13 a lezione di laboratorio Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica Ingegneria dei Sistemi Energetici Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica Ingegneria dei Sistemi Energetici a.a

Interfaccia grafica pdetool Digitando il comando pdetool in CW si apre la seguente schermata:

Esercizio 1 Risolvere il seguente problema ellittico con condizioni al contorno miste Dirichlet/Neumann dove è la derivata nella direzione normale uscente da Si assume

Sessione di lavoro del pdetool La sessione di lavoro si divide in sei fasi: 1)Descrizione del dominio ( Draw Mode ) 2)Descrizioni delle condiz. al c. ( Boundary Mode ) 3)Descrizione del problema ( PDE Mode ) 4)Generazione della mesh ( Mesh Mode ) 5)Soluzione del problema ( Solve PDE ) 6)Visualizzazione della soluzione ( Plot Solution ) Queste procedure sono accessibili dal menu della finestra sotto le opzioni Draw, Boudary, PDE, Mesh, Solve e Plot oppure dalla toolbar

Options Menu Grid visualizza la griglia nellarea del disegno on/off; Grid Spacing permette di scegliere quanto deve essere fitta la griglia; Snap loggetto che viene disegnato è costretto ad aderire alla griglia, se questa opzione è selezionata; Axes Limits permette di selezionare la lunghezza dellintervallo x e della y ; Axes Equal impone la stessa scala per x e y ; ….. Application permette di scegliere lapplicazione; quella predefinita è Generic Equation, ma ve ne sono altre come lequazione stazionaria del calore (Heath Equation).

Draw Mode Disegna un rettangolo/quadrato a partire dallangolo Disegna un rettangolo/quadrato a partire dal centro Disegna un ellisse/cerchio a partire dal centro Disegna un poligono Disegna un ellisse/cerchio a partire dallangolo

Draw Mode Si selezioni licona. Si porti il cursore ne punto di coordinate (-1,1) e tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, si porti il cursore nel punto di coordinate (1,-1) e poi si rilasci; si otterrà: Si può memorizzare il file relativo per utilizzarlo in altri contesti con lo stesso dominio andando in menu file con lopzione save

Boundary Mode Le condizioni al contorno possono essere definite andando a selezionare licona Colori: rosso indica una condizione di D. blu indica una condizione di N. verde indica una condizione di tipo misto

Condizioni al contorno

PDE Mode Per impostare il tipo di problema da risolvere si può selezionare direttamente licona

Mesh Mode Per generare la triangolazione (mesh) si seleziona lopzione mesh dal menu e poi Initialize Mesh oppure cliccando direttamente licona

Mesh Mode Si può decidere di raffinare la mesh, cioè di generare triangoli più piccoli ciccando sullicona Si possono modificare i parametri che controllano la generazione della mesh selezionando Parameters dal menu Mesh.

Solve Mode Per calcolare la soluzione del problema si selezioni licona La soluzione può essere esportata nel workspace come un vettore selezionando lapposita opzione dal menu solve.

Plot solution Si può modificare la presentazione del risultato selezionando lopzione Plot e poi Parameters dal menu oppure cliccando licona Verrà aperta la finestra: Color consente di graficare la grandezza desiderata (in genere la soluzione approssimata) con una superficie colorata; Contour visualizza la grandezza desiderata usando le curve di livello; Arrows disegna delle frecce per indicare landamento del campo vettoriale; Deformed Mesh dà una rappresentazione deformata del dominio, la deformazione dipende dal modulo del gradiente; Height di default disegna la superficie (x,y,u), tuttavia è possibile scegliere la grandezza che si desidera rappresentare sullasse delle z utilizzando il menu a tendina; Contour plot levels indica quante curve di livello disegnare; Show mesh rappresenta la griglia nel grafico; Colormap indica quali colori usare per la rappresentazione grafica. Color consente di graficare la grandezza desiderata (in genere la soluzione approssimata) con una superficie colorata; Contour visualizza la grandezza desiderata usando le curve di livello; Arrows disegna delle frecce per indicare landamento del campo vettoriale; Deformed Mesh dà una rappresentazione deformata del dominio, la deformazione dipende dal modulo del gradiente; Height di default disegna la superficie (x,y,u), tuttavia è possibile scegliere la grandezza che si desidera rappresentare sullasse delle z utilizzando il menu a tendina; Contour plot levels indica quante curve di livello disegnare; Show mesh rappresenta la griglia nel grafico; Colormap indica quali colori usare per la rappresentazione grafica.

Per salvare il modello del problema studiato e la corrispondente soluzione si seleziona dal menu file lopzione save.

Esercizio 2 Risolvere il seguente problema con Sapendo che la soluzione è: calcolare lerrore assoluto e verificare se, con successivi raffinamenti della mesh, lerrore diminuisce.

Boundary Mode

PDE Mode

Mesh Mode

Rappresentazione della soluzione

Errore Err= abs(u-(x.*y.*(1-x).*(1-y)))

Errore dopo aver raffinato la mesh

Esercizio 3 Sia dato il seguente problema con Calcolare lerrore assoluto sapendo che la soluzione è:

Boundary Mode

PDE Mode

Mesh Mode

Rappresentazione della soluzione

Errore Err= abs(u-exp(-x.*y))

dove è il dominio mostrato in figura, ed è dato dallunione di due circonferenze C1 e C2 di raggio unitario e di centro rispettivamente (-0.5,0) e (0.5,0). N.B. t varia in [0,3] con passo 0.2. Esercizio 4 Risolvere il seguente problema di tipo iperbolico:

Boundary e PDE Mode

Mesh Mode

Solve Mode Risultati visibili in Command Window quando si fa calcolare la soluzione 341 successful steps 18 failed attempts 720 function evaluations 1 partial derivatives 70 LU decompositions 719 solutions of linear systems

Rappresentazione della soluzione

Animazione

Soluzione per t=0 e sue derivate parziali