Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 1 Alessandro Caporali Università di Padova

Generalità del Corso (1/2) Obbiettivi: Stimare il vettore di stato di un satellite ad un’epoca note misure di distanza e/o angolari e/o Doppler Predirre il vettore di stato di un satellite a una data epoca noto il vettore di stato ad altra epoca e il campo di forze N.B. ‘Stima’ e ‘Predizione’ sono intese in senso statistico: valore nominale & covarianza

Generalità del Corso (2/2) Programma: Metodi di inseguimento Modelli degli osservabili in funzione delle variabili di stato Analisi statistica dei dati di inseguimento Propagazione del vettore di stato e della sua matrice di covarianza

Le coordinate di una stazione terrestre (1/2) Le coordinate geodetiche di una stazione, nel senso di latitudine longitudine e quota, fanno generalmente riferimento a un Datum, cioè a un sistema di riferimento definito per convenzione internazionale. Un Datum è definito dai parametri di un ellissoide di rotazione (‘sferoide’), e da un orientamento astronomico. Attualmente i Datum incorporano anche un campo di velocità, per tener conto della deriva delle placche litosferiche sulle quali insistono le stazioni terrestri. Lo sferoide definisce una forma teorica della Terra, quella cioè che assumerebbe in assenza di variazioni laterali di densità e nell’ipotesi di rotazione a velocità angolare uniforme, intorno ad un asse costante. Gli assi dello sferoide sono pertanto gli assi del sistema ECEF (Earth Centered and Earth Fixed). Lo sferoide non rappresenta esattamente la figura di equilibrio degli oceani (‘medio mare’). Di conseguenza anche l’altezza di una stazione riferita allo sferoide può differire dalla quota s.l.m. fino a 100 m circa. Uno sferoide è definito dal semiasse a dell’ellisse meridiana, e dallo schiacciamento equatoriale f=1-b/a, ove b è il semiasse minore. Due sferoidi molto comuni hanno i parametri seguenti: DATUM ED50 (European Datum 1950) GRS80 (Geodetic Reference System 1980) a 6378388 km 6378137 km 1/f 297 298.255

Le coordinate di una stazione terrestre (2/2) Trasformazione da coordinate geodetiche nominali (f,l,h) a coordinate cartesiane, per dati (a,1/f) e velocità di deriva in latitudine e longitudine f’,l’. (NB: h è la distanza della stazione dall’ellissoide di riferimento: differisce dalla quota H sul geoide per due termini: uno costante, l’ondilazione del goeide in quel punto, l’altro variabile nel tempo, l’effetto delle maree solide e oceaniche) 1. Da geodetiche nominali (epoca t0) a geodetiche attuali (epoca t) 2. Da geodetiche attuali a cartesiane attuali

Scale dei tempi in dinamica orbitale A1-UT1 6 : 12 mesi 1 sec (leap second Distinguiamo quattro scale dei tempi ET tempo effemeride (ephemeris time) A1 tempo atomico UT1è il tempo solare di Greenwich, UTC è l’approssimazione di UT1 con la scala atomica A1 Dicussione: ET è la variabile indipendente ‘t’ che compare nelle equazioni del moto. ET è definito dal moto dei pianeti. A1 è una scala definita sulla base di standard atomici di frequenza (Oscillatori al Cesio). A1 e ET sono sincroni, a meno di un offset costante fissato per convenzione internazionale e effetti relativistici di ordine superiore. UT1 era la scala dei tempi fondamentale prima dell’avvento degli oscillatori atomici. UT1 è definito dall’angolo di fase del meridiano di Greenwich rispetto al Sole. Le irregolarità della rotazione terrestre, periodiche e secolari, causano una deriva sistematica della scala UT1 da A1, oggi considerata la più stabile. La scala UTC è sincrona con A1, ma ha delle discontinuità intenzionali di 1 secondo ogni 6-12 mesi, per convenzione internazionale, al fine di mantenere la differenza tra UT1 e UTC entro 1 secondo. La differenza UT1-UTC è la variazione in lunghezza del giorno DLOD, da considerarsi nel calcolo dell’angolo orario di Greenwich all’epoca di osservazione, che generalmente è definita sulla scala UTC.

Coordinate inerziali della stazione Normalmente conosciamo le coordinate della stazione in un sistema ECEF (Earth Centered, Earth Fixed), non inerziale in quanto ruotante con la Terra Poiché dobbiamo lavorare con le coordinate del satellite e della stazione riferite a uno stesso sistema di riferimento, e la rappresentazione del campo di forze è espressa più convenientemente in un sistema inerziale (assenza di forze apparenti!), è opportuno rappresentare le coordinate dell’osservatore in un sistema inerziale, anziché rappresentare le coordinate del satellite in un sistema ECEF (questo viene comunque fatto: cf. ad esempio il modello orbitale GPS contenuto nel messaggio di navigazione) La formula generale ECEF inerziale prevede quattro matrici di rotazione ed è la seguente: Xinerziale=[PNSW]XECEF

La trasformazione ECEFinerziale 1: Moto del polo W xp yp Asse medio Equatore istantaneo Equatore medio stazione W = matrice di Wobble (moto del polo): le coordinate ECEF di una stazione si riferiscono a un sistema di riferimento terrestre il cui asse z è rappresentato dall’intersezione dell’asse di rotazione terrestre con la superficie della terra a un’epoca di riferimento (ad es. 1950.0, 2000.0). Ad altra epoca, la posizione dell’asse rispetto a quella di riferimento può variare di angoli dell’ordine di 0.1”, su scala anche settimanale. Questo fenomeno, detto ‘nutazione libera’ o ‘precessione euleriana’, o più spesso moto del polo, è dovuto al disallineamento dell’asse di rotazione con l’asse di massimo momento di inerzia, e in parte anche alla non rigidità terrestre, ed ha come periodi fondamentali 420 e 365 giorni. Le coordinate del polo istantaneo xp,yp rispetto a quelle medie sono definite in un sistema ortogonale sinistrorso (asse y è 90° in senso orario rispetto a x). Sono normalmente espresse in secondi d’arco e disponibili presso lo IERS (International Earth Rotation Service) a intervalli di 1 giorno Asse istantaneo Xp tangente al meridiano di Greenwich Yp 90° Ovest Polo medio Polo istantaneo

La trasformazione ECEFinerziale: 2. Rotazione terrestre S Una volta rappresentate le coordinate nominali (medie) della stazione in un sistema terrestre con asse z allineato con l’asse istantaneo di rotazione terrestre, la rotazione terrestre viene compensata con una rotazione intorno al nuovo z di un angolo qg uguale all’ascensione retta del meridiano di Greenwich. Questa rotazione intorno a z porta il sistema ‘Earth Centered’ in un nuovo sistema, non ruotante e con lo stesso asse z, detto sistema True of Date’. Calcolo dell’angolo orario di Greenwich qg: l’espressione generale è

La trasformazione ECEFinerziale: 3 Precessione e nutazione Il sistema ‘true of date’ è inerziale, ma non esattamente! Lo sarebbe se la Luna, il Sole e gli altri pianeti non interagissero con il giroscopio Terra, producendo una variazione dell’orientazione del momento angolare nello spazio inerziale delle ‘stelle fisse’. Tale variazione è risolta in due distinti fenomeni: la precessione e la nutazione. La precessione è una rotazione dell’asse x, intersezione dell’equatore con l’eclittica. La nutazione è una oscillazione dell’asse z intorno alla generatrice del cono di precessione. La matrice di nutazione porta il sistema inerziale true of date in un sistema mean of date, con l’asse z coincidente con la generatrice del cono di precessione all’epoca. La matrice di precessione porta il sistema ‘mean of date’ nel sistema ‘mean of reference’ (ad es. 1950.0, oppure 2000.0), che puoò essere considerato il sistema nominale definitivo, lo stesso nel quale sono rappresentate le coordinate e velocità del satellite come conseguenza dell’integrazione delle equazioni del moto Il sistema ‘mean of reference’ entra nelle equazioni del moto del satellite attraverso le posizioni della Luna, del Sole e dei pianeti. Queste sono usate per il calcolo delle perturbazioni dirette sul satellite, e indirette (variazioni mareali del campo gravitazionale terrestre) La trasformazione PN ‘true of date’’mean of reference’è e necessaria quando si integrano le equazioni del moto per diversi mesi. Altrimenti l’effetto non è significativo e si riduce a un errore sistematico costante.

Coordinate inerziali del satellite Le coordinate inerziali X del satellite sono ottenute ad ogni istante t dalla integrazione delle equazioni del moto: