i casi dell'algebra e della geometria Il laboratorio di matematica per costruire un ambiente di insegnamento apprendimento volto alla costruzione di significati degli oggetti matematici: i casi dell'algebra e della geometria Domingo Paola Liceo Issel di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova

Gli studenti della scuola secondaria generalmente sembrano avere una certa conoscenza dei concetti e delle abilità basilari in algebra e geometria. Però, i risultati di diverse indagini valutative indicano che spesso gli studenti non sono capaci di applicare tali conoscenze in situazioni di problem solving, né sembrano comprendere molte delle strutture che stanno sotto tali concetti e abilità. Gli allievi colmano tale loro incapacità a comprendere, memorizzando regole e procedure e finiscono così inevitabilmente col credere che queste rappresentino l'essenza dell'algebra: una grossa maggioranza degli allievi ritiene infatti che la matematica sia un elenco di regole e molti giudicano che l'apprendimento della matematica consista sostanzialmente nel mandarle a memoria.

Una didattica sensata dell’algebra: l’algebra come strumento di pensiero Il problema è quello di sviluppare una opportuna didattica in cui gli allievi imparino a diventare padroni del senso dei simboli che usano, evitando quell'addestramento per memorizzazione di regole e meccanismi formali, il quale favorisce invece l'idea che il senso di una formula e delle trasformazioni su di essa consista soltanto nella sua struttura sintattica

Il problema va studiato: da un punto di vista epistemologico da un punto di vista cognitivo da un punto di vista didattico Epistemologicamente: distinzione tra processi computazionali e oggetti astratti Cognitivamente: dialettica tra aspetti operativi e strutturali della stessa nozione; attenzione alle fasi di interiorizzazione del processo, di condensazione (quando ci si può riferire al processo come scatola nera) e reificazione (che dà come prodotto l’oggetto matematico); deissi e metafore come funzioni del linguaggio che producono la generalizzazione Didatticamente: l’apprendistato cognitivo e il laboratorio di matematica

1. Chiamare in causa i simboli al momento e nel modo giusto Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 1. Chiamare in causa i simboli al momento e nel modo giusto Esempio 1: i quadrati magici Somma = 21 Facile! 7 4 5

5 4 2 Somma 10 Ma è possibile? S-a-b (3) (2) S-b-c b a c Somma S -b+a+c (6) a+b-c (4) (5) b+c-a S-a-c (1)

Poiché la condizione di possibilità è che S = 3b, ne segue che il secondo quadrato è impossibile … si tratta di una vera e propria dimostrazione. Esempio 2. Il rettangolo di Arcavi Si consideri un rettangolo; che cosa capita alla sua area se un lato diminuisce del 10% e l'altro aumenta del 10%? 20 cm 22 cm 9 cm 10 cm

a b(1+k) b ha kb a(1+h) a(1+h)b(1+k) È solo con il ricorso al linguaggio algebrico che la situazione può essere interpretata in forma chiara e incontrovertibile: se il rettangolo di partenza ha lati di lunghezza a e b, l'area del secondo rettangolo vale 1,1a . 0,9b = 0,99ab cioè l'area diminuisce dell'1%. Generalizzazione del problema: i lati di un rettangolo vengono incrementati, l’uno secondo un fattore h e l’altro secondo un fattore k. Come varia l’area del rettangolo? ha kb a(1+h)b(1+k) a b a(1+h) b(1+k) Esplorazioni grafiche, esplorazioni numeriche, anche con l’ausilio degli strumenti di calcolo automatico

Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 2. Prevedere quando utilizzare la funzione algoritmica (sintattica) e la funzione simbolica (semantica) del linguaggio dell'algebra. Esempio: Ipotesi: a, b, c sono numeri naturali non nulli MCD(a, b, c) = 1 a2 + b2 + c2 = k2 Tesi: uno solo tra i tre numeri è dispari

Il frame è quello dei numeri pari – numeri dispari; ossia considero numeri del tipo 2n e 2n+1 (funzione simbolica) (2n)2 = 4n2 (2n+1) 2 = 4n2 + 4n + 1 = 4(n 2 +n) +1 (funzione algoritmica) P: il quadrato di un numero naturale n è un multiplo di 4 (se n è pari), oppure diviso per 4 dà come resto 1 (se n è dispari) (funzione simbolica) Relativamente ai numeri a, b, c possiamo considerare i seguenti casi: 1.   a, b, c, sono tutti pari. Tale caso contrasta con l’ipotesi 2 (se tutti i numeri sono pari, allora non sono primi fra loro) e deve quindi essere rifiutato (funzione simbolica). 2. a, b, c, sono tutti dispari. Allora, per la proposizione P, a2 , b2, c2 divisi per 4 danno come resto 1 (funzione simbolica) ; 4g +1, 4j + 1, 4u + 1 = 4(g + j + u) + 3 (funzione algoritmica) che, per la proposizione P non può essere un quadrato perfetto. Allora tale caso contrasta con l’ipotesi 3 e deve quindi essere rifiutato (funzione simbolica).

3) Due fra a, b, c sono dispari e il terzo è pari 3)      Due fra a, b, c sono dispari e il terzo è pari. Supponiamo, senza perdere in generalità, che a e b siano dispari, ossia a= 2m +1 e b = 2n + 1, mentre c sia pari, ossia c = 2x (funzione simbolica). a2 + b 2 + c2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1+ 4x2 = 4(m2 + m + n2 + n) + 2, (funzione algoritmica) divisa per 4 dà come resto 2, quindi, per la proposizione P non può essere un quadrato perfetto. Allora tale caso contrasta con l’ipotesi 3 e deve quindi essere rifiutato (funzione simbolica). 4). Due fra a, b, c sono pari e il terzo è dispari. Supponiamo, senza perdere in generalità, che a e b siano pari, ossia a= 2m e b = 2n, mentre c sia dispari, ossia c = 2x + 1 (funzione simbolica). a2 + b 2 + c2 = 4m2 + 4n2 + 4x2 + 4x + 1 = 4(m2 + n2 + x2 + x) +1 (funzione algoritmica). Tale numero, diviso per 4 dà come resto 1, quindi, per la proposizione P, è un quadrato perfetto. Allora quest’ultimo caso considerato non contrasta con alcuna delle ipotesi del problema ed è quindi l’unico accettabile. (funzione simbolica).

Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 3. Trasformare formule in altre di significato equivalente, ma di sensi non equivalenti Esempio. Considera il predecessore del quadrato di un numero dispari. Che cosa si può dire? Che cosa ci dicono le seguenti formule fra loro equivalenti? (2n+1)2 – 1 Formule equivalenti relativamente al significato, ma non equivalenti relativamente al senso. L’ultima suggerisce che si può dire che si ottiene sempre un multiplo di 8 4n 2 + 4n 4n(n + 1)

4. Scegliere opportunamente i simboli (“mettere in formula”) Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 4. Scegliere opportunamente i simboli (“mettere in formula”) Esempio. Un numero di due cifre viene addizionato al numero che si ottiene invertendo le sue cifre. Si divide la somma ottenuta per la somma delle cifre del numero dato e si eleva al quadrato il risultato. Che tipo di regolarità si osserva? Sai spiegare perché? 10a + b 10b + a 10a + b + 10b + a = 11(a+b) 11(a+b)/(a+b) = 11 112 = 121 ab + ba = 2ba [2ba/(b+a)]2 = ….????

Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 5. Controllare ed esercitare la manipolazione formale in modo flessibile, finalizzandola all’obiettivo da raggiungere Esempio. Un pavimento rettangolare è piastrellato con grandi mattonelle quadrate (diciamo 7 x 5 mattonelle, tanto per fissare le idee). Le mattonelle del bordo (nel nostro caso sono 20) hanno un colore diverso da quelle interne (nel nostro caso sono 15). Trovare tutti i casi in cui il numero dei due tipi di mattonelle è uguale.

a b Indicando con a e b, rispettivamente, i numeri di mattonelle del bordo orizzontale e di quello verticale, imponiamo un'equazione che porti a primo membro il numero di mattonelle interne (ottenuto come differenza tra il numero totale di mattonelle e quelle del bordo) e a secondo membro il numero di mattonelle del bordo. ab - [2a + 2(b - 2)] = 2a + 2(b-2)

Eseguiamo i calcoli (lasciamo libera la "bestia del calcolo") e otteniamo: ab - 4a - 4b + 8 = 0 ossia a(b - 4) - 4(b - 2) = 0 Recuperiamo il significato di quello che stiamo facendo. Se vogliamo rispondere al problema dobbiamo trovare condizioni su a e su b, ossia sui numeri di mattonelle del bordo orizzontale e di quello verticale. Se nella seconda parentesi avessimo b-4 in luogo di b - 2 potremmo raccogliere ed ottenere un'equazione del tipo xy = c (capacità anticipatoria). Possiamo addizionare 8 ad entrambi i membri dell'equazione ab - 4a - 4b + 8 = 0. Otteniamo ab - 4a - 4b + 16 = 8, ossia a(b - 4) - 4(b - 4) = 8 e, infine (a - 4)(b - 4) = 8 (capacità di manipolazione flessibile: utilizziamo le scomposizioni in modo non standard, almeno in modo diverso da quello che si utilizza di solito nella pratica didattica).

6. Riconoscere il diverso statuto delle lettere in una formula Un elenco di abilità che sono indice di una buona padronanza dell’algebra come strumento di pensiero e alcuni esempi che illustrano tali abilità. 6. Riconoscere il diverso statuto delle lettere in una formula Esempio. È noto che l'espressione y = mx + n rappresenta una funzione affine in forma (quasi) generale. Nessuno ha difficoltà a spiegare il senso di quello che si ottiene sostituendo ad esempio i numeri 2,3 alle lettere m, n. L'espressione risultante y = 2x + 3 rappresenta una certa retta fra tutte quelle rappresentate dall'espressione di partenza, precisamente quella di pendenza 2 che incontra l'asse y nel punto di ordinata 3. Facciamo ora nell'espressione di partenza la sostituzione x = 2, y = 3; si ottiene l'espressione 3 = 2m + n: che cosa rappresenta? Quale il senso delle lettere m e n in essa?

Riassumendo, l’insegnamento dell’algebra dovrebbe … essere finalizzato all’acquisizione del senso dei simboli sfruttare la tecnologia, per potenziare la capacità di esplorare una situazione, osservare regolarità, produrre congetture assecondare i processi genetici di transizione al simbolo a partire dai campi di esperienza degli allievi, dando tempo e spazio a tutte quelle attività che favoriscono tali processi (interazione sociale, mediazione del linguaggio naturale parlato e scritto, esplorazioni,...) proporre diversi esempi di problemi stimolanti nell'ambito di vari campi di esperienza, che possono essere sia interni, sia esterni alla matematica (combinatoria; modelli fisici, medico-biologici, economici; probabilità e statistica; aritmetica; geometria; …) avviare alla generalizzazione, alla dimostrazione, al sapere teorico

Esempi di attività nel campo di esperienza dell’aritmetica Che cosa si può dire della somma di due numeri dispari consecutivi? Che cosa si può dire della somma di tre numeri consecutivi? Che cosa i può dire della somma di cinque numeri consecutivi? Che cosa si può dire della somma di quattro numeri consecutivi? Che cosa si può dire della somma di m numeri consecutivi? Che cosa si può dire del prodotto di tre numeri consecutivi? Che cosa si può dire del prodotto di quattro numeri consecutivi? Che cosa si può dire del prodotto di m numeri consecutivi? Che cosa si può dire del prodotto (p - 1)(q2 - 1) se p e q sono dispari?

Esempi di attività nel campo di esperienza dell’aritmetica È vero che se ab è divisibile per n e a non è divisibile per n, allora b è divisibile per n? Giustifica la risposta e, in caso negativo, determina, se possibile, le condizioni su a e b affinché la risposta sia positiva. La dimostrazione dell’infinità dei numeri primi … ma il prodotto di un numero finito di primi consecutivi + 1 è sempre primo? Le formule che generano numeri primi: n2+n +11 ; n2- n +41 … È vero che n e n+1 sono primi fra loro? Come eseguono i manipolatori simbolici i test di primalità? Quale è la condizione di uscita per un programma che provi a dividere per numeri minori di quello di cui si vuole testare la primalità?

Primo esempio di utilizzazione di Cabri Terza media – primo anno di scuola superiore Introduzione di un argomento di geometria: i criteri di congruenza dei triangoli Liberamente tratto da Dreyfus, T. & Hadas, N. 1996 Proof as answer to the question why, ZDM. Due triangoli sono congruenti se … Un triangolo è determinato da … Sono formulazioni logicamente, ma non cognitivamente equivalenti Noi useremo Cabri per esplorare le relazioni tra le informazioni disponibili su lati e angoli di un triangolo e la possibilità o meno di individuare il triangolo.

Nei file che ora esamineremo ho utilizzato tre differenti colori: il blu per i dati, ossia angoli e lati noti del triangolo (parametri) il rosso per i “dati trasportati” o, meglio, per evidenziare, nei triangoli costruiti, lati e angoli dati (parametri fissati nel particolare problema) il verde per gli oggetti che è possibile muovere per compiere le esplorazioni (variabili indipendenti) il nero per gli oggetti dei triangoli costruiti che si muovono al variare degli oggetti verdi (variabili dipendenti) L’azzurro – verde pastello, tratteggiandoli, per gli oggetti non essenziali (artifici retorici per spiegare meglio).

Come è stato utilizzato Cabri in questo esempio? Presentazione dei criteri di congruenza dei triangoli. Attività di esplorazione su costruzioni realizzate dall’insegnante. Modalità di esplorazione: guidata dall’insegnante (è l’insegnante che dice che cosa muovere e che cosa non muovere o che cosa muovere prima o dopo). L’obiettivo è quello di fondare i criteri di congruenza su un vasto campo di esperienze e osservazioni e poi prendere questi criteri come ipotesi di partenza per lo sviluppo di attività geometriche, anche di piccole catene deduttive a partire dai criteri di congruenza. Il fatto che sia possibile dimostrare il secondo e il terzo a partire dal primo, sarà oggetto di studi successivi, se e quando verrà presentata un’impostazione assiomatica della geometria.

Secondo esempio di utilizzazione di Cabri Scuola secondaria superiore (studenti “esperti”) I problemi aperti in Cabri per un avvio al pensiero teorico e al concetto di dimostrazione. Problema Sia dato un quadrilatero ABCD. Tracciate gli assi a del lato AB, b del lato BC, c del lato CD, d del lato DA. Sia A' il punto di incontro degli assi a e b, B' il punto di incontro di b e c, C' il punto di incontro di c e d, D' il punto di incontro di a e d. Studiare come varia A'B'C'D' al variare di ABCD. Dimostrate le congetture prodotte durante l'esplorazione fatta in Cabri. Per una descrizione dell’attività svolta da un gruppo di alunne di quarta liceo scientifico PNI vedere Paola, D.: 2004, Dimostrazioni e ambienti di geometria dinamica. Quali relazioni? Didattica delle Scienze, n.229, 5 - 10

Un altro esempio Costruire un quadrato esternamente a ogni lato di un quadrilatero. Considerare il quadrilatero che si ottiene congiungendo i centri dei quattro quadrati così ottenuti. Le diagonali del quadrilatero che si ottiene congiungendo i centri dei quattro quadrati risultano fra loro perpendicolari. Ora Cabri mi convince che questa osservazione corrisponde al vero, ma perché è così? le diagonali continuano a essere perpendicolari anche se invece di quattro quadrati ho quattro rettangoli fra loro simili. Perché? Se in luogo di quattro quadrati costruisco quattro rombi simili le diagonali sono uguali. Perché?

Situazione:. troverai un melo M, un pino P e una quercia Q Situazione: ... troverai un melo M, un pino P e una quercia Q. Da M dirigiti in linea retta fino a raggiungere P. Qui gira verso la tua destra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a MP. Pianta in questa posizione un paletto P1. Quindi ritorna in M e dirigiti verso Q in linea retta. Giunto in Q gira a sinistra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a MQ. Pianta, in questa posizione un paletto P2. Il tesoro T si trova nel punto medio del segmento P1P2. M Q P P2 T P1 Problema: Ariele giunge sull’isola e non trova più il melo M. Potrà trovare ugualmente il tesoro? Come e perché?

L a dimostrazione di Vittorio, Valentina, Gabriele Considero P2P2’T e P1P1’T: se sono congruenti T è punto medio sia di P1P2, sia di P1’P2’ Considero MM’Q e QP2P2’ M’Q=QP2’ MQ=QP2 MQM’ = P2’QP2 perché complementari di uno stesso angolo. Quindi MM’=P2P2’ Analogamente P1P1’=MM’ Quindi P1P1’ = P2P2’. Inoltre P2TP2’=P1TP1’. Infine P2 e P2’ sono i corrispondenti di M e M’ in una rotazione di 90°. Quindi P2P2’ è perpendicolare a MM’. Analogamente lo è P1P1’. Quindi P2P2’ e P1P1’ sono paralleli …

Qualche riflessione conclusiva sull’uso di Cabri nell’avvio al pensiero e al sapere teorico Cabri sembra creare una sorta di spazio per la comunicazione, aiutando gli studenti, impegnati nella risoluzione di problemi, a comunicare idee e strategie risolutive L’uso di Cabri e la proposta di problemi aperti favoriscono attività di osservazione, scoperte e produzione di congetture, dando luogo alla necessaria continuità cognitiva tra le fasi di produzione di una congettura, costruzione e sistemazione della dimostrazione È necessaria una genesi strumentale, sulla quale l’insegnante ha forti responsabilità. A questo proposito diventano assai importanti le osservazioni sulle metafore, sulle parole, sui gesti utilizzati dagli studenti, soprattutto se si condivide che la conoscenza sia profondamente embodied, situata.