ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE ‘E.MATTEI’ URBINO Equazioni differenziali a variabili separabili Ricordiamo che la derivata di una funzione si può esprimere come rapporto di differenziali nella forma y’ = dy/dx , un’equazione differenziale del I ordine si dice a variabili separabili se si può ricondurre alla forma: y’ = g(x) h(y) con g(x) e h(y) funzioni continue e h(y)≠ 0 dy/dx = g(x) h(y); dy/h(y) = g(x) dx PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI
h(y)dy = d(H(y)) e g(x) dx = d(G(x)) Ad esempio: y’=3y-1 Data l’equazione dy/dx = g(x) h(y); dy/h(y) = g(x) dx 3y-1= h(y) ; 1= g(x) Se h(y) e g(x) sono funzioni continue allora esistono le loro primitive H(y) e G(x) e sono: h(y)dy = d(H(y)) e g(x) dx = d(G(x)) Deve essere d(H(y)) = d(G(x)) , ma se questi due differenziali sono uguali le funzioni H(y) e G(x) differiscono per una costante cioè: H(y)= G(x) + c In definitiva per trovare l’integrale generale dell’equazione data basta trovare le primitive delle due funzioni h(y) e g(x) cioè: PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI
PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI h(y)dy = g(x)dx equivale a Per il nostro esempio avremo: Provate a determinarne le primitive… PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI
PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI Ad esempio: y’ + 8x3y=0 Separiamo le variabili Supponendo y≠0 Possiamo ora trovare l’integrale generale Se y=0 tale funzione soddisfa l’equazione differenziale sostituendo così è anche lei una soluzione ottenuta per c----- meno infinito cioè per k =0 ec è una costante che si può indicare con k Integrale generale PROF.ANNAMARIA PAOLUCCI