RICERCA OPERATIVA (PROBLEMI DI SCELTA) G.Barbaro

Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione Il termine “ RICERCA OPERATIVA” sembra sia stato usato per la prima volta nel 1939, ma già precedentemente alcuni scienziati si erano occupati di problemi decisionali: Fra gli esempi isolati, ma importanti di anticipazione dei metodi della RO possiamo ricordare i seguenti : Nel 1776 il matematico G. MONGE ha affrontato un problema di trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici. Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzione Nel 1908 A.K. ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico telefonico. Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda guerra mondiale. G.Barbaro

Oggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO. Durante la II Guerra Mondiale i responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro aiuto, quando iniziò l’attacco aereo tedesco sulla Gran Bretagna. L’aiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava l’adozione del radar nella strategia di difesa aerea. Piccoli gruppi di scienziati, provenienti da diverse discipline, lavorarono su questi problemi con notevole successo nel periodo 1939-1940. Questi gruppi di scienziati avevano come riferimenti i responsabili delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come “Ricerca Operativa”. Dopo la guerra, questi operatori vennero, poco a poco, assorbiti dall’industria, dalle aziende di consulenza, da università e da organizzazioni statali. Oggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO. G.Barbaro

DEFINIZIONE DI RICERCA OPERATIVA (MORSE E KIMBALL) La ricerca operativa è l’applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a sistemi complessi e organizzati per fornire al personale dirigente soluzioni utilizzabili nei processi decisionali .

UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO ESEMPLIFICAZIONE UFFICIO APPROVVIGIONAMENTO DECISIONI IN MERITO A: QUANTITA’ DI MATERIA PRIMA DA ACQUISTARE DA QUALE FORNITORE ACQUISTARE QUANDO ACQUISTARE

Fasi di una ricerca operativa 1 – Formulazione del problema Fasi di una ricerca operativa 2 – Raccolta dei dati 3 – Costruzione del modello matematico 4 – Ricerca di una soluzione 5 – Controllo del modello e della soluzione G.Barbaro

FORMULAZIONE DEL PROBLEMA E RACCOLTA DATI In una prima fase è necessario determinare con chiarezza gli obbiettivi appropriati, i vincoli da porre, le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dell’organizzazione ecc… Questa fase è fondamentale, perché influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioè la raccolta dei dati che saranno utilizzati per le fasi successive G.Barbaro

Costruzione del modello matematico I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche. Ci sarà sempre una funzione obiettivo da massimizzare(ricavi, profitti, vendite) o minimizzare(costi, perdite, macchinari). Tale funzione dipenderà da una o più variabili d’azione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori. Le variabili spesso sono legate tra di loro, e devono sottostare a determinate limitazioni. Tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni. G.Barbaro

MODELLO MATEMATICO Funzione Obiettivo Y = f (x 1, x 2…………..x n) La funzione obiettivo esprime un costo, un ricavo, un guadagn0 + Vincoli espressi da equazioni e\o disequazioni I vincoli sono di due tipologie: vincoli di segno(che esprimono la positività delle variabili di azione) e vincoli tecnici(esprimo delle situazioni reali p.es. capacità del magazzino) Le variabili x1 , x2 …. xn si chiamano variabili di azione e sono le variabili controllabili

Creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale, o con i metodi della matematica classica, o con metodi di analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarla. Una soluzione ottimale è quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello Trovata la soluzione ottimale nel modello, bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtà e la soluzione deve essere valutata. G.Barbaro

ESEMPIO Un’azienda che produce concime ha una capacità produttiva massima pari a 220 quintali alla settimana. Per la sua produzione sostiene un costo fisso pari a 15.000 euro settimanali ed un costo variabile di 30 euro al quintale. Il prezzo di vendita del prodotto è legato alla domanda dalla funzione: x = 250 – 0,5 * p Determinare la quantità da produrre settimanalmente per massimizzare il guadagno

P = 500 – 2*x Il guadagno è dato da : Y = (500 – 2*x)*x –15.000 –30*x Y = -2x2 +470 –15.000 con vincoli: x>=0 x<=220 Il modello risolto con l’analisi ci conduce alla conclusione che sarà necessario vendere 117,5 quintali di concime

CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI R. O. Max.-min(continui-discreti) ad una o due variabili Scorte Scelte tra due o più alternative Programmazione Lineare EFFETTI IMMEDIATI CONDIZIONI CERTEZZA R.O. EFFETTI DIFFERITI Investimenti Finanziari e Industriali EFFETTI IMMEDIATI CONDIZIONI INCERTEZZA EFFETTI DIFFERITI

Costo totale che verrà indicato con C(x) Nei problemi di R.O. spesso si useranno i seguenti termini e le seguenti relazioni: Costo totale che verrà indicato con C(x) C(x) = Costo fisso + Costo variabile= Cf+ Cv Costo fisso è il costo che non dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Costo variabile è il costo che dipende dalla quantità x di beni prodotti e/o venduti Ricavo è ciò che si ottiene dalla vendita di uno o più prodoti. Lo indicheremo con R(x) = p·x cioè il prodotto del prezzo per la quantità venduta Guadagno o Utile. Verrà indicato con U(x) = R(x) –C(x) G.Barbaro

PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO In questi problemi dovrà essere ricercato il MIN nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Costo In questi problemi dovrà essere ricercato il MAX nel caso in cui la funzione obiettivo rappresenti un Utile Vi sono problemi nei quali le variabili di azione possono assumere solo valori interi. In tal caso si parla di problemi DISCRETI. Viceversa vi sono problemi nei quali le variabili possono assumere tutti i valori interi e non interi. Si parla di problemi CONTINUI. G.Barbaro

E’ un problema di tipo continuo. Un commerciante acquista prodotti al costo di 0,7 euro al kg e li rivende a 1,2 euro al kg. Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di 6 euro e al massimo può trasportare giornalmente 20 kg di merce. Calcolare la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo Utile. E’ un problema di tipo continuo. x = quantità prodotti venduti (problema continuo) R(x) = 1,2·x C(x) = 6 + 0,7·x U(x) = R(x) - C(x) = 1,2·x – (6 + 0,7·x ) = 0,5·x - 6 G.Barbaro

Riassumendo il modello matematico sarà il seguente: U(x) = 0,5·x - 6 Funzione Obiettivo Con vincoli x ≥ 0 Vincolo di segno e x ≤ 20 Vincoli tecnici In x =12 si il punto di equilibrio Break-even point Che divide la zona di perdita da quella di utile Per x=20 si ha il MAX utile U P G.Barbaro

Un laboratorio artigianale fabbrica birra. Problema Un laboratorio artigianale fabbrica birra. Il prezzo unitario è legato alla quantità x venduta secondo la seguente relazione p= 50 – 0,1 x . Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa fissa di euro 1000 più un costo unitario variabile Cuv= 10 euro . Determinare la quantità di birra da produrre per ottenere il massimo guadagno. X = numero litri prodotti e venduti (problema continuo) R(x) = (50-0,1x) · x C = 1000 + 10· x U(x) = R(x) – C(x) = (50-0,1x) · x - (1000 + 10· x) Quindi U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 G.Barbaro

Quindi il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 Funzione obiettivo x ≥ 0 vincolo di segno(non ci sono vincoli tecnici) In questo esempio la funzione obiettivo è una parabola, pertanto per disegnarla occorre trovarne concavità, vertice e intersezione con gli assi (in particolare con l’asse delle x). Xv = -b/2a = 200 Yv = 3000 (sostituendo nella funzione) Intersezioni con l’asse delle x risolvendo l’equazione: -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 = 0 x1 = 26,8 x2 = 373,2 G.Barbaro

I limiti di produttività(cioè le intersezioni della funzione con l’asse delle x) sono dati dai valori di 26,8 373,2 litri Il massimo utile pari a 3000 euro si ottiene producendo e vendendo 200 litri di birra G.Barbaro

Il Modello matematico sarà costituito da: Come cambierebbe il problema inserendo un limite alla capacità produttiva di 300 litri di birra al giorno ? Il Modello matematico sarà costituito da: U(x) = -0,1 · x2 + 40 · x- 1000 Funzione obiettivo x ≥ 0 E x ≤ 300 vincolo di segno e tecnici Il massimo corrisponde sempre a 200 litri di birra G.Barbaro

Nel caso di funzione ad una variabile: In generale per la ricerca del massimo o del minimo occorre ricorrere all’analisi matematica Nel caso di funzione ad una variabile: Calcolo della derivata prima Porre la derivata prima uguale a zero ( C.N.M.N.S.) Studio del segno della derivata prima (primo metodo) o calcolo della derivata seconda (secondo metodo) G.Barbaro

Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili Nel caso di funzione a due variabili senza vincoli si deve procedere al calcolo delle derivate parziali prime e porle uguali a zero: Trovati i punti critici occorre procedere al calcolo dell’Hessiano semplice: Fare riferimento allo studio delle funzioni a due variabili G.Barbaro

Approfondimento sui problemi di massimo e minimo discreti Nei problemi discreti la variabile di azione(o le variabili) possono assumere solo valori interi. Può accadere che non sia possibile esprimere attraverso una relazione matematica il legame tra prezzo e quantità venduta o tra costo e quantità venduta. In tal caso si aggira l’ostacolo utilizzando una tecnica differente G.Barbaro

Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione: L’analisi di un problema discreto di questo tipo si può condurre anche utilizzando la cosiddetta ANALISI MARGINALE Con tale tecnica occorre calcolare la differenza di una funzione: Δ f = f(x+1) – f(x) tale differenza è detta incremento marginale Se gli incrementi marginali sono positivi la funzione è crescente, se sono negativi è decrescente. Quando gli incrementi marginali da positivi passano a negativi significa che si è in presenza di un massimo Quando gli incrementi marginali da negativi passano a positivi significa che siamo in presenza di un minimo In pratica per risolvere un problema discreto con questa tecnica si calcola il ricavo marginale ed il costo marginale G.Barbaro

n.r. lotti 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo unitario 400 380 360 350 320 280 250 ESEMPIO Un prodotto è fabbricato in lotti da 50 pezzi ciascuno. I costi fissi ammontano a 500 euro al giorno, mentre il costo variabile è di 2,8 euro al pezzo. La produttività giornaliera massima è di 8 lotti. Il prezzo di vendita al lotto non è costante , ma varia con il numero di lotti prodotti secondo al seguente tabella: n.r. lotti 1 2 3 4 5 6 7 8 Prezzo unitario 400 380 360 350 320 280 250 Determinare il numero di lotti che occorre vendere per avere il massimo utile G.Barbaro

n.ro lotti costi ricavo guadagno Applichiamo questa tecnica all’esempio precedente: Costo per lotto 2,8·50 =140 euro a cui aggiungere il costo fisso n.ro lotti costi ricavo guadagno Costo marginale Ricavo marginale 1 640 400 -240 - 2 780 800 20 140 200 3 920 1140 220 340 4 1060 1440 380 300 5 1200 1750 550 310 6 1340 1920 580 170 7 1480 1960 480 40 8 1620 2000 Max. Conviene espandere la produzione finchè il ricavo marginale supera il costo marginale G.Barbaro

Riassumendo in un problema discreto possiamo avere due situazioni: I legami tra i dati e le variabili si possono esprimere attraverso relazioni matematiche; in tal caso si scrive la funzione obiettivo e se ne ricerca max. min. approssimando gli eventuali dati non interi Non è possibile esprimere i legami tra dati e variabili con relazioni matematiche; in tal caso si ricorre alle tabelle(come nell’esempio) utilizzando l’analisi marginale G.Barbaro

PROBLEMI DI SCELTA TRA DUE O PIU’ ALTERNATIVE Nei problemi ad una sola alternativa, lo scopo era quello di determinare un valore della variabile x che rendesse minima o massima la funzione obiettivo. Vi sono anche dei problemi in cui lo scopo è quello di scegliere l'alternativa più conveniente al variare di x tra funzioni che esprimono , per esempio procedimenti differenti per la fabbricazione di un prodotto, oppure tariffe diverse per il trasporto di merce. Per arrivare alla soluzione di questi problemi sarà necessario: rappresentare graficamente, su un unico piano cartesiano, le diverse alternative; determinarne i punti di intersezione che rappresentano i punti di indifferenza(BEP); determinare dal grafico gli intervalli per i quali conviene una o l’altra alternativa G.Barbaro

Con quali modalità effettuare la scelta tra le due offerte? ESEMPIO Per il trasporto di una merce un’impresa può ricorrere a due differenti ditte per il trasporto. La prima (A) chiede un fisso di 50 euro per ogni spedizione più un costo di 0,5 euro per ogni chilometro del tragitto; La seconda (B) chiede un fisso di 30 euro più un costo per chilometro pari a 1 euro. Con quali modalità effettuare la scelta tra le due offerte? G.Barbaro

Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale. E’ un problema di costi. Quindi si rappresentano le due funzioni del costo totale. Funzioni obiettivo ALTERNATIVA A C(x) = 50 + 0,5 · x ALTERNATIVA B C(x) = 30 + 1 · x x ≥ 0 vincolo Dove x, che è la variabile di azione, rappresenta il numero di km G.Barbaro

X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP) Graficamente: X = 40 km rappresenta il punto di indifferenza (BEP) Con x < 40 km conviene l ‘offerta B Con x > 40 km conviene l’offerta A G.Barbaro

alle seguenti condizioni : 10 euro a tonnellata ESEMPIO Per trasportare della merce, ci si può servire di 3 imprese A, B, C, le quali offrono i loro servizi alle seguenti condizioni : 10 euro a tonnellata 120 euro fissi, più 6 euro a tonnellata 200 euro fissi, più 5 a tonnellata Determinare quando sarà più conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese. Questo è un esempio più complesso essendo tre le alternative G.Barbaro

Graficamente la situazione è la seguente Fina a 30 ton conviene l’offerta A Fra 30 e 80 tonnellate conviene l’offerta B Oltre 80 tonnellate conviene l’offerta C G.Barbaro

Costo variabile = 2 euro/unità ESEMPIO Una casa editrioce vuole stampare dei libri in edizione economica il cui prezzo di vendita è fissato in 10 euro;per la stampa deve decidere tra le seguenti alternative: LAVORAZIONE A Costo fisso = 4000 euro Costo variabile = 2 euro/unità Costo pubblicità = 0,1 % del quadrato del numero di libri LAVORAZIONE B Far eseguire il lavoro da terzi con un Costo totale = 8 euro/unità La massima tiratura consentita è di 6000 libri. G.Barbaro

Il modello matematico è il seguente: CA(x) = 4000 + 2x +0,001 x2 CB(x) = 6x UA(x) = 10x – (4000 + 2x +0,001 x2) = -0,001x2 +8x -4000 UB(x) = 10x -8x = 2 x Con x ≥ 0 e x ≤ 6000 G.Barbaro

Per 5237< x < 6000 conviene la lavorazione B Graficamente: Per 0<x < 763 conviene la lavorazione B X=764 punto di indifferenza Per 764<x<5235 conviene la lavorazione A x= 5236 punto di indifferenza Per 5237< x < 6000 conviene la lavorazione B G.Barbaro

IL PROBLEMA DELLE SCORTE Il problema delle scorte riguarda la modalità con cui un'azienda manifatturiera si approvvigiona di materie prime oppure un'azienda commerciale si rifornisce di prodotti da vendere per soddisfare le richieste della clientela. Il problema delle scorte prevede: costi fissi per ogni ordinazione costi variabili di stoccaggio per ogni unità di merce costi di acquisto della merce. Osserviamo subito che, per limitare i costi di ordinazione, bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di grosse quantità , questo però aumenterebbe i costi di magazzino. Infatti i costi di magazzinaggio dipendono dalla quantità immagazzinata. Le due esigenze sono quindi tra loro contrastanti. Normalmente la funzione obiettivo prende in considerazione solo la somma dei costi di ordinazione e di stoccaggio. Di tale funzione si determina il minimo G.Barbaro

Il problema delle scorte in realtà è piuttosto complesso e per comprenderne la complessità si può rappresentare su un grafico l’andamento di un magazzino: Quantità di merce in magazzino tempo Tale andamento può assumere diverse connotazioni anche per eventi non preventivabili(scioperi, cali di produzione,…) G.Barbaro

E’ necessario dunque fare delle ipotesi per semplificare il problema: la quantità di merce da ordinare è fissa per ogni ordinazione e, inoltre, arriva in magazzino quando esso si è svuotato; il consumo dello stock è uniforme nel tempo. L'andamento delle scorte assume, quindi, un andamento periodico e lineare G.Barbaro

giacenza media = (0+x)/2 =x/2 Per costruire la funzione obiettivo occorre prendere in considerazione alcuni dati: Q = fabbisogno totale della merce in un certo periodo(in genere l’anno) S = costo fisso per ogni ordinazione s = costo di magazzinaggio variabile x = quantità ottimale da ordinare ogni volta Quindi: Q/x = numero di ordinazioni Dal momento che la giacenza non è costante nel tempo, si considera la giacenza media che si calcola come la media aritmetica tra i 2 valori estremi 0 e x; per cui giacenza media = (0+x)/2 =x/2 La funzione obiettivo è data dal costo : C = SQ/x + sx/2 con 0 ≤ x ≤ CM se ci sono vincoli tecnici dove CM è la capacità del magazzino G.Barbaro

Tale funzione può essere considerata come la somma di due funzioni: Questa funzione obiettivo in matematica è molto conosciuta e viene chiamata funzione somma: Tale funzione può essere considerata come la somma di due funzioni: y1 = a x e y2 = b/x in cui: y1 rappresenta una retta passante per l'origine degli assi coordinati, y2 rappresenta una iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati G.Barbaro

Grafico della funzione somma La funzione somma ha quindi il suo grafico nel I e III quadrante. Per i problemi di R.O. è però sufficiente considerare solo la parte di grafico relativa al I quadrante(x positive) m Per valori di x molto piccoli la funzione somma si avvicina all’iperbole, mente per valori alti della x si avvicina lal retta Relativamente al I quadrante si può notare che sussiste un punto di minimo G.Barbaro

Le coordinate del minimo sono : G.Barbaro

Per determinare il minimo della funzione del costo si ricorre all’analisi calcolando la derivata prima: P.C . si considera ovviamente solo il valore positivo. Ponendo la derivata prima = 0 si ottiene: Il punto critico trovato rappresenta un minimo in quanto: Quindi la funzione ha un minimo nel punto di coordinate: G.Barbaro

Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima. Esempio: Una ditta ha un fabbisogno annuo di 24000 kg di materia prima. Ogni ordinazione ha un costo di 16 euro e le spese annue di magazzinaggio ammontano a 1,2 euro/kg Determinare la quantità ottimale da ordinare La funzione obiettivo è la seguente: C= SQ/x + sx/2 = 1624.000/x + 1,2x/2 = 384.000/x + 0,6x con x ≥ 0 Calcolando la derivata prima si ottiene: C’ = -384.000/x2 + 0,6 Ponendola uguale a zero: -384.000/x2 + 0,6 = 0 si ottiene: x= ± 800 si prende ovviamente solo il risultato positivo + 800 G.Barbaro

Quindi la funzione ha un minimo in corrispondenza di x = 800 a cui corrisponde una spesa di 960 euro. E’ possibile calcolare anche il numero e la frequenza delle ordinazioni in un anno: n.ord. = 24.000 / 800 = 30 f = 360 / 30 = 12 giorni m G.Barbaro

b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici Cosa cambierebbe se vi fosse un vincolo tecnico; affrontiamo due situazioni: Capacità del magazzino pari a 600 kg; C = 384.000/x + 0,6x con 0 ≤ x ≤ 600 Capacità del magazzino di 1200 kg; C = 384.000/x + 0,6x con 0 ≤ x ≤ 1200 Il minimo si ha per x = 600 n.ord. = 24.000 / 600 = 40 f=360 / 40 = 9 giorni b) Il minimo si ha per x= 800 come nel caso senza vincoli tecnici G.Barbaro

PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI PRIMA DI AFFRONTARE I PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI E’ NECESSARIO RICORDARE ALCUNI CONCETTI ESSENZIALI DI MATEMATICA FINANZIARIA G.Barbaro

Operazioni finanziarie Matematica finanziaria Scopo: Valutazione e confronto di importi che stanno in tempi diversi. Ovvero spostamento di importi nel tempo. Operazioni finanziarie Capitalizzazione Valutazione di una somma nel futuro C M t Spostamento in avanti M = C + I M = MONTANTE Attualizzazione o sconto Valutazione di una somma in una data anteriore alla scadenza V C t Spostamento all‘ indietro V = C – S V = VALORE ATTUALE G.Barbaro

LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE Regime di Capitalizzazione semplice Ipotesi: Interessi proporzionali al tasso ed al tempo Capitalizzazione composta Ipotesi: Capitalizzazione degli interessi alla fine di ogni periodo Capitalizzazione mista Ipotesi: Capitalizzazione composta per la parte intera del tempo n, semplice per la restante frazionaria f G.Barbaro

LEGGI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO Sconto razionale (o semplice) Ipotesi: Operazione inversa della Capitalizzazione semplice Sconto composto Ipotesi: Operazione inversa della Capitalizzazione composta (1+i) – t : fattore di sconto composto Tassi di interesse Equivalenza: due tassi di interesse si dicono equivalenti se producono lo stesso montante nello stesso tempo sullo stesso capitale Formula per la conversione di tassi (legge composta): G.Barbaro

Classificazioni delle rendite: Definizione: successione di importi (rate) nel tempo. Classificazioni delle rendite: Relativamente al periodo: annua: se fra due rate intercorre un anno frazionata: se fra due rate intercorre una frazione di anno poliennale: se fra due rate intercorre più di un anno Relativamente alla scadenza della rata: anticipate: le rate scadono all'inizio di ogni periodo posticipate: le rate scadono alla fine di ogni periodo Relativamente alla data di decorrenza immediate: iniziano dal momento della stipula del contratto differite: iniziano in epoca posteriore rispetto al momento della stipula del contratto Relativamente alla durata temporanee: le rate sono in numero finito perpetue: le rate sono in numero infinito G.Barbaro

Montante: valutazione alla scadenza del contratto (rendite temporanee con n rate) Rendite posticipate: Rendite anticipate: Valore attuale: valutazione alla stipulazione del contratto (rendite temporanee con n rate) Rendite posticipate : Rendite anticipate: G.Barbaro

PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI Un problema di scelta può anche prevedere costi-ricavi differiti nel tempo Sono tipici esempi di tali problemi gli: Investimenti finanziari (capitale/i investiti con modalità differenti) Investimenti industriali o commerciali (acquisto o noleggio di attrezzature) Esempio di investimento finanziario: Tizio investe oggi 10.000 euro e gli vengono prospettate due possibilità: Ipotesi a) Ricevere dopo cinque anni 5.000 euro e dopo 12 anni altri 10.000 euro: Ipotesi b) Ricevere dopo 4 anni 6.000 euro e dopo 12 anni 9.500 euro E’ chiaro che per rispondere occorre un criterio di scelta. G.Barbaro

CRITERIO DI ATTUALIZZAZIONE Si dice risultato economico (R.E.A.) attualizzato di una data operazione d’investimento: la differenza tra il valore attuale dei ricavi e il valore attuale dei costi, entrambi con sconto composto in base a uno stesso tasso: R.E.A. = Va(R) – Va(C) Viene normalmente utilizzato il regime dell’interesse composto. Il criterio sarà così applicato: Prese due operazioni di investimento finanziario, calcoleremo per ciascuna di essere il R.E.A. e fra le due preferiremo quella per la quale si prevede il R.E.A. più elevato. E’ chiaro che il R.E.A. varia al variare del tasso di attualizzazione. Esso è funzione del tasso i perciò possiamo scrivere G (i). In particolare esso è funzione decrescente del tasso. Pertanto operatori diversi possono scegliere tassi diversi e giungere a conclusioni differenti. G.Barbaro

Si vogliono investire 10.000 di euro e si puo’ scegliere tra: Esempio   Si vogliono investire 10.000 di euro e si puo’ scegliere tra: ricevere tra 10 anni euro 25.000 ricevere tra 3 anni euro 8.000 e fra 9 anni altri 9.000 euro Valutare i due investimenti al tasso dell’ 8 % annuo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Asse dei tempi Svolgimento Criterio attualizzazione   IPOTESI A) R.E.A. = 25.000 (1 + i)-10 -10.000=1.579 euro IPOTESI B) R.E.A.= 8.000 (1 + i)-3 + 9.000 (1 + i)-9 - 10.000=1.852 euro Soluzione: e’ piu’ conveniente B) G.Barbaro

Valutare i due investimenti al tasso del 7 % annuo. Negli investimenti industriali dove si valuta quale tipo di attrezzatura acquistare si usa il criterio del R.E.A. con una variante: si valutano i valori attuali dei costi di acquisto e dei costi di esercizio e si sottraggono i valori attuali degli eventuali valori di riscatto. Un industriale deve decidere l’acquisto tra due diversi tipi di macchinari: Macchinario A che costa 20.000 euro con spese di esercizio annue di 800 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2.000 euro; Macchinario B che costa 25.000 euro con spese di esercizio annue di 500 euro con durata di 10 anni e dopo tale periodo cessione del macchinario per un valore di 2.250 euro. Valutare i due investimenti al tasso del 7 % annuo. G.Barbaro

Quindi risulta più conveniente l’ipotesi A) Ipotesi B) : Quindi risulta più conveniente l’ipotesi A) G.Barbaro

D’altra parte il R.E.A. è funzione del tasso di interesse scelto: Il limite del criterio dell’ attualizzazione consiste nel fatto che la scelta del tasso con cui effettuare la valutazione può essere soggettiva. D’altra parte il R.E.A. è funzione del tasso di interesse scelto: R.E.A. Tasso di rendimento interno tasso G.Barbaro

Cioè il tasso soluzione dell’equazione: R.E.A.(i)=0. CRITERIO DEL TASSO DI RENDIMENTO INTERNO(o tasso effettivo di impiego) t.i.r. Si dice tasso interno di rendimento di una data operazione, quel tasso in base al quale, il r.e.a. della distribuzione di costi e ricavi dell’operazione considerata risulta uguale a zero. Cioè il tasso soluzione dell’equazione: R.E.A.(i)=0. G.Barbaro

Il criterio viene applicato nel seguente modo: Per quanto riguarda il significato del tasso interno di rendimento si può affermare che esso fornisce un indice di redditività dell’operazione. Ad esempio, affermando che il t i.r. è 10% si vuole indicare che l’operazione considerata è finanziariamente regolata dallo sconto composto (interesse composto) del 10%. Il criterio viene applicato nel seguente modo: Tra due operazioni di investimento si preferisce quella con il tasso interno più alto. Per la determinazione del tasso di volta in volta occorrerà risolvere un’equazione che a seconda del tipo richiederà tecniche diverse: (eq. di secondo grado o riconducibili ad essa, interpolazione lineare ecc.). Al contrario di quanto accade per il criterio dell’attualizzazione, che fa dipendere la scelta dall’operatore, per quanto riguarda l’adozione del tasso di attualizzazione, il criterio del tasso interno di rendimento conferisce alla scelta carattere oggettivo G.Barbaro

Determinare l’investimento più conveniente col metodo del tir. ESEMPIO Si deve scegliere tra Un investimento comporta un costo iniziale di 10.000 euro e ricavo di 3.150 euro alla fine di ogni anno per 4 anni, Un investimento che comporta un costo iniziale di 10.000 ricavi di 6.500 euro alla fine del secondo e quarto anno. Determinare l’investimento più conveniente col metodo del tir. X = 0.0993107 X = 0.0928251 Si sceglie quindi la prima alternativa N.B.: questo metodo è utilizzabile solo quando le operazioni hanno la stessa durata G.Barbaro

PROGRAMMAZIONE LINEARE Un problema di Programmazione Lineare (P.L.) presenta un modello matematico costituito da: Una funzione obiettivo(da massimizzare se esprime un utile, da minimizzare se esprime un costo) lineare in n variabili di azione Un sistema di vincoli espressi da disequazioni o equazioni lineari nelle n variabili I vincoli possono essere di segno(esprimono la non-negatività delle variabili di azione) e tecnici dipendenti dai dati del problema. G.Barbaro

Nel caso di due variabili di azione il modello assumerà la seguente struttura: Funzione obiettivo Vincoli di segno Vincoli tecnici ESEMPIO G.Barbaro

RISOLUZIONE CON METODO GRAFICO Questo metodo può essere utilizzato nel caso in cui le variabili siano solo due. Il metodo prevede la ricerca dell’AREA AMMISSIBILE definita dal sistema di disequazioni dei vincoli. Si consideri che i vincoli di segno limitano il campo di indagine al primo quadrante del piano cartesiano Dopo aver tracciato tutte le rette associate alle disequazioni ed equazioni del sistema dei vincoli, si otterrà un poligono che costituisce l’area ammissibile. Tale area contiene tutte le coppie (x1,x2) che soddisfano le disequazioni/equazioni del sistema; tali coppie vengono dette soluzioni ammissibili. Le coppie dei valori corrispondenti ai vertici del poligono sono dette soluzioni ammissibili di base; tra queste va cercata la soluzione ottimale. G.Barbaro

Quindi: In un problema di programmazione lineare il massimo e il minimo della funzione obiettivo, se esistono, si trovano sui vertici dell’Area Ammissibile. Esempio A B O C Vertici: O(0,0) Z=0 (min) A(0,2400) Z=12.000.000 B(1800,1200) Z=11.600.000 C(2400,0) Z= 13.200.000 (MAX) G.Barbaro