Elementi di continuità nel curiculum di matematica Per docenti degli Istituti Comprensivi della Liguria Domingo Paola Liceo scientifico Issel di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova Genova 2 Marzo 2006 Avvertenza: non è necessario prendere appunti!

Struttura dell'intervento Riflessioni di carattere generale relative al problema della continuità curricolare Due esempi di attività che consentono di inserire elementi di continuità nel curriculum di matematica Indicazioni operative su dove reperire materiali utili a costruire attività simili a quelle presentate

Quali caratteristiche Riflessioni di carattere generale relative al problema della continuità curricolare Quali caratteristiche Per un progetto sensato di continuità? didattica lunga, tesa alla costruzione di significati per gli oggetti di studio, attenta alla gestione delle necessarie discontinuità che caratterizzano ogni significativo processo di insegnamento – apprendimento attenzione rivolta ai processi di pensiero degli studenti e quindi motivare gli studenti a produrre e a fare e ad ascoltare e discutere le idee che emergono durante il lavoro in classe

Quali caratteristiche Noi conosciamo fatti e possediamo un sapere su di essi soltanto quando, contemporaneamente, sappiamo perché i giudizi corrispondenti sono veri. Altrimenti parliamo di sapere intuitivo o implicito, di un sapere pratico di come si fa qualcosa. Ci si può benissimo intendere di qualcosa senza sapere che cosa è che costituisce queste competenze. Invece l’espresso sapere qualcosa è implicitamente legato a un sapere perché e rimanda, per questo, a potenziali giustificazioni. […] Naturalmente ciò non significa che opinioni o convinzioni razionali siano sempre composte di giudizi veri. Chi condivide opinioni che si dimostrano non vere non è ipso facto irrazionale; irrazionale è chi difende dogmaticamente le proprie opinioni e le mantiene, pur vedendo che non può motivarle. Per qualificare un’opinione come razionale basta che essa, nel contesto di giustificazione dato, possa con buone motivazioni essere ritenuta vera, ossia accettata razionalmente Habermas Riflessioni di carattere generale relative al problema della continuità curricolare Quali caratteristiche Per un progetto sensato di continuità? costruzione di attività sensate, nella triplice accezione di ragionevoli, legate agli aspetti sensibili, alla percezione e guidate dall’intelletto, dalle teorie condividere un concetto di razionalità più ampio di quello che in genere si individua con il termine razionalità scientifica

Riflessioni di carattere generale relative al problema della continuità curricolare Tutto ciò richiede un uso adeguato e consapevole degli strumenti come mediatori nei processi di insegnamento – apprendimento un uso consapevole di forme e modalità di valutazione diversificate e adeguate alla necessità di valutare non solo i prodotti, ma anche i processi

Perché è così? Come sarebbe se ...? Relazioni e funzioni Due esempi di attività che consentono di inserire elementi di continuità nel curriculum di matematica Perché è così? Relazioni e funzioni Geometria e misura Primo esempio Secondo esempio Come sarebbe se ...? Numeri e operazioni Argomentare e congetturare

Dai documenti della commissione UMI Due esempi di attività che consentono di inserire elementi di continuità nel curriculum di matematica Dai documenti della commissione UMI Le attività argomentative in cui si producono ipotesi o si generano condizionalità sono riconducibili a due modalità principali […] caratterizzate dal diverso modo con cui il soggetto si rapporta al mondo esterno rispetto al suo mondo interno. La prima modalità è caratterizzata dalla produzione di congetture interpretative di ciò che si percepisce, per esempio al fine di organizzarlo. La seconda è caratterizzata dalla produzione di congetture previsionali

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Secondo – Terzo anno di scuola primaria “Il Signor O deve andare dal punto A al punto C che si trovano a una stessa distanza da una strada rettilinea. Un’auto sta passando sulla strada e deve consegnare un pacco al Signor O. Quest’auto può viaggiare solo sulla strada, e può fermarsi nel punto indicato dal Signor O per incontrarlo e consegnargli il pacco. Siccome il Signor O è molto pigro, vuole compiere il cammino più breve possibile dal punto A al punto C passando per il punto in cui gli sarà consegnato il pacco sulla strada. Qual è il punto in cui deve farsi consegnare il pacco il Signor O per compiere il cammino più breve possibile?

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale”

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Quarto – Quinto anno di scuola primaria Che cosa cambia se i punti A e C si trovano a diversa distanza dalla strada? Dove dobbiamo far posare il pacco? Quale sarà il percorso più breve per il Signor O?”

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Scuola primaria Sotto osservazione: gli alunni capiscono la consegna? Sanno costruire un modellino della situazione con materiale povero (cartoncino, spilli…)? Producono congetture, ipotesi, come le validano? Come cambiano i ragionamenti dalla prima alla seconda situazione?

Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Lo stesso problema con Cabri, suggerendo anche possibili interpretazioni sul piano cartesiano della variazione della distanza AF+FC al variare di F.

Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Sotto osservazione: che cosa cambia nelle modalità di esplorazione con Cabri? Che cosa cambia nella comunicazione delle osservazioni e delle scoperte (gesti, metafore, segni …) Come cambiano le modalità di validazione? Quali difficoltà nella “lettura” del grafico?

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Biennio scuola secondaria di secondo grado Il punto F si determina costruendo il punto A’ simmetrico di A rispetto alla retta su cui giace F e congiungendo C con A’: perché? Richiesta di una dimostrazione

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Biennio scuola secondaria di secondo grado Sotto osservazione: Come cambiano le modalità di validazione? Apprezzano la potenza della dimostrazione e della generalizzazione? Che cosa cambia nella comunicazione delle osservazioni e delle scoperte? (gesti, metafore, segni …)

Presentazione del primo esempio di attività didattica in continuità verticale Più ancora delle risposte che vengono fornite alle domande del tipo perché? è il senso, il significato di queste domande a essere importante: è necessario lavorare costantemente e sistematicamente ai fianchi gli alunni per portarli a comprendere il significato delle domande del tipo perché. Le risposte a queste domande possono darsi solo ricorrendo alla teoria, ossia a un sistema di conoscenze organizzate, nel quale certi fatti sono utilizzati per spiegarne altri.

Scuola primaria La tela di Penelope (Quinta elementare) Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Scuola primaria La tela di Penelope (Quinta elementare) Sull’isola di Itaca, Penelope sta aspettando da tanti anni il ritorno di Ulisse, suo marito, dalla guerra di Troia. Tuttavia, a Itaca, alcuni uomini vorrebbero prendere il posto di Ulisse e sposare Penelope. Un giorno la dea Minerva dice a Penelope che Ulisse sta ritornando e che la sua nave avrebbe impiegato 50 giorni per arrivare a Itaca. Penelope riunisce immediatamente i pretendenti e dice loro: “Ho deciso: sceglierò il mio sposo tra di voi e il matrimonio sarà celebrato non appena avrò terminato di tessere la tela per il letto nuziale. Inizierò a tessere oggi stesso e lo farò a giorni alterni. Quando avrò terminato, la tela sarà la mia dote”. I pretendenti accettano. Penelope, come promesso, inizia immediatamente a tessere e, ogni volta che tesse, completa una spanna di tela; in gran segreto, però, ogni giorno in cui non avrebbe dovuto tessere, disfa mezza spanna. Sapendo che la tela deve essere lunga 15 spanne, riuscirà Penelope ad attendere il ritorno di Ulisse senza sposarsi?

Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Fase 1. L’insegnante legge la storia, per verificare se gli alunni comprendono il testo; quindi dà inizio al lavoro in piccoli gruppi collaborativi lasciando a disposizione degli alunni diversi materiali (fogli di carta, matite e penne colorate, pezzi di tela, forbicine, colla, …). Gli alunni producono uno scritto che riporta non solo la risposta, ma anche le diverse strategie risolutive proposte, discusse e intraprese. Fase 2. L’insegnante raccoglie le differenti produzioni scritte, ne analizza le strategie, le difficoltà, gli errori commessi, le idee interessanti e produce un poster che raccoglie gli aspetti più significativi e interessanti di ogni lavoro di gruppo, in modo da impostare la discussione alla presenza dell’intera classe. Fase 3. Si chiede agli studenti di produrre tabelle numeriche e grafici che possano rappresentare e descrivere la storia e la soluzione. Gli studenti lavorano individualmente utilizzando anche strumenti informatici come Excel per aiutarsi a produrre tabelle e grafici. Fase 4. Una discussione finale di bilancio è condotta dall’insegnante alla presenza di tutta la classe.

Aritmetica elementare Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Come gli studenti riescono a gestire il doppio registro del trascorrere del tempo e della variazione della lunghezza della tela? Che tipo di, gesti, metafore, segni, disegni, diagrammi utilizzano? Concetto di funzione Quando e come riescono a utilizzare il frame dei multipli di 4 per risolvere il problema? Che tipo di algoritmi utilizzano (tabelline, multipli, sottrazioni successive, …)? Aritmetica elementare

Scuola secondaria di primo grado Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Scuola secondaria di primo grado I sette messaggeri Il figlio di un re, ormai diventato grande, era curioso di visitare e di conoscere l’immenso regno del padre. Un giorno decise di partire insieme a tutto il suo seguito: cavalieri, servi, carri, tende e viveri. Ogni giorno percorrevano 50 chilometri e alla sera si accampavano per la notte. Temendo che il viaggio fosse lunghissimo, il figlio del re, già dopo la prima notte di sosta, chiamò il cavaliere più fidato e gli disse: “Tu hai il compito di fare avanti e indietro dalla nostra postazione al castello, per portarmi notizie di mia madre, di mio padre e riferirmi che cosa succede. Io intanto continuerò ad andare avanti”. Così si salutarono e il figlio del re riprese a cavalcare, allontanandosi sempre più dal castello. Ogni giorno il figlio del re percorreva 50 chilometri e il suo messaggero ne percorreva 100… Dobbiamo scoprire quanti giorni intercorrono tra due successivi incontri del principe con il cavaliere …

Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Che tipo di strategie risolutive utilizzano gli studenti? In quali registri? (gestuale, in lingua naturale, con disegni, numerico, grafico, formale …) C’è una rappresentazione esplicita di un asse del tempo? Come gestiscono le difficoltà concettuali legate alla compresenza di due leggi orarie? Comprendono che, quando si muovono in senso opposto, la distanza tra i due personaggi aumenta ogni giorno di 150 chilometri mentre, quando riprendono a procedere nello stesso senso, la distanza via via diminuisce di 50 chilometri? Li aiuta l’uso di uno strumento di calcolo automatico come un foglio elettronico? Riescono a trovare la risposta e come la giustificano?

Diverse modalità di rappresentazione Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Diverse modalità di rappresentazione Supponiamo di trovarci all’n-esimo incontro, a una distanza d(n) dal castello (che coincide con la posizione nel sistema che ha come origine il castello); il cavaliere, prima di incontrare nuovamente il re, deve ripassare dalla posizione d(n) e quindi percorrere una distanza 2*d(n). Nello stesso tempo il re, che si muove a una velocità che è la metà di quella del cavaliere, ha percorso una distanza d(n) trovandosi quindi in vantaggio di d(n) rispetto al cavaliere. Questi, muovendosi a velocità doppia del re, lo raggiungerà dopo aver percorso una distanza 2*d(n). Quindi il cavaliere, dopo ogni incontro, percorrerà una distanza 4*d(n), mentre il re una distanza 2*d(n). Entrambi, essendo partiti dalla posizione d(n), si troveranno, al prossimo incontro, nella posizione 3*d(n). Quindi la legge ricorsiva d(1) = 50 d(n+1) = 3*d(n) dà le posizioni dei successivi incontri. La legge esplicita è d(n) = 50 * 3n con n numero naturale. Analoga legge varrà per i tempi t(n+1) = 3*t(n) con t(1) = 1. Quindi t(n) = 3n con n numero naturale. Se si rappresentano le due leggi orarie con le corrette pendenze, basta contare i quadretti per scoprire che re e cavaliere si incontrano in giorni che sono i successivi multipli di 3 Viene utilizzata un’unica retta per rappresentare spazio e tempo. Per il re ogni punto della retta rappresenta un evento individuato da due numeri (giorno e posizione, che coincide con i chilometri percorsi); per il cavaliere, che va avanti e indietro, sono utilizzati diversi numeri che rappresentano i giorni, perché il cavaliere passa per la stessa posizione in giorni diversi.

Scuola secondaria di secondo grado Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Scuola secondaria di secondo grado Concentrazione di un farmaco nel sangue Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio e il suo dottore le ha prescritto un farmaco antinfiammatorio. Deve prendere una pastiglia da 440 mg ogni 8 ore per 10 giorni. A ogni nuova assunzione il suo rene ha filtrato il 60% del farmaco. Quanto farmaco c’è al massimo nel suo organismo dopo 3 giorni? E dopo 5 giorni? Cercate di studiare l’evoluzione della quantità massima di farmaco presente nel sangue; Come evolve la presenza del farmaco se, dopo dieci giorni, la studentessa non lo assume più? Quanto tempo impiega a ridursi a 1/100 del farmaco presente dopo dieci giorni?

1 8 2 16 3 24 … Provate a costruire una tabella del tipo Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Provate a costruire una tabella del tipo Ricordate che organizzare i dati in modo intelligente aiuta … per esempio a definire una funzione che rappresenti l’andamento della presenza del farmaco nell’organismo della studentessa… n Giorno Tempo (ore) F(n) Farmaco che rimane (mg) 1 8 2 16 3 24 … Riprendete in considerazione le varie domande che vi sono state poste nel testo del problema … ovviamente, per rispondere, aiutatevi anche con la calcolatrice… ricordate eventuali problemi simili già svolti

Alcune idee degli studenti Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Alcune idee degli studenti “se la studentessa continuasse a prendere le pillole, la quantità massima di farmaco tenderebbe a stabilizzarsi, perché anche se aumenta del 40%, il suo rene filtra il 60% che è sempre maggiore… è come se diamo delle palate di sabbia e dal mucchio, sempre più grande, leviamo sempre il 60%, ossia una quantità sempre più grande…prima o poi quello che aggiungo è uguale a quello che levo e il processo si stabilizza” “la concentrazione del farmaco cresce sempre, ma sempre meno, ossia, la pendenza diminuisce” “parte da 440 e poi filtra il 60%, quindi abbiamo 440 + il 40% di 440 e poi il 40% di questo più 440 e così via …” La difficoltà è tradurre tutto ciò formalmente

F(2) = 0.4F(1) + 440 ….. F(n) = 0.4F(n-1)+440 Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale F(0) = 440 F(1) = 0.4 F(0) + 440 F(2) = 0.4F(1) + 440 ….. F(n) = 0.4F(n-1)+440 Per rispondere alla seconda domanda, gli studenti scrivono G(0) = 733,33 G(1) = 0,4G(0) G(2) = 0,4G(1) ....... G(n) = 0,4G(n-1)  Non si accorgono che, in tal caso, è semplice trovare una forma chiusa G(n) = 0,4n G(0) Ma capiscono subito che si tratta di una curva la cui pendenza è negativa e diminuisce in valore assoluto, anche se non raggiungerà mai lo 0

F(3)? 714.56 F(3) = 0.4*F(2)+440 F(2)? 686.4 F(2) = 0.4*F(1)+440 F(1)? Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale F(3)? 714.56 F(3) = 0.4*F(2)+440 F(2)? 686.4 F(2) = 0.4*F(1)+440 F(1)? 616 F(1) = 0.4*F(0)+440 F(0)= 440

Come determinare il valore di equilibrio? X = 0.4*X + 440 Presentazione del secondo esempio di attività didattica in continuità verticale Come determinare il valore di equilibrio? X = 0.4*X + 440 Invece, per rispondere alla domanda quanto tempo impiega la concentrazione a ridursi a 1/100 del valore iniziale si deve risolvere l’equazione 7,33 = 0,4 n 733,33. La soluzione si può trovare per tentativi o graficamente.

Produzione di congetture a scopo descrittivo e previsionale Conclusioni Esplorazioni Produzione di congetture a scopo descrittivo e previsionale Validazione delle congetture prodotte Discussione di strategie risolutive Costruzione di significati Avvio al sapere teorico Sensate esperienze Attenzione ai processi Uso degli strumenti come mediatori Discussione matematica in classe Didattica lunga

Ma dove trovare materiali? Conclusioni Ma dove trovare materiali? http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2001/matematica2001.html http://www.dm.unibo.it/umi/italiano/Matematica2003/matematica2003.html Matematica 2001 Matematica 2003

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