IL MODELLO DI MALTHUS NEL CASO CONTINUO Il modello discreto si basa sull’ipotesi cha la riproduzione sia concentrata in una stagione dell’anno. Il passaggio da una generazione all’altra è descritto dalla variabile tempo che assume valori interi: In molte popolazione questa approssimazione non è corretta, gli individui si riproducono con continuità . Occorre formulare un modello in cui il tempo è una variabile che assume valori reali Invece di studiare il passaggio dalla generazione alla generazione si considera un breve intervallo di tempo

Il numero di nati è proporzionale a: IPOTESI (Analoghe al caso discreto) Il numero di nati è proporzionale a: Numero di individui presenti al tempo t : Tasso medio di natalità nell’unita di tempo Durata dell’intervallo di tempo considerata

Il numero di morti è proporzionale a: Numero di individui presenti al tempo t : Tasso medio di mortalità nell’unita di tempo Durata dell’intervallo di tempo considerata

L’equazione di bilancio diventa: Per intervalli di tempo molto piccoli si ottiene: Equazione differenziale

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Il caso continuo risulta equivalente al caso discreto

Andamento qualitativo dell’abbondanza della popolazione malthusiana continua al variare del parametro r r>0 crescita esponenziale r<0 declina all’estinzione

DELLA CRESCITA ESPONENZIALE ALTRE APPLICAZIONI DELLA CRESCITA ESPONENZIALE Gli stessi modelli possono descrivere fenomeni che appaiono in ambiti molto diversi Datazione di materiale biologico (decadimento radioattivo) Livello di glucosio nel sangue Modello di diffusione dell’AIDS (Modello di Ho)

DATAZIONE AL CARBONIO C14 E’ noto che gli elementi radioattivi sono instabili, nel senso che decadono in isotopi di altri elementi mediante l’emissione di particelle alpha (nuclei di elio), particelle beta (elettroni) o fotoni. Si può descrivere il processo di decadimento di un numero elevato di nuclei radioattivi basandosi sulla seguente legge sperimentale: La diminuizione del numero di nuclei radioattivi durante un intervallo di tempo è direttamente proporzionale alla lunghezza dell’intervallo e al numero di nuclei presenti all’inizio dell’intervallo.

Numero di nuclei radioattivi al tempo t Intervallo di tempo K costante di proporzionalità è un numero intero (numero di nuclei) varia con continuità. È necessario idealizzare il fenomeno interpretando come misura continua anziché discreta (per es. misura di massa).

Si ottiene cioè l’equazione differenziale lineare: che risolta (separando le variabili ed integrando, vedi Malthus continuo) fornisce la soluzione: Legge di decadimento radioattivo valore iniziale

Half-time (o tempo di dimezzamento) : Con tale valore di k il modello può essere utilizzato per avere predizioni di per tempi

DETERMINAZIONE DELL’ETA’ DI REPERTI ARCHEOLOGICI Una delle prime strumentazioni utilizzate al British Museum per la datazione al C14   DETERMINAZIONE DELL’ETA’ DI REPERTI ARCHEOLOGICI

La concentrazione di C14 in un determinato reperto biologico segue E’ noto che una piccola percentuale del carbonio presente in atmosfera si presenta nella forma radioattiva C14. Questa si fissa nei viventi con una concentrazione iniziale di una parte su 750 miliardi, cioè I nuclei C14 decadono in atomi di azoto emettendo particelle beta. Quindi gli esseri viventi (o che sono vissuti ) contengono una certa quantità di nuclei radioattivi C14. La concentrazione di C14 in un determinato reperto biologico segue la legge: ed è noto che il tempo di dimezzamento del C14 è dato da (in anni):

Utilizzando questa informazione, si calcola la costante k per il carbonio C14: Conoscendo la concentrazione attuale (tempo t) di C14 in un tessuto si ha allora : Se ad esempio fosse:

LIVELLO DI GLUCOSIO NEL SANGUE

Situazione : ad un paziente viene somministrato del glucosio attraverso fleboclisi (R mg per secondo per litro di sangue) Il glucosio viene quindi metabolizzato con una velocità proporzionale alla sua concentrazione. concentrazione di glucosio al tempo t L’andamento di x al variare del tempo seguirà allora una legge del tipo:

Ponendo t0=0 e dunque al tendere di

Problema: Il paziente ha un livello iniziale di glucosio Il medico vuole innalzare questo livello a Per quanto tempo è necessario tenere il paziente sotto flebo?

Possiamo utilizzare la precedente formula : cercando il valore tale che:

Problema: Se il paziente viene sottoposto a infusione per un tempo T, quanto tempo occorre per tornare al livello iniziale? Problema: Al tempo T si avrà: Successivamente cessa la somministrazione di glucosio e quindi la variazione di concentrazione seguirà la legge : (si è posto R=0) con valore iniziale al tempo T

Riassumendo: Occorre ora trovare tale che: cioè: è il valore misurato al tempo T , quindi è un valore noto

Volendo una formula che dipende solo da e non da x(T), basta sostituire il valore già calcolato ottenendo: (esercizio)