Impostazione Assiomatica del Calcolo della Probabilità Trattazione Semplificata

Spazio Campionario (S): Lo Spazio Campionario S di un esperimento rappresenta l’insieme di tutti i suoi possibili risultati (o esiti o punti). Se S è numerabile: S si dice Discreto Se S è non numerabile: S si dice Continuo Dicesi Evento un qualsiasi sottoinsieme E di S ( E Ì S ): Se E = S: E si dice Evento certo Se E = f: E si dice Evento impossibile

Spazio Campionario (S): Siano E1 ed E2 due eventi di S, si definisce Evento Somma E1ÈE2 Evento Prodotto E1ÇE2 S E1 E2 S E1 E2 Se E1ÇE2 = f E1 ed E2 si dicono Eventi Incompatibili

Se in S è definita una probabilità, S è detto Spazio di Probabilità Si ammette che è possibile associare a ogni evento E di S un numero reale P(E), detto probabilità dell’evento E, che soddisfa i seguenti Assiomi: A1. P(E) ³ 0 A2. P(S) = 1 A3. E1ÇE2 = f Û P(E1ÈE2) = P(E1) + P(E2) Se in S è definita una probabilità, S è detto Spazio di Probabilità

Teoremi La Probabilità dell’evento impossibile è zero. P(f)=0 Dagli assiomi seguono immediatamente i seguenti teoremi T1. Probabilità dell’evento impossibile La Probabilità dell’evento impossibile è zero. P(f)=0 Proof. 1. EÈf=E Þ P(EÈf)=P(E) 2. EÇf=f Þ P(EÈf)=P(E)+P(f) per l’assioma 3 Considerando le due espressioni sottolineate si ricava 3. P(E) = P(EÈf)=P(E)+P(f) Þ P(f) = 0 c.v.d.

Teoremi Qualunque sia l’evento E, risulta sempre 0 £ P(E) £ 1 T3. Teorema della Probabilità Totale Dati due eventi E1 ed E2, la probabilità che se ne verifichi almeno uno é pari alla somma della probabilità dei due eventi diminuita della probabilità della loro intersezione P(E1ÈE2) = P(E1)+ P(E2) -P(E1ÇE2)

Spazi Campionari Equiprobabili Se tutti gli eventi elementari E di uno spazio campionario S hanno la stessa probabilità P, S è detto Equiprobabile o Uniforme. Spazi Campionari Equiprobabili T4. Se uno spazio equiprobabile è composto da N elementi E, ognuno di essi ha probabilità 1/N P(E) = 1/N T5. Se uno spazio equiprobabile S ha dimensione N e l’elemento E ha dimensione k, allora la probabilità di E è data dall’espressione: P(E) = k/N

Probabilità Matematica Il risultato del teorema 5 afferma che la probabilità di ottenere un certo evento è data dal rapporto fra i casi faforevoli e quelli possibili: numero casi possibili numero casi favorevoli a E P(E) =

Probabilità Statistica Empiricamente è però possibile identificare la probabilità di un evento con la frequenza relativa a quell’evento numero di prove ripetute numero di uscite di E f(E) =

Le due formule sono compatibili Le due formule sono compatibili? Cioè, esiste un significativo punto di convergenza per cui si possa affermare che la probabilità matematica (o a priori) e la probabilità statistica (o a posteriori) diano lo stesso risultato?

SI !

Dalle prove dei lanci dei dadi e delle monete che avete eseguito è emerso che man mano che si aumenta il numero delle ripetizioni, il valore della frequenza (i.e. della probabilità statistica) si avvicina al valore della probabilità matematica!