Poligoni inscritti e circoscritti Preparatevi all’esame di matematica e scienze, studiando queste pagine, scaricate da internet e rielaborate da me, per il prossimo incontro. Fate attenzione ad alcune imprecisioni, che volutamente non ho modificato, per incrementare il vostro spirito critico by iprof

Circonferenza e cerchio

Definizione di circonferenza Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro della circonferenza

Definizione di cerchio Si definisce cerchio la porzione di piano racchiusa da una circonferenza

Raggio Si definisce raggio di una circonferenza in segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza

Corda e diametro Si definisce corda qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza Si definisce diametro una corda che passa per il centro della circonferenza È facile vedere che : d = 2r

Rapporto fra circonferenza e diametro Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionali Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2 Nel nostro caso abbiamo che: p 3,14… C d p

p 2 p Formule d r C = p x 2r C = p x d C C Ma d = 2 x r allora Formule inverse Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Circonferenza uguale a p greco per il diametro C C d p r 2 p

Area del cerchio Consideriamo i seguenti poligoni regolari Un poligono a 6 lati Un poligono a 10 lati Un poligono a 24 lati La formula per calcolare l’area di questi poligoni è sempre la stessa: A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste) 2P = n x l (n = numero dei lati l lato) Ogni poligono è inscritto in un circonferenza ed in rosso è mostrato il raggio Asserviamo cosa succede al poligono all’aumentare del numero dei lati fissando prima la nostra attenzione sulla differenza fra poligono e circonferenza circoscritta

Puoi osservare che all’aumentare del numero dei lati il poligono tende sempre di più ad assomigliare ad una circonferenza tanto che già a 24 lati si fa fatica a distinguerli Adesso fissiamo la nostra attenzione sul raggio e sull’apotema Se noi facciamo diventare infinito il numero dei lati il poligono coinciderà con la circonferenza e l’apotema con il raggio Si nota che nella prima figura la differenza e percettibile ma nell’ultima essa diventa trascurabile

A = p r2 A = (2P x a) : 2 r c = 2p r Conclusioni Nella formula A = (2P x a) : 2 diventa diventa r c = 2p r segue A = (2pr x r) : 2 Formula della lunghezza di una circonferenza infine L’area del cerchio è data dal prodotto di p greco per il raggio al quadrato A = p r2

Formula inversa Il raggio di un cerchio è uguale alla radice quadrata dell’area fratto p greco A r p

Rappresentazione grafica: a sx angoli alla circonferenza a dx angoli al centro ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E ANGOLI AL CENTRO

2 = o TEOREMA: L’ANGLO AL CENTRO E’ SEMPRE IL DOPPIO DELL’ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA CHE INSISTE SULLO STESSO ARCO

Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo. Infatti l’angolo alla circonferenza α è la metà del corrispondente angolo al centro ß che è piatto α ß COROLLARIO

Altro esempio di proporzionalità è il seguente: In una stessa circonferenza gli archi sono direttamente proporzionali ai corrispondenti angoli al centro. Se l=m allora 1=2 Alla somma l+m corrsponde la somma 1+2 l 1 2 m 1 e 2 sono gli angoli al centro (voi siete abituati ad indicare gli angoli con le lettere greche…..)

1 Poligoni inscritti e circoscritti Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono. Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza è inscritta nel poligono e il raggio si chiama apotema del poligono. Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia: inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza. 1

2 A+D = 180° E+B = 180° Caso dei quadrilateri Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti: un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari A+D = 180° E+B = 180° un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. AB + DE ≅ AE + BD 2

3 Caso dei quadrilateri Conseguenze: un parallelogramma generico non è inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti sono congruenti ma non supplementari e non è nemmeno circoscrittibile perché la somma di due lati opposti non è congruente alla somma degli altri due un rettangolo invece è sempre inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti, essendo retti, sono supplementari; non è invece circoscrittibile un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza perché, essendo i lati congruenti, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due; non è invece inscrittibile perché gli angoli opposti non sono supplementari un quadrato è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza perché si comporta come un rettangolo (quindi è inscrittibile) e come un rombo (quindi è circoscrittibile) 3

Poligoni regolari Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare. Se un poligono è regolare allora: ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro 4

6 Punti notevoli di un triangolo: Punti notevoli dei triangoli gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, centro della circonferenza circoscritta al triangolo le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto incentro, centro della circonferenza inscritta le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro 6

Consideriamo un esagono regolare inscritto in una circonferenza 1 O B r L’ANGOLO 1 è LA SESTA PARTE DELL’ANGOLO GIRO, QUINDI è DI 60°.Il triangolo OAB è isoscele perché i lati sono uguali al raggio. Quindi gli angli alla base sono di 60°. Pertanto il triangolo, avendo glia angoli congruenti, è equilatero. AB= r

AO ≅ 2ON BO ≅ 2OS CO ≅ 2OM 7 Punti notevoli dei triangoli le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra AO ≅ 2ON BO ≅ 2OS CO ≅ 2OM Un triangolo è sia inscrittibile che circoscrittibile a un circonferenza; i centri delle due circonferenze coincidono solo nel caso del triangolo equilatero. 7