura (somma di infiniti addendi, ovvero somma della serie):

Il concetto di serie numerica In particolare vorremmo poter rispondere alle seguenti domande: Quanto vale la somma della serie? Come calcolarla? Ma, prima di tutto bisogna chiedersi: Che cosa è la somma della serie? Che oggetto matematico è? Come posso definirla, in modo adeguato e rigoroso?

Il concetto di serie numerica Soltanto dopo aver definito in modo rigoroso cosa intendiamo per “somma della serie” possiamo andare alla caccia di essa (la somma). Il compito di un matematico è quindi prima di tutto dare un senso e una buona definizione degli oggetti che si vanno a considerare. Dopo di che, una volta ben definito che cosa si sta cercando, si cercherà di ottenere dei risultati che garantiscano, sotto opportune ipotesi, l’esistenza degli oggetti in questione e gli eventuali algoritmi per trovarli (calcolarli). Un passo ulteriore sarà quello di studiare le proprietà degli oggetti prima definiti e poi verificatane l’esistenza.

Importanza delle serie Perché occuparci del concetto di serie, cioè di somma di infiniti addendi? Se fosse solo per il paradosso di Achille e la Tartaruga, sarebbe una motivazione un po’ debole. In realtà, il bisogno di poter sommare un numero infinito di addendi è molto frequente nella matematica, soprattutto in quella moderna, che molto spesso si occupa, appunto, dell’infinito.

Importanza delle serie Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

Importanza delle serie Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

Importanza delle serie Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

Importanza delle serie Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

Importanza delle serie Fin dall’antichità, i matematici si sono trovati a dover fare somme di un numero elevato di addendi. Per esempio nel calcolare aree di regioni curve, approssimandole con regioni delimitate da spezzate con un numero molto alto di segmenti. Oppure, collegato al precedente, per calcolare valori decimali di π, ottenendolo come rapporto tra il perimetro di poligoni regolari iscritti in una circonferenza con un numero molto elevato di lati e il diametro della circonferenza stessa. Archimede di Siracusa.

Importanza delle serie Quali sono le funzioni più facili da “maneggiare”: valutarle in un punto, disegnarne il grafico, derivarle, integrarle? I polinomi! Se tutte le funzioni fossero polinomi, la vita sarebbe più facile. Data una funzione qualunque, è possibile “approssimarla” con un polinomio? E qual è l’errore che si commette con tale approssimazione?

Serie di potenze

Approssimazione con serie di potenze Sotto opportune ipotesi, ma abbastanza generali, una funzione (non polinomio) può essere scritta come serie di potenze.

Approssimazione con serie di potenze I primi studi su questo tipo di approssimazione sono dovuti a Taylor Altri tipi di approssimazioni sono le cosiddette serie di Fourier, che sostituisce alle serie di potenze le serie trigonometriche, formate da seni e coseni.

Come definire la (eventuale) somma di una serie Cosa sappiamo già fare rispetto all’operazione “somma”? Sappiamo già fare la somma di un numero finito di addendi: 1+3+5-6+7=10. Cosa ci dice di fare una serie?

Come definire la (eventuale) somma di una serie Una serie ci dice: prendi a0, e questo lo sappiamo fare; poi ci dice: prendi a1 e sommalo ad a0, e anche questo lo sappiamo fare: a0+a1; poi ancora: prendi a2 e sommalo al risultato prima ottenuto, e anche questo lo sappiamo fare:a0+a1+a2; e ancora: prendi a3 e sommalo al risultato prima ottenuto, e anche questo lo sappiamo fare:a0+a1+a2+a3; e così via. In definitiva, una serie ci dice di fare la somma degli infinti addendi, ma ci dice anche in che ordine dobbiamo sommarli!

Come definire la (eventuale) somma di una serie E’ quindi abbastanza naturale definire le cosiddette somme parziali di ordine k. Sia k un numero intero non negativo, diciamo somma parziale di ordine k della serie, la somma dei primi k addendi: sk=a0+a1+a2+a3+…+ak

Esempi di somme parziali

Definizione di somma Diremo che una serie ha per somma il numero reale S, se la successione delle somme parziali sk “tende” a S. Cioè se, al crescere di k, ovvero al crescere del numero di addendi che vado a sommare, le somme parziali si “avvicinano” sempre di più a S.

Somma finita Il numero reale S è la somma della serie se, preso un qualunque intervallo centrato in S, esiste k tale che per ogni k>k sk sta nell’intervallo S sk+1 sk+3 sk+2 sk+5 sk+k sk+4

Somma +∞ Si dice che la somma della serie è +∞ se, preso un qualunque numero reale M, esiste k tale che per ogni k>k sk>M M sk+1 sk+3 sk+2 sk+5 sk+k sk+4

Somma -∞ Si dice che la somma della serie è -∞ se, preso un qualunque numero reale M, esiste k tale che per ogni k>k sk<M M sk+1 sk+3 sk+2 sk+5 sk+k sk+4

Definizioni Se la serie ha per somma un numero reale S, si dice che la serie converge ad S, o che la serie è convergente. Se la serie ha per somma +∞, si dice che la serie diverge a +∞, o che la serie è divergente. Se la serie ha per somma -∞, si dice che la serie diverge a -∞, o che la serie è divergente. Se la serie non ha somma (né finita né infinita) si dice che la serie è oscillante.

Qual è, se esiste, la somma della seguente serie?

Qual è, se esiste, la somma della seguente serie?

Sapendo che la seguente serie converge, calcolarne la somma S (serie geometrica di ragione ½)

Una condizione necessaria per la convergenza Condizione necessaria affinché una serie converga è che il suo termine generale (an)n sia infinitesimo. Cioè che “diventi sempre più piccolo, in valore assoluto”. limn→∞ |an|=0 |an+n|

Una condizione necessaria Se infatti fosse, per esempio, an>1 per ogni n, allora si avrebbe immediatamente che la serie diverge a +∞. Questo si avvicina al ragionamento di Zenone: ogni volta aggiungo una quantità maggiore di uno e quindi le somme parziali diventano grandi quanto si vuole. Attenzione: questa e’ solo una condizione necessaria, non anche sufficiente: se la serie converge, allora necessariamente an è infinitesimo, ma può succedere comunque che an sia infinitesimo senza che la serie converga.

Esempi

Esempi

Dov’è l’errore?

Il problema delle serie oscillanti In realtà, questo errore, se così si può chiamare, fu addirittura fatto anche da Eulero. Il fatto è che, con la moderna definizione di serie convergente (Cauchy), le serie oscillanti non sono più “un problema”. Nel passato si voleva invece dare comunque un senso ad esse, dando un’opportuna “definizione di somma” . Anche in epoche più recenti, pur sapendo che quelle serie non hanno somma, vari matematici cercarono di dare comunque a loro un significato. Ad esempio Cesaro (1859-1906) diede una definizione di convergenza per serie, sostituendo il limite delle somme parziali con il limite delle loro medie aritmetiche. E nel caso della serie di prima, questa definizione di somma dà esattamente 1/2

Proprietà della somma di una serie Abbiamo visto che, in un qualche modo, il concetto di somma di una serie estende quello di somma di un numero finito di addendi. Quindi, al matematico, sorge spontanea una domanda: Quali proprietà della usuale somma valgono anche per la somma di infiniti addendi, cioè le serie?

Proprietà della somma di una serie Qual è la proprietà più “popolare” per l’operazione somma? Forse la commutatività.

Proprietà della somma di una serie Domanda: vale la proprietà commutativa per le serie? Cioè, data una serie convergente a una somma S, riordinando gli addendi an, si ottiene ancora una serie convergente a S?

Riordinamento di una serie

La commutatività non vale Purtroppo, la proprietà commutativa non vale per le serie. Essa vale solo per le serie assolutamente convergenti.

L’assoluta convergenza

Due Teoremi Teorema: data una serie assolutamente convergente, allora ogni suo riordinamento è ancora convergente alla medesima somma. Teorema (Riemann 1826-1866): data una serie convergente ma non assolutamente convergente, allora si ha: per ogni S reale, esiste un riordinamento della serie che converge a S, esiste un riordinamento della serie che diverge a +∞, esiste un riordinamento della serie che diverge a -∞, esiste un riordinamento della serie che oscilla.

Esempio (serie armonica alternata) +

Torniamo ad Achille ed alla Tartaruga Supponiamo che sia Achille che la Tartaruga corrano a velocità costante, e che Achille corra 10 volte più veloce della Tartaruga. Sia c la velocità della Tartaruga (ad esempio 2 km/h). Quindi la velocità di Achille e 10c (20 km/h). Sia infine d il vantaggio iniziale della Tartaruga (ad esempio 0.1 km).

Torniamo ad Achille ed alla Tartaruga

Torniamo ad Achille e la Tartaruga

Torniamo ad Achille e la Tartaruga