Utilizzazione di software o di strumenti grafico – simbolici nellinsegnamento dellanalisi Popolazione a cui è rivolta la lezione: studenti delle scuole di specializzazione per linsegnamento secondario Prerequisiti richiesti: conoscenza degli elementi di analisi matematica trattati in un corso istituzionale di analisi in corsi di laurea che consentono laccesso ai ruoli per linsegnamento della matematica presso le scuole secondarie superiori Inquadramento del tema nelleconomia del corso:

1.Gli strumenti come mediatori nei processi di acquisizione di conoscenza (2 ore) 2.Linsegnamento dellanalisi e la ricerca didattica: problemi legati al concetto di funzione, ostacoli epistemologici legati al concetto di limite, concept image e concept definition, cognitive roots, generic organizer e cognitve unit … (6 ore in ambiente di laboratorio di matematica) 3.Uso di software e di strumenti grafico simbolici nellinsegnamento dellanalisi (1 ora) 4.Introduzione al concetto di funzione: presentazione e discussione di attività (3 ore) 5.Introduzione al concetto di derivata: presentazione e discussione di attività (3 ore) 6.Introduzione al concetto di integrale: presentazione e discussione di attività (3 ore) 7.La sistemazione dellanalisi matematica: presentazione e analisi critica di percorsi diversi: Project of Calculus Reform, Progetto Prodi, Percorsi più tradizionali, Percorsi fondati sullanalisi non standard… (6 ore) 8.Applicazioni: attività su equazioni differenziali e sistemi dinamici (4 ore)

Uso di software e di strumenti grafico simbolici nellinsegnamento dellanalisi Gli studenti hanno il diritto di lasciare la scuola secondaria superiore avendo unidea del ruolo che lanalisi matematica ha avuto e ha nella storia del pensiero, nello sviluppo della scienza e di alcune sue significative applicazioni Gli insegnanti hanno il dovere di pretendere un coinvolgimento intellettuale da parte degli studenti e di utilizzare strategie pedagogiche e didattiche opportune per costruire ambienti di insegnamento – apprendimento che motivino gli studenti e consentano loro di compiere esperienze significative Un ambiente di insegnamento – apprendimento sensato dovrebbe fare continuo riferimento alle radici cognitive degli oggetti di studio utilizzando le diverse potenzialità che le nuove tecnologie mettono a disposizione, favorendo la transizione al formale come condensazione e non come evaporazione di significato

Esempi di attività con luso di software e di strumenti grafico – simbolici per lintroduzione del concetto di funzione I sensori di movimento (calcolatrici grafico – simboliche + sensori) Acquisizione ed elaborazione di dati on line (calcolatrici grafico – simboliche + sensori) Studio di dati organizzati in tabelle (foglio elettronico) Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni (CAS) Uso di software di geometria dinamica Studio degli effetti sui grafici di trasformazioni algebriche sulle formule e loro interpretazione geometrica (GC) Quali radici cognitive? Quale concetto di funzione?

Esempi di attività con luso di software e di strumenti grafico – simbolici per lintroduzione del concetto di derivata Luso della funzione Zoom delle calcolatrici grafico – simboliche per lo studio della piattezza locale o della rettificazione locale del grafico di certe funzioni Il calcolo della pendenza della retta scelta per approssimare localmente una funzione La linearizzazione di una funzione in un punto e lidea di retta tangente come migliore approssimazione lineare di una funzione in un punto Aspetti numerici legati al calcolo del coefficiente angolare della retta tangente in un punto di una funzione ivi linearizzabile Aspetti formali legati alla derivabilità e alla derivata Quali radici cognitive? Quale concetto di derivata?

Esempi di attività con luso di software e di strumenti grafico – simbolici per lintroduzione del concetto di continuità Lidea di appiattimento – stiramento del grafico di una funzione continua Si può iniziare a presentare lidea di stirare un grafico orizzontalmente con un software, mentre si lascia invariata la scala verticale della finestra (il che corrisponde a fissare. Se la funzione è continua in x0, allora è possibile determinare un intervallo di ampiezza centrato in x0 tale che la funzione appaia piatta (ossia la sua oscillazione sia minore di nellintervallo di ampiezza ) Quali radici cognitive? Aspetto numerico (che cosa vuol dire conoscere f(x) se x è irrazionale?) Per ogni > 0 esiste t.c. per ogni x t.c. |x x0| si ha: |f (x) f (x0) |

Esempi di attività con luso di software e di strumenti grafico – simbolici per lintroduzione del concetto di integrale (definito) Lidea è quella di utilizzare la nozione di area per aiutare la comprensione dellintegrazione secondo Riemann. Con un software come graphic calculus è possibile effettuare un calcolo numerico dellarea della superficie sottesa al grafico di una funzione coprendola con rettangoli. E anche possibile utilizzare lidea della continuità vista in precedenza e quella di area per dare significato al teorema fondamentale del calcolo che afferma che la variazione istantanea della funzione integrale è la funzione integranda. Per esempio, la seguente figura mostra larea sottesa al grafico di sin x da 1 a Il grafico del seno è stirato orizzontalmente fino ad apparire costante. La figura richiama immediatamente che il valore dellintegrale è circa f(x)*0.001 Quali radici cognitive?

Alcune riflessioni sulluso delle tecnologie nellinsegnamento – apprendimento Gli studenti apprendono attraverso quello che fanno; il software non è inerte, ma dà risposte talvolta inattese e che, quindi, invitano alla riflessione su ciò che si sta facendo; il software mette a disposizione risorse che modellano un sapere teorico che è il vero oggetto di insegnamento – apprendimento Il problema della genesi strumentale Il ruolo dellinsegnante Un approccio embodied si fonda sulla percezione (non solo visiva, ma anche quella pseudotattile del mouse). Questa propsettiva è dirompente in matematica, perché suggerisce che si possa accettare che la derivata di cos x è – sin x non a causa di manipolazioni algebriche, ma perché la forma della derivata di cos x sembra la stessa di quella del grafico di sin x capovolto

Se è possibile scrivere dove dipende solo da f e da x0 e è un infinitesimo con h, allora si ha un interessante strumento per il calcolo approssimato di f(x0 + h) potendolo ridurre al calcolo di f(x0) e a quello di

Radici cognitive: larea è un numero positivo o nullo larea di un rettangolo è il prodotto della base e dellaltezza larea di due figure congruenti è la stessa se una regione piana viene divisa in due parti di area a1 e a2, larea complessiva è la somma delle aree a1 e a2. Proprietà necessarie se si vuole che larea sia unestensione del concetto elementare di area di un poligono: larea è una funzione monotona è possibile calcolare larea di una regione che si scompone in rettangoli. Lestensione richiede che se io costruisco due classi di plurirettangoli che costituiscono classi separate e contigue, il limite delle successioni delle aree dei plurirettangoli può essere assunto come area della figura elemento di separazione fra le due classi di plurirettangoli

La nozione di continuità come possibilità di stirare un grafico fino ad appiattirlo, aiuta nella comprensione della dimostrazione formale del teorema fondamentale del calcolo. Sia A(x) larea sottesa al grafico di una funzione continua sullintervallo [a,b] da a a un punto variabile x. Dal punto di vista embodied larea esiste, perché può essere calcolata con lapprossimazione voluta; inoltre la continuità assicura che il grafico della funzione può essere stirato quanto si vuole, ossia che dato un > 0 e una striscia di ampiezza f (x), allora si può determinare un valor > 0 tale che il grafico, sullintervallo [x x giace completamente nella striscia. Quindi, per – < h <, larea A(x+h)–A(x) giace tra (f(x)– )h e (f(x)+ )h, così, per h non nullo, giace tra f(x)– e f(x)+.