Giochi logici e modelli matematici

Si consideri il seguente gioco da proporre agli amici: Pensa ad un numero Moltiplicalo per 2 Al risultato aggiungi 4 Dividi il risultato per 2 Sottrai dal quoziente il numero pensato inizialmente

Stupite i vostri amici affermando che il risultato è 2! In sostanza il risultato sarà sempre la metà del numero che avrete fatto aggiungere. Pertanto il numero da aggiungere dovrà essere pari (nel nostro caso è 4)

Vediamo il modello matematico che si nasconde in questo gioco Il numero è x x Moltiplicalo per 2 2x Aggiungi 4 al risultato 2x+4 Dividi questa somma per 2 (2x+4)/2 Sottrai al quoziente il numero Pensato inizialmente (2x+4)/2 -x

(2x+4)/2 –x = x+2 –x = 2 Se avessimo fatto aggiungere 6 il risultato sarebbe stato: (2x+6)/2 –x = x+3 –x = 3

Si consideri un altro gioco da proporre a 2 amici: Si dica al primo amico di eseguire le seguenti operazioni Pensa ad un numero Moltiplicalo per 5 Al risultato aggiungi 1 Moltiplica il risultato per 2 Dite di sussurrare il risultato di questo prodotto al 2 amico (voi non dovete ascoltare)

Si dica al SECONDO amico di eseguire la seguente operazione: Aggiungi un numero di una cifra (cioè da 0 a 9) al numero che ti è stato riferito Fatevi riferire il risultato (supponiamo che sia 54) Allora direte che il primo ragazzo aveva pensato inizialmente a 5 mentre il secondo ha aggiunto 2!

Vediamo il modello matematico che si nasconde in questo gioco Pensa ad un numero x Moltiplicalo per 5 5x Al risultato aggiungi 1 (5x+1) Moltiplica il risultato per 2 2(5x+1) Aggiungere il numero di una cifra 2(5x+1)+y

Qualsiasi numero di due cifre può essere scritto come: 10 x + y dove la x rappresenta la prima cifra e y la seconda. Ricordiamo che il sistema decimale da noi utilizzato è un sistema posizionale, ossia una cifra assume un certo valore a seconda della posizione che assume nel numero. 5 decine è diverso da 5 unità! Il sistema di numerazione usato dai romani non aveva questa caratteristica.

Quindi, tornando al nostro gioco, avremo che: 10x + 2 + y = 54 Da cui: 10x + 2 + y - 2 = 54 – 2 10x + y = 52 E quindi 5 sarà il numero pensato dal primo ragazzo e 2 sarà il numero che è stato aggiunto alla fine del gioco

Tecniche di calcolo veloce: Se vi viene chiesto come calcolare velocemente il quadrato di un piccolo numero saprete certamente rispondere. Ma sareste altrettanto rapidi a dire qual è il quadrato di 63? Con questa tecnica potrete calcolare il quadrato di 63 eseguendo mentalmente le seguenti operazioni: 63^2 = 60 * 66 + (3)^2 = 60 * 69 + 9 = 3960 + 9 = 3969 Che è molto più facile da calcolare in quanto uno dei fattori del prodotto è 60. Le operazioni per 10, 100 ,1000 infatti richiedono un basso sforzo computazionale.

Ma come avete fatto a sostenere che: 63^2 = 60 * 66 + (3)^2 = 60 * 66 + 9 = 3960 + 9 = 3969 e come potete generalizzare per ogni numero di due cifre? A tal fine riprendiamo alcuni prodotti notevoli e la rappresentazione di un numero di due cifre descritta nel gioco precedente: (10 a + b) ^ 2 = + 100 a^2 + 20 ab + b^2 (10 a + b - b ) * (10 a + b + b) = 10a (10a+2b) = 100 a^2 + 20 ab Confrontando i due risultati potete osservare come aggiungendo b^2 Al prodotto di 10a (10a+2b) otterrete il quadrato che cercate.

Quindi quando dovete calcolare per esempio il quadrato di 56 dovrete trovare il numero con lo 0 più vicino a 56 cioè 60. Per arrivare a 60 avete aggiunto 4. Quindi dovete ora sottrarre 4 da 56 e otterrete 52. Il calcolo da fare è 52 * 60 + 4^2 = 3120 + 16 = 3136